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北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:立体几何 Word版含答案


北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择、填空题 1、 (昌平区 2017 届高三上学期期末) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观 图是

2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末)某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三 角形,则该四棱锥的体积为

A.

2 2 3

B.

4 3

C. 2

D. 4

3、 (西城区 2017 届高三上学期期末)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是
1

(A) 3

(B) 2 5

(C) 6

(D) 3 5

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A)

2 3

(B)

4 3

(C) 2

(D)

8 3

5、 (丰台区 2017 届高三上学期期末) 已知直线 m ,n 和平面 ? , 如果 n ? ? , 那么 “m ? n ” 是“ m ? ? ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6、 (海淀区 2017 届高三上学期期末)如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AD, B1C1 上的动点, 设 AE ? x, B1 F ? y . 若棱 则x? y .DD1 与平面 BEF 有公共点, 的取值范围是 A. [0,1]

1 3 B. [ , ] 2 2

C. [1, 2]

3 D. [ , 2] 2

2

7、 (海淀区 2017 届高三上学期期末) (海淀区 2017 届高三上学期期末)若一个几何体由正 方体挖去一部分得到,其三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

8、 (石景山区 2017 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如右图所示.已知这个几何体 的体积为 8 ,则 h ? ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

9、 (通州区 2017 届高三上学期期末)如图,某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角 三角形,俯视图是边长为 2 的正方形,那么它的体积为

16 3 8 C. 3
A.

B.4 D.

4 3

3

二、解答题 1、 (昌平区 2017 届高三上学期期末)如图 1,四边形 ABCD 为正方形,延长 DC 至 E ,使 得 CE ? 2 DC ,将四边形 ABCD 沿 BC 折起到 A 1BCD 1 的位置,使平面 A 1 BCD 1 ? 平面

BCE ,
如图 2. (I)求证: CE ? 平面 A 1BCD 1; (II)求异面直线 BD1 与 A 1E 所成角的大小; (III)求平面 BCE 与平面 A1ED1 所成锐二面角的余弦值.

4

2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形,

, 平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB, 四边形 ABEF 为直角梯形,且 AF // BE, AB? BE
AB ? BE ? 2 AF ? 2 .

(Ⅰ)求证: AC // 平面 DEF ; (Ⅱ)若二面角 D ? AB ? E 为直二面角, (i)求直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小; (ii)棱 DE 上是否存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ? 若存在,求出

DP 的值;若不存在,请说明理由. DE

3、 (西城区 2017 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AD // BC ,

?BAD ? 90? , PA ? PD , AB ? PA , AD ? 2 , AB ? BC ? 1 .
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB ; (Ⅲ)若 DC 与平面 PAB 所成的角为 30 ,求四棱锥
P - ABCD 的体积.
?

5

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 平面 PCD ? 平面 ABCD , BC ? 1 , AB ? 2 , PC ? PD ? (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M ,使得 BM ? AC ?若存在,求 在,说明理由.

2 , E 为 PA 中点.

PM 的值;若不存 PC

P

E D A B C

5、 (丰台区 2017 届高三上学期期末)如图所示的多面体中,面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 平面 PDCQ ⊥平面 ABCD , PD ^ DC , E, F, G 分别为棱 BC,AD,PA 的中点. (Ⅰ)求证: EG ‖ 平面 PDCQ ; (Ⅱ)已知二面角 P - BF - C 的余弦值为 求四棱锥 P - ABCD 的体积.
P

6 , 6

Q G

F A

D E B

C

6

6、 (海淀区 2017 届高三上学期期末)如图 1,在梯形 ABCD 中, AB // CD , ?ABC ? 90? ,
AB ? 2CD ? 2 BC ? 4 ,O 是边 AB 的中点.将三角形 AOD 绕边 OD 所在直线旋转到 A1OD 位

置,使得 ?A1OB ? 120? ,如图 2.设 m 为平面 A1 DC 与平面 A1OB 的交线. (Ⅰ)判断直线 DC 与直线 m 的位置关系并证明; (Ⅱ)若直线 m 上的点 G 满足 OG ? A1 D ,求出 A1G 的长; (Ⅲ)求直线 A1O 与平面 A1 BD 所成角的正弦值.

