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山东省滨州市2017届高三上学期期末联考理数试题 Word版含答案


高三数学(理科)试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 4 , B ? ? x x ? 1? ,则 CU ? A ? B ? ? ( A.? x ?2 ? x ? 2? 2.已知复数 z ? ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) B.? x 1 ? x ? 2? C.? x ?2 ? x ? 1?

?

?

) D.? x ?2 ? x ? 1?

2?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z 在复平面上所对应的点位于 1? i

A.第一象限

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0 ,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? (
1 A. ? p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

D.

1 ?p 2

?x ? y ?1 ? 0 y ?1 ? 4.设变量 x ,y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 的最大值为( x?3 ?4 x ? y ? 1 ? 0 ?



A.

1 4

B.

2 3

C.

3 2

D. 2 )

? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , a ? b ,则向量 2b ? a 在向量 a 方向上的投影为(

A.1

B.

7 7

C. ?1

D. ?

7 7

6.“ a ? 0 ”是“函数 f ? x ? ? x ? a ? x 在区间 ? 0 , ? ? ? 上为增函数”的( A.充分不必要条件 也不必要条件 7.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分

1

A.2017

B.2

C.

1 2

D. ?1 )

?? ?? ? ? 8.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图象, 只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 3? 3? ? ? ? ? A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 2 4
C.向右平移

?
2

个单位

D.向右平移

?
4

个单位

9.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0 ,b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的准线所围 2 a b


成的三角形的面积为 2,则双曲线 C1 的离心率为( A.
5 2

B. 2

C. 3

D. 5

? x ? 1 ,x ? 1 ? 10.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,则函数 g ? x ? ? 2 x f ? x ? ? 2 的零点个数为( ? x ? 2 x ? 1 , x ? 1 ? ?



第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到的 数据如下表: 收入 x (万 元) 支出 y (万 元)
? ?a ? ,其中 b ? ? y ? bx ? ,据此估计,该社区一户 ? ? 0.76 , a 根据上表可得回归直线方程 ? y ? bx
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

年收入为 15 万元家庭的年支出为

万元. .

12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
2

? a? 13.若 ? 的展开式中常数项是 60,则实数 a ? ? x ? x2 ? ? ? ?

6


1 1 ? 的最 a b

14.已知直线 ax ? by ? 8 ? 0 ? a ? 0 ,b ? 0 ? 经过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 小值为 .

? 1? f ? ln x ? ? f ? ln ? ? x ? ? f 1 的解集是 15.设函数 f ? x ? ? x ? sin x ,则不等式 ?? 2



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 △ ABC 的周长的取值范围. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 C ? ABDE 中, F 为 CD 的中点, BD ? 平面 ABC , BD ∥ AE 且 BD ? 2 AE .
a 3 cos A ? c . sin C

(Ⅰ)求证: EF ∥ 平面 ABC ; (Ⅱ)已知 AB ? BC ? CA ? BD ? 2 ,求平面 ECD 与平面 ABC 所成的角(锐角)的大小.

3

18.(本小题满分 12 分) 某小组共 7 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 2, 2,3,现从这 7 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足: 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?
1 2 x ? ? 2a ? 2 ? x ? ? 2a ? 1? ln x . 2 b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ?…? n ? an ? n 2 ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2 2 2 2n

(Ⅰ)讨论函数 y ? f ? x ? 的单调性;
1 1 ?1 ? (Ⅱ)对任意的 a ? ? ,2 ? , x1 ,x2 ? ?1 ,2? ? x1 ? x2 ? ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ,求 x1 x2 ?2 ?

正实数 ? 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分)

? 6? 2 已知 ? ?x? 2 ? ? ? y , 3, ? ?
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

2

? 6? 2 ? ?x? 2 ? ? ? y 成等差数列,记 ? x ,y ? 对应点的轨迹是 C . ? ?

2

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C 交于不同的两点 A , B ,与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 M . (i)证明: OA ? OB ( O 为坐标原点) ; (ii)设 ? ?
AM BM

,求实数 ? 的取值范围.

4

高三数学(理科)试题参考答案 一、选择题
1-5:CADCC 6-10:ADBDD

二、填空题
11. 11.8 15. ? 0 ,e ? 12. 12 ? 4 2 ?

?

?

13. 4

14.1

三、解答题
16.解: (Ⅰ)因为
a 3 cos A a c a ? ? 由正弦定理得, ,????????1 分 sin A sin C 3 cos A ? c , sin C

即 sin A ? 3 cos A .??????????2 分

所以 b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C , 又 C ? ? ? ? A ? B? ?
2? ? B ,??????????6 分 3

所以 b ? c ? 4 3 ? sin B ? sin C ?
? ? 2? ?? ? 4 3 ?sin B ? sin ? ? B ? ? ????????7 分 3 ? ?? ?