7、 (石景山区 2017 届高三上学期期末)如图 1,等腰梯形 BCDP 中, BC ∥ PD , BA ? PD 于点 A , PD ? 3BC ,且 AB ? BC ? 1 . 沿 AB 把 △PAB 折起到 △P?AB 的位置(如图 2) ,使 ?P ?AD ? 90? . (Ⅰ)求证: CD ⊥平面 P ?AC ; (Ⅱ)求二面角 A ? P?D ? C 的余弦值; (Ⅲ)线段 P?A 上是否存在点 M ,使得 BM ∥平面 P ?CD .若存在,指出点 M 的位置并证 明;若不存在,请说明理由.

7

8、 (通州区 2017 届高三上学期期末)在四棱锥 P - ABCD 中,△ PAB 为正三角形,四边 形 ABCD 为矩形,平面 PAB ? 平面 ABCD , AB = 2 AD ,M , N 分别为 PB, PC 中点. (Ⅰ)求证: MN //平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 B - AM - C 的大小; (Ⅲ)在 BC 上是否存在点 E ,使得 EN ⊥平面 AMN ? 若存在,求

BE 的值;若不存在,请说明理由. BC

参考答案 一、选择、填空题 1、C 2、B 3 、C 7、

4、B

5、B

6、C

16 3

8、B

9、D

二、解答题 1、解:(Ⅰ)证明:因为平面 A1BCD1 ? 平面 BCE ,且平面 A1BCD1 ? 平面 BCE ? BC , 因为四边形 ABCD 为正方形, E 在 DC 的延长线上, 所以 CE ? BC . 因为 CE ? 平面 BCE , 所以 CE ? 平面 A 1BCD 1. (Ⅱ)法一:连接 AC 1 . 因为 A 1BCD 1 是正方形, 所以 AC ? BD1 . 1 ?????4 分

z A1

D1

C B
8

E 图2

y

x

因为 CE ? 平面 A 1BCD 1, 所以 CE ? BD1 . 因为 AC 1 ? CE ? C , 所以 BD1 ? 平面 ACE . 1 所以 BD1 ? A 1E . 所以异面直线 BD1 与 A 1E 所成的角是 90 ? . 法二:以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示. 设 CD ? 1, 则 CE ? 2 . 则 C(0,0,0), B(1,0,0), E(0, 2,0), D1 (0,0,1), A 1 (1,0,1) . 所以 BD1 ? (?1,0,1), A 1E ? (?1, 2, ?1) . ?????9 分

??? ?

????

???? ? ???? ???? ? ???? BD1 ? A1E 1 ? 0 ? 1 因为 cos ? BD1 , A1E ?? ???? ? 0, ? ???? ? 2? 6 BD1 A1E
所以 BD1 ? A 1E . 所以异面直线 BD1 与 A 1E 所成的角是 90 ? . (Ⅲ) 因为 CD1 ? 平面 BCE , 所以平面 BCE 的法向量 CD1 ? (0,0,1) . 设平面 A1D1E 的法向量 n ? ( x, y, z) . 因为 D1 A 1) , 1 ? (1,0,0), D 1E ? (0,2, ? ?????9 分

???? ?

????

???? ?

?

?????

???? ?

? ????? ? ?x ? 0 ?n ? D1 A1 ? 0 所以 ? ? ???? ,即 ? . ? ?2 y ? z ? 0 ? ?n ? D1 E ? 0
设 y ? 1 ,则 z ? 2 . 所以 n ? (0,1, 2) .

?

???? ? ? ???? ? ? CD1 ? n 0 ? 0 ? 2 2 5 ? 因为 cos ? CD1 , n ?? ???? ? ? ? 5 5 CD1 n

9

所以平面 BCE 与平面 A 1 ED 1 所成的锐二面角的余弦值为 2、证明: (Ⅰ)连结 BD ,设 AC ? BD ? O , 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 O 为 BD 中点. 设 G 为 DE 的中点,连结 OG, FG ,

2 5 . 5

?????14 分

1 BE . 2 1 由已知 AF //BE ,且 AF ? BE , 2
则 OG // BE ,且 OG ? 所以 AF //OG, OG ? AF . 所以四边形 AOGF 为平行四边形. 所以 AO // FG ,即 AC // FG . 因为 AC ? 平面 DEF , FG ? 平面 DEF , 所以 AC //平面 DEF . ????????????????????5 分

(Ⅱ)由已知, AF // BE, AB ? BE , 所以 AF ? AB . 因为二面角 D ? AB ? E 为直二面角, 所以平面 ABCD ? 平面 ABEF . 所以 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? AD, AF ? AB . 四边形 ABCD 为正方形,所以 AB ? AD . D x z X C A B y z X z z X F P E



10

所以 AD, AB, AF 两两垂直. 以 A 为原点, AD, AB, AF 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系(如图) . 因为 AB ? BE ? 2 AF ? 2 , 所以 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C(2, 2, 0), D(2, 0, 0), E(0, 2, 2), F (0, 0,1) , 所以 AC ? (2, 2,0), CD ? (0, ?2,0), CE ? (?2,0, 2) . (i)设平面 CDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? y ? 0, ??2 y ? 0, ? n ? CD ? 0, 由 ? ??? 得? 即? ? ??2 x ? 2 z ? 0. ? x ? z ? 0. ? ? n ? CE ? 0
取 x ? 1 ,得 n ? (1, 0,1) . 设直线 AC 与平面 CDE 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos? AC, n? ?

??? ?

2 1 ? , 2 2? 2 2

因为 0 ? ? ? 90? ,所以 ? ? 30? . 即直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小为 30 ? . ????????????9 分 (ii)假设棱 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF .

??? ? ??? ? DP ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 DP ? ? DE . DE ??? ? 设 P( x, y, z ) ,则 DP ? ( x ? 2, y, z) ,
设 因为 DE ? (?2, 2, 2) ,所以 ( x ? 2, y, z ) ? ? (?2, 2, 2) . 所以 x ? 2 ? ?2? , y ? 2? , z ? 2? ,所以 P 点坐标为 (2 ? 2? , 2? , 2? ) . 因为 B(0, 2, 0) ,所以 BP ? (2 ? 2?, 2? ? 2, 2? ) .

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? ??? ? ? ? BP ? DF ? ?2(2 ? 2? ) ? 2? ? 0, 又 DF ? (?2,0,1), EF ? (0, ?2, ?1) ,所以 ? ??? ? ??? ? ? ? BP ? EF ? ?2(2? ? 2) ? 2? ? 0. 2 解得 ? ? . 3 2 DP 2 ? . 因为 ? [0,1] ,所以 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ,且 3 DE 3
(另解)假设棱 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF .
11

??? ? ??? ? DP ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 DP ? ? DE . DE ??? ? 设 P( x, y, z ) ,则 DP ? ( x ? 2, y, z) ,
设 因为 DE ? (?2, 2, 2) ,所以 ( x ? 2, y, z ) ? ? (?2, 2, 2) . 所以 x ? 2 ? ?2? , y ? 2? , z ? 2? ,所以 P 点坐标为 (2 ? 2? , 2? , 2? ) . 因为 B(0, 2, 0) ,所以 BP ? (2 ? 2?, 2? ? 2, 2? ) . 设平面 DEF 的一个法向量为 m ? ( x0 , y0 , z0 ) ,

??? ?

??? ?

???? ???? ??? ? ? ? m ? DF ? 0, 则 ? ??? 由 DF ? (?2,0,1), EF ? (0, ?2, ?1) , ? ? ?m ? EF ? 0
得?

??2 x0 ? z0 ? 0, ??2 y0 ? z0 ? 0.

取 x0 ? 1 ,得 m ? (1, ?1, 2) . 由 BP ? ?m ,即 (2 ? 2? , 2? ? 2, 2? ) ? ? (1, ?1, 2) ,

??? ?

? 2 ? 2? ? ? , ? 可得 ? 2? ? 2 ? ? ? , ? 2? ? 2 ? . ?
因为

解得 ? ?

2 . 3

2 DP 2 ? [0,1] ,所以 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ,且 ? . 3 DE 3
????????????????????????14 分

3、解: (Ⅰ)因为 ?BAD ? 90? ,所以 AB ? AD ,[1 分] 又因为 AB ? PA , 所以 AB ? 平面 PAD .[3 分] 所以平面 PAD ? 平面 ABCD .[4 分] (Ⅱ)取 PA 的中点 F ,连接 BF , EF .[5 分] 因为 E 为 PD 的中点,所以 EF //AD , EF ? 1 AD , 2 又因为 BC //AD , BC ? 1 AD , 2 所以 BC //EF , BC ? EF . 所以四边形 BCEG 是平行四边形, EC //BF .[7 分]
12

又 BF ? 平面 PAB , CE ? 平面 PAB , 所以 CE // 平面 PAB .[8 分] (Ⅲ)过 P 作 PO ? AD 于 O ,连接 OC . 因为 PA ? PD ,所以 O 为 AD 中点,又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD . 如图建立空间直角坐标系 O - xyz .[9 分] 设 PO ? a .由题意得, A(0,1,0) , B (1,1, 0) , C (1,0,0) , D(0, ?1,0) , P(0,0, a) . 所以 AB ? (1,0,0) , PA ? (0,1, ?a) , DC ? (1,1,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ? ?? ?n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? ?? ? ? y ? az ? 0. ?n ? PA ? 0, ?
?? ? ?? ? ?? ?