?3 ? 3 ? 4 3? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ????????8 分 ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? .????????????9 分 6? ?

5

因为 0 ? B ? 所以

2? , 3

?
6

?B?

?
6

?

5? ,??????????????10 分 6

?? ? 所以 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 , 6? ? ? 即 6 ? b ? c ? 12 (当 B ? 时,等号成立).??????11 分 3
所以 △ ABC 的周长的取值范围是 ?12 ,18? .??????12 分 法二:由已知得 b ? 0 , c ? 0 , b ? c ? a ? 6 .??????5 分 由余弦定理得
36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
2

?
3

??????????6 分

? ? b ? c ? ? 3bc ??????????????7 分

? ?b ? c ? ?
2

3 1 2 2 ? b ? c ? ? ? b ? c ? .??????8 分 4 4

当且仅当 b ? c 时,等号成立????????9 分 所以 ? b ? c ? ? 4 ? 36 ,
2

所以 b ? c ? 12 ,??????????10 分 又b ? c ? 6, 所以 6 ? b ? c ? 12 ,????????11 分 所以 △ ABC 的周长的取值范围为 ?12 ,18? .??????12 分 17.解: (Ⅰ)证明:取 BC 的中点 M ,连接 MF , AM .????1 分 又 F 为 CD 的中点, 所以 FM ∥ BD ,且 BD ? 2 FM .??????????2 分 又因为 AE ∥ BD ,且 BD ? 2 AE , 所以 AE ∥ FM ,且 AE ? FM ,????????3 分 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 EF ∥ AM .??????????4 分 又 AM ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC , 所以 EF ∥ 平面 ABC .????????????5 分

6

(Ⅱ)解法一:如图,在平面 ABC 内过点 B 作 BP ? AB ,

以点 B 为原点,分别以直线 BA , BP , BD 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系, 则 B ? 0 ,0 ,0 ? , D ? 0 ,0 ,2 ? , C 1 , 3 ,0 , E ? 2 ,0 ,1? ,
??? ? ??? ? 所以 ED ? ? ?2 ,0 ,1? , CD ? ?1 , ? 3 ,2 .????6 分

?

?

?

?

? 设平面 CDE 的法向量为 n ? ? x ,y ,z ? ,则

? ??? ? ? ??? ? ?n ? ED ?n ? ED ? 0 ? ? ,??????????7 分 ? ,所以 ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?n ? CD ?n ? CD ? 0

? ??2 x ? z ? 0 所以 ? ,????????????8 分 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0
令 x ? 1 ,则 y ? 3 , z ? 2 ,
? 即 n ? 1 , 3 ,2 .??????????9 分

?

?

又因为 BD ? 平面 ABC ,
??? ? 所以 BD ? ? 0 ,0 ,2 ? 是平面 ABC 的一个法向量.??????10 分
7

? ??? ? ? ??? ? n ? BD 4 2 所以 cos ? n ,BD ?? ? ??? .????????11 分 ? ? ? 2 n ? BD 2 8

所以平面 ECD 与平面 ABC 所成的角(锐角)的大小为 解法二:如图,

?
4

.??????12 分

延长 DE 交 BA 的延长线于 M ,连结 MC , 由题意知,平面 ECD ? 平面 ABC ? MC ,????6 分 因为 BD ∥ AE ,且 BD ? 2 AE ,所以 又因为 AB ? BC ? CA ? 2 , 所以 AC ?
1 MB , 2 MA 1 ? , MB 2

所以 ?MCB ?

?
2

,即 CM ? CB .????????8 分

又 BD ? 平面 ABC ,且 CM ? 平面 ABC , 所以 CM ? DB , 又 CB ? 平面 BCD , DB ? 平面 BCD , CB ? DB ? B , 所以 MC ? 平面 BCD ,????????????9 分 又 CD ? 平面 BCD ,所以 MC ? CD ,????????10 分 所以 ?BCD 就是所求的平面 ECD 与平面 ABC 所成的角(锐角)的平面角.??11 分 因为 BC ? BD ? 2 ,且 BD ? BC ,所以 ?BCD ?

?
4

.

所以平面 ECD 与平面 ABC 所成的角(锐角)的大小为 18.解: (Ⅰ)由已知,有 P ? A ? ?

?
4

.??????12 分

1 1 2 C2 C3 ? C2 1 ? .??????????4 分 C72 3

1 所以,事件 A 发生的概率为 .??????????????5 分 3

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.????????6 分

8

P ? X ? 0? ?

2 2 C2 ? C2 ? C32 5 ,??????????????7 分 ? C72 21

P ? X ? 1? ?

1 2 1 1 C2 C2 ? C2 C3 10 ,??????????????8 分 ? 2 C7 21

P ? X ? 2? ?

1 1 C2 C3 6 2 ? ? .????????????9 分 C72 21 7

所以,随机变量 X 的分布列为
X P

0
5 21

1
10 21

2
2 7

随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ?

5 10 2 22 .??????12 分 ? 1? ? 2 ? ? 21 21 7 21

19.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , 因为 a2 ? a6 ? 14 , 所以, 2a1 ? 6d ? 14 ,????1 分 又 a1 ? 1 , 所以 d ? 2 .????????2 分 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .??????3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知
b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ?…? n ? n 2 ? 2n .① 2 2 2 2n b1 ? 3 ,即 b1 ? 5 .??????????4 分 2

所以,当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

b ?1 b1 b2 b3 2 ? ? ?…? n ? ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? .②??5 分 2 2 2 23 2n ?1 bn ? 2n ? 1 . 2n

①式减去②式,得

所以 bn ? ? 2n ? 1? 2n .??????????????6 分 又 b1 ? 6 也符合上式, 所以 bn ? ? 2n ? 1? 2n .????????????????7 分 所以 Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? … ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? 2n ,③

9

所以 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? … ? ? 2n ? 1? 2 n ? ? 2n ? 1? 2 n ?1 ,④??8 分 ③式减去④式,得

?Tn ? 6 ? 2 ? 22 ? 23 ? … ? 2n ? ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ??????????9 分
? 6 ? 2? 22 ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ????????????????10 分 1? 2

? ? ?2n ? 1? 2n ?1 ? 2 .??????????????11 分

所以 Tn ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? 2 .????????????12 分 20.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ? ? ,
f ' ? x ? ? x ? ? 2a ? 2 ? ?
2 2a ? 1 x ? ? 2a ? 2 ? x ? 2a ? 1 .??????1 分 ? x x

由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 2a ? 1 .
1 (1)当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? ? 时, 2

由 f '? x? ? 0 得 x ? 1 , f '? x? ? 0 得 0 ? x ? 1,

1? 上单调递减.??2 分 函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? ? ? 上单调递增,在区间 ? 0 ,
1 (2)当 0 ? 2a ? 1 ? 1 ,即 ? ? a ? 0 时, 2

由 f ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 2a ? 1 ,或 x ? 1 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 2a ? 1 ? x ? 1 ,

1? 上单调递 函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,2a ? 1? 和 ?1 ,? ? ? 上分别单调递增,在区间 ? 2a ? 1 ,
减.??3 分 (3)当 2a ? 1 ? 1 即 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 在 ? 0 ,? ? ? 上恒成立, 函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增.??????????4 分 (4)当 2a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, 由 f ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 1 ,或 x ? 2a ? 1 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 1 ? x ? 2a ? 1 ,

1? 和 ? 2a ? 1 ,? ? ? 上分别单调递增, 函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , 在 ?1 ,2a ? 1? 上单调递减. ??5
分 综上所述,

10

1 1? 上单调递减; 当 a ? ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? ? ? 上单调递增,在 ? 0 , 2 1 当 ? ? a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,2a ? 1? 和 ?1 ,? ? ? 上分别单调递增,在区间 2

1? 上单调递减. ? 2a ? 1 ,
当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增;

1? 和 ? 2a ? 1 ,? ? ? 上分别单调递增,在 ?1 ,2a ? 1? 上单 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,
调递减.??6 分
?1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ? ,2 ? , f ? x ? 在 ?1 ,2? 上单调递减, ?2 ? 1 1 不妨令 x1 ? x2 ,则 ? ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , x1 x2

所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 即 f ? x1 ? ?

?1 1? 1 1 可化为 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? ? ,??7 分 ? x1 x2 ? x1 x2 ?

?
x1

? f ? x2 ? ?

?
x2

?1 ? 对任意的 a ? ? ,2 ? , x1 ,x2 ? ?1 ,2? 恒成立.??8 分 2 ? ?

令 g ? x? ? f ? x? ?

?
x

, x ? ?1 ,2? ,

则 g ? x ? 在 ?1 ,2? 上单调递增,??????????9 分 即 g '? x? ? f '? x? ?
?1 ? ? 0 对任意 a ? ? ,2 ? , x1 ,x2 ? ?1 ,2? 恒成立, x ?2 ?
2

?