令 z ? 1 ,则 y ? a .所以 n ? (0, a,1) .[11 分] 因为 DC 与平面 PAB 所成角为 30? , 所以 | cos? n, DC ? |? 解得 a ? 1 .[13 分]
?? ?

| n ? DC | | n || DC |
?? ?

?? ?

?

|a| a 2 +1 ? 2

=sin 30? ?

1 , 2

1 1 1? 2 1 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP? ABCD ? ? S ABCD ? PO ? ? [14 分] ?1?1 ? . 3 3 2 2
4、解: (Ⅰ)设 AC 与 BD 的交点为 F ,连结 EF . 因为 ABCD 为矩形,所以 F 为 AC 的中点. 在△ PAC 中,由已知 E 为 PA 中点, 所以 EF ∥ PC . 又 EF ? 平面 BED ,

PC ? 平面 BED ,
所以 PC ∥平面 BED . ???????????5 分 (Ⅱ)取 CD 中点 O ,连结 PO . 因为△ PCD 是等腰三角形, O 为 CD 的中点, 所以 PO ? CD . 又因为平面 PCD ? 平面 ABCD ,

z P M E O C D y

PO ? 平面 PCD ,

13

A x

F G B

所以 PO ? 平面 ABCD . 取 AB 中点 G ,连结 OG , 由题设知四边形 ABCD 为矩形, 所以 OF ? CD . 所以 PO ? OG .???????1 分 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(1, ?1, 0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) , D(0, ?1, 0) ,

B(1,1, 0) , O(0,0,0) , G (1, 0, 0) . ??? ? ??? ? AC ? (?1, 2,0) , PC ? (0,1, ?1) .
设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ? x ? 2 y ? 0, ?n ? AC ? 0, 则 ? ??? ,即 ? ? ? y ? z ? 0. ? ?n ? PC ? 0,
令 z ? 1 ,则 y ? 1 , x ? 2 . 所以 n ? (2,1,1) . 平面 PCD 的法向量为 OG ? (1,0,0) . 设 n, OG 的夹角为 ? ,所以 cos ? ?

????

????

6 . 3

由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐角,

6 .??????????10 分 3 ???? ? ??? ? (Ⅲ)设 M 是棱 PC 上一点,则存在 ? ? [0,1] 使得 PM ? ? PC . ???? ? ??? ? 因此点 M (0, ? ,1 ? ? ) , BM ? (?1, ? ?1,1 ? ?) , AC ? (?1, 2,0) .
所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 由 BM ? AC ? 0 ,即 ? ? 因为 ? ? 此时,

? ???? ? ???

1 . 2

1 ? [0,1] ,所以在棱 PC 上存在点 M ,使得 BM ? AC . 2
??????????14 分

PM 1 ?? ? . PC 2

5、证明: (Ⅰ)取 PD 中点 H ,连接 GH , HC , 因为 ABCD 是正方形,所以 AD‖ BC , AD = BC . 因为 G,H 分别是 PA , PD 中点,所以 GH ‖ AD , GH =

1 AD . 2

14

又因为 EC ‖ AD 且 EC =

1 AD , 2

所以 GH ‖ EC , GH = EC , 所以四边形 GHCE 是平行四边 形, 所以 EG ‖ HC . 又因为 EG ? 平面 PDCQ , HC ? 平面 PDCQ 所以 EG ‖ 平面
PDCQ .

………….3 分

……………….5 分

(Ⅱ)因为平面 PDCQ ⊥平面 ABCD , 平面 PDCQ I 平面 ABCD = CD ,
P D^ DC , PD ? 平面 PDCQ ,

所以 PD ^ 平面
ABCD .

……………….6 分

如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系. 设 PD = a ,则
P (0,0,a),F (1,0,0),B (2,2,0) .

………………7 分

因为 PD ⊥底面 ABCD ,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . ……………….8 分 设平面 PFB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
y P

uuu r uur PF = (1,0,- a) FB = (1,2,0) ,
uuu r ? ? PF ? n ? 0, 则 ? uur ? ? FB ? n = 0.