即 g ' ? x ? ? x ? ? 2a ? 2 ? ?

2a ? 1 ? ? 2 ?0, x x

化简得 x 2 ? ? 2a ? 2 ? x 2 ? ? 2a ? 1? x ? ? ? 0 ,
?1 ? 即 ? 2 x ? 2 x 2 ? a ? x3 ? 2 x 2 ? x ? ? ? 0 在 a ? ? ,2 ? 上恒成立,??????10 分 ?2 ?

因为 x ? ?1 ,2? ,所以 2 x ? 2 x 2 ? 0 ,
?1 ? 所以 y ? ? 2 x ? 2 x 2 ? a ? x3 ? 2 x 2 ? x ? ? 在 a ? ? ,2 ? 上是常函数或者单调递减函数, ?2 ?

所以只需 2 x ? 2 x 2 2 ? x3 ? 2 x 2 ? x ? ? ? 0 , 即 x3 ? 6 x 2 ? 5 x ? ? ? 0 对任意的 x ? ?1 ,2? 恒成立.??????11 分 令 h ? x ? ? x3 ? 6 x 2 ? 5 x ? ? , x ? ?1 ,2? , 显然, h ' ? x ? ? 3x 2 ? 12 x ? 5 ? 0 在 ?1 ,2? 上恒成立,
11

?

?

所以,函数 h ? x ? 在 ?1 ,2? 上为减函数,????????12 分 所以,只需 h ? x ?min ? 8 ? 24 ? 10 ? ? ? 0 ,得 ? ? 6 , 所以 ? 的取值范围是 ? 6 ,? ? ? .??????13 分

? ? 6? 6? 2 2 21.解: (Ⅰ)由题意,得 ? ?x? 2 ? ? ?y ? ? ?x? 2 ? ? ? y ? 2 3 ,??1 分 ? ? ? ?

2

2

? ? ? 6 ? 6 所以 ? x ,y ? 对应点的轨迹 C 是以 ? ? ? 2 ,0 ? ? ,? ? 2 ,0 ? ? 为焦点, 2 3 为长轴长的椭 ? ? ? ?
圆.??2 分 因为焦点在 x 轴上,所以设椭圆的方程为
? ? 2a ? 2 3 ?a ? ? ? 6 ? ? 所以 ?c ? ,解得 ?b ? 2 ? ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?c ? ? 3 6 .????????????3 分 2 6 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,设椭圆的焦距为 2c . a 2 b2

所以椭圆 C 的方程为

x2 2 y 2 ? ? 1 ,????????????4 分 3 3

(Ⅱ) (i)因为直线 l : y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, 所以
m 1? k
2

? 1 ,即 m 2 ? k 2 ? 1 .????????5 分

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 2 y 2 消去 y 并整理得, ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 3 ? 0 , ? ? 1 ? 3 ?3
又 ? ? 16k 2 m 2 ? 4 2k 2 ? 1 2m 2 ? 3
? ?8m 2 ? 24k 2 ? 12 ? 16k 2 ? 4 ? 0 ,

?

??

?

设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则

2m 2 ? 3 ?4km x x ? , ??????????7 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ??? ??? ? 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ?
x1 ? x2 ?

12

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 2
? ?1 ? k 2 ?
?

2m 2 ? 3 ?4km ? km ? 2 ? m2 2 2k ? 1 2k ? 1
? 0.

3m 2 ? 3 ? k 2 ? 1? 2k 2 ? 1

所以 OA ? OB .??????????????9 分 (ii)因为直线 l : y ? kx ? m 与椭圆交于不同的两点 A ,B , 所以
x12 2 y12 x2 2 y 2 ? ?1, 2 ? 2 ?1, 3 3 3 3
AM BM ? OA2 ? 1 OB 2 ? 1 ? x12 ? y12 ? 1
2 2 x2 ? y2 ?1

所以 ? ?

?

x12 ? 1
2 x2 ?1

.????11 分

由(Ⅱ) (i)知: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
? 3 x 2 ?? 3 x 2 ? 3 ? x2 2 2 2 ? 2 1 , 所以 x12 x2 ? y12 y2 ? ? ? 1 ?? ? 2 ? ,即 x2 x1 ? 1 ? 2 2 ?? 2 2 ?

所以 ? ?

x12 ? 1
2 x2 ?1

?

x12 ? 1 .??????????13 分 2

因为 ? 3 ? x1 ? 3 , 所以 ? 的取值范围是
1 ? ? ? 2 .??????????14 分 2

13


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