H G

Q

? x ? az ? 0 即? ?x + 2 y = 0

A z

F

D E B

C

x

1 1 1 1 令 x=1,得 z ? , y ? ? ,所以 n ? (1, ? , ) . a 2 2 a

6 , 6

……………….10

由已知,二面角 P - BF - C 的余弦值为

15

m?n ? 所以得 cos < m, n > ? | m || n |

1 a 5 1 ? 4 a2

?

6 , 6

……………….11 分 解得 a =2,所以 PD = 2 . ……………….13 分 因为 PD 是四棱锥 P - ABCD 的高,

1 8 所以其体积为 VP ? ABCD ? ? 2 ? 4 ? . 3 3
……………….14 分 6、解: (Ⅰ)直线 DC // m . 证明:由题设可得 CD / / OB, CD ? 平面AOB , OB ? 平面AOB , 1 1 所以 CD // 平面 A1OB . 又因为 CD ? 平面 A1 DC ,平面 A1 DC ? 平面 A1OB ? m 所以 CD / / m . 法 1: (Ⅱ)由已知 AB ? 2CD ? 2 BC ? 4 , O 是边 AB 的中点, AB / / CD , 所以 CD //OB , 因为 ?ABC ? 90? ,所以四边形 CDOB 是正方形, 所以在图 1 中 DO ? AB , 所以结合题设可得,在图 2 中有 DO ? OA1 , DO ? OB , 又因为 OA1 ? OB ? O , 所以 DO ? 平面AOB . 1 在平面 AOB 内作 OM 垂直 OB 于 M ,则 DO ? OM . 如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A1 ( 3, ?1,0), B(0,2,0), D(0,0,2) , ???? ? 所以 A1D ? (? 3,1,2) .
设 G( 3, m,0) ,则由 OG ? A1 D 可得

z

D

C

???? ? ???? A1D ? OG ? 0 ,即

(? 3,1,2) ? ( 3, m,0) ? ?3 ? m ? 0
解得 m ? 3 . ?4. 所以 AG 1
O

y
B
G

A1

(Ⅲ)设平面 A1 BD 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 x M ???? ? ? ?n ? A1 D ? 0, ? ?? 3x ? y ? 2 z ? 0, 即? 令 y ? 1 ,则 x ? 3, z ? 1 , ? ???? ? ?? 3x ? 3 y ? 0, ?n ? A1 B ? 0, ? 所以 n ? ( 3,1,1) ,

16

???? ? ? A1O ? n ???? ? ? 5 设直线 A1O 与平面 A1 BD 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? A1O, n ? ? ???? . ? ? ? 5 A1O ? n

法 2: (Ⅱ)由已知 AB ? 2CD ? 2 BC ? 4 , O 是边 AB 的中点, AB / / CD , 所以 CD //OB , 因为 ?ABC ? 90? ,所以四边形 CDOB 是正方形, 所以在图 1 中 DO ? AB , 所以结合题设可得,在图 2 中有 DO ? OA1 , DO ? OB , 又因为 OA1 ? OB ? O , 所以 DO ? 平面AOB . 1 又因为 OG ? 平面AOB ,所以 DO ? OG . 1 若在直线 m 上的点 G 满足 OG ? A1 D ,又 OD ? A1 D ? D , 所以 OG ? 平面A1OD , 所以 OG ? OA1 , 因为 ?AOB ,所以 ?OA1G ? 60? , ? 120? , OB // AG 1 1 因为 OA1 ? 2 ,所以 A1G ? 4 . (注:答案中标灰部分,实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件,故没写不扣分) (Ⅲ)由(II)可知 OD、OA1、OG 两两垂直, 如 图 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y z, 则
z

O (0 , 0 , 0 ) A , 1

( 2, 0, B0 ?) , ( 1, D 3 , 0 ) , ,( 0 , 0 , 2 )

D

C

???? ? ???? 所以 A1D ? (?2,0,2), A1B ? (?3, 3,0,) ? 设平面 A1 BD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则

? ???? ? ? ? ?n ? A1 D ? 0, ??2 x ? 2 z ? 0, 即 ? 令 x ?1 , 则 ? ? ???? ? ? ??3x ? 3 y ? 0, ?n ? A1 B ? 0,
, y ? 3 ,z ? 1

O

B
G

x

A1

y

? 所以 n ? (1, 3,1) ,
设直线 A1O 与平面 A1 BD 所成角为 ? ,则

???? ? ? ???? ? ? A1O ? n 5 sin ? ? cos ? A1O, n ?? ???? . ? ? ? 5 A1O ? n
7、解: (Ⅰ)因为 ?P ?AD ? 90? ,所以 P?A ⊥ AD . 因为在等腰梯形中, AB ⊥ AP ,所以在四棱锥中, AB ⊥ AP? .
17

又 AD ? AB ? A,所以 P?A ⊥面 ABCD . 因为 CD ? 面 ABCD ,所以 P?A ⊥ CD .……3 分 因为等腰梯形 BCDE 中, AB ? BC , PD ? 3BC ,且 AB ? BC ? 1 . 所以 AC ? 2 , CD ? 2 , AD ? 2 .所以 AC 2 ? CD2 ? AD2 . 所以 AC ⊥ CD . 因为 P?A ? AC = A , 所以 CD ⊥平面 P ?AC . ……5 分 z (Ⅱ)由(Ⅰ)知, P?A ⊥面 ABCD , AB ⊥ AD , 如图,建立空间直角坐标系,

A ? 0,0,0? , B ?1,0,0 ? , C ?1,1,0? ,

D ? 0,2,0? , P? ? 0,0,1? .…………5 分

B 所以 AB ? (1,0,0) , P?C ? (1,1, ?1) . x

??? ?

???? ?

由(Ⅰ)知,平面 P?AD 的法向量为 AB ? (1,0,0) ,

??? ?

? ??? ? ? ?n ? CD ? 0 ?? x ? y ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 P?CD 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ? , ? x ? y ? z ? 0 ? n ? P C ? 0 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? AB ? n 6 再令 y ? 1 ,得 n ? (1,1, 2) . cos AB, n = ??? . ? ? = AB ? n 6
所以二面角 A ? P?D ? C 的余弦值为

P? A B C
P’ A C

D

y

6 . …………9 分 6

(Ⅲ)若线段 P?A 上存在点 M ,使得 BM ∥平面 P ?CD . 依题意可设 AM ? ? AP? ,其中 0 ? ? ? 1 .所以 M (0, 0, ? ) , BM ? (?1, 0, ? ) . 由(Ⅱ)知,平面 P?CD 的一个法向量 n ? (1,1, 2) . 因为 BM ∥平面 P ?CD ,所以 BM ? n , 所以 BM ? n ? ?1 ? 2? ? 0 ,解得 ? ?

???? ?

????

???? ?

?

???? ?

?

???? ? ?

1 . 2

所以,线段 P?A 上存在点 M ,使得 BM ∥平面 P ?CD …………………14 分 8、 (Ⅰ)证明:∵M,N 分别是 PB,PC 中点 ∴MN 是△ABC 的中位线 ∴MN∥BC∥AD

18

又∵AD?平面 PAD,MN ? 平面 PAD
所以 MN∥平面 PAD. ……………….4 分

(Ⅱ)过点 P 作 PO 垂直于 AB,交 AB 于点 O, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD, 如图建立空间直角坐标系

1 3 设 AB=2,则 A(-1,0,0),C(1,1,0),M( ,0, ), 2 2

B(1,0,0) ,N(

???? ? 3 ??? ? 1 1 3 3 ) , , ) ,则 AC ? (2,1,0) , AM ? ( , 0, 2 2 2 2 2

?? ???? ?? ? ? n1 ? AC ? 0 设平面 CAM 法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ) ,由 ? ?? ???? 可得 ? n ? AM ? 0 ? ? 1

? 2 x1 ? y1 ? 0 ?? ? ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? ?2, z1 ? ? 3 ,即 n1 ? (1, ?2, ? 3) ?3 3 z1 ? 0 ? x1 ? ?2 2

?? ? 平面 ABM 法向量 n2 ? (0,1,0)
?? ?? ? n1 ? n2 2 所以,二面角 B ? AM ? C 的余弦值 cos ? ? ?? ?? ? ? 2 n1 n2
因为二面角 B ? AM ? C 是锐二面角,

19

所以二面角 B ? AM ? C 等于 45? ……………….10 分 (Ⅲ)存在……………….11 分

???? ???? ? ???? ? 1 1 3 1 ? EN ? AM ? 0 设 E (1, ? , 0) ,则 EN ? (? , ? ? , 可得 ? ? , ) ,由 ? ???? ???? ? 2 2 2 2 ? ? EN ? MN ? 0
所以在 BC 存在点 E ,使得 EN ? 平面 AMN , 此时

BE 1 ? .……………….14 分 BC 2

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