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2015年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时跟踪检测 新人教A版必修4


2015 年高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时 跟踪检测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 1、4 2、5 3、6 9、10 7、8、11 中档 稍难 12

考查知识点及角度 向量数量积的运算 与模有关的问题 向量的夹角与垂直问题

?1 1? 1.设向量 a=(1,0),b=? , ?,则下列结论中正确的是( ?2 2?
A.|a|=|b| C.a∥b 解析:|a|=1,|b|= 2 ,故 A 不正确; 2 B.a·b= 2 2

)

D.a-b 与 b 垂直

1 又 a·b= ,所以 B 不正确;显然 C 不正确; 2 1? ?1 a-b=? ,- ?,

?2

2?

1 1 ? 1? 1 又 × +?- ?× =0, 2 2 ? 2? 2 所以(a-b)⊥b.故选 D. 答案:D 2.a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a·b 等于( A.23 C.63
2 2 2 2

)

B.57 D.83

解析:3|a| -4a·b=3[(-4) +3 ]-4(-4×5+3×6)=83. 答案:D 3.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:cos A= )

B.直角三角形 D.任意三角形 ?1,1?·?-3,3? π = =0,则 A= ,故选 B. → → 2 2·3 2 |AB||AC|
1

AB·AC

→ →

答案:B 4.已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 2,则|b|=( A. 5 C.5
2 2

)

B. 10 D.25

解析:|a+b|=5 2? a +2a·b+b =50,条件代入得|b|=5.选 C. 答案:C 5.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为________. 解析:|a|= 13,|b|= 65,a·b=13, 设 a 与 b 的夹角为 θ ,由 cos θ = 13 13× 65 = 5 , 5

∴a 在 b 方向的投影为|a|cos θ = 13× 答案: 65 5

5 65 = . 5 5

→ → 6.在△ABC 中,∠C=90°,AB=(k,1),AC=(2,3),则 k 的值为______. → → → → → 解析:BC=AC-AB=(2,3)-(k,1)=(2-k,2).∵∠C=90°,即AC⊥BC, ∴2(2-k)+3×2=0,k=5. 答案:5 → → → → 7.已知向量AB=(4,0),AC=(2,2),则AC与BC的夹角的大小为________. → → → 解析:BC=AC-AB=(2,2)-(4,0)=(-2,2), → → 所以AC·BC=2×(-2)+2×2=0. → → → → 所以AC⊥BC.即AC与BC的夹角为 90°. 答案:90° 8.已知 a=(1,2),b=(1,-1). (1)若 θ 为 2a+b 与 a-b 的夹角,求 θ 的值. (2)若 2a+b 与 ka-b 垂直,求 k 的值. 解:(1)因为 a=(1,2),b=(1,-1), 所以 2a+b=(3,3),a-b=(0,3). ?2a+b?·?a-b? 9 2 所以 cos θ = = = . |2a+b||a-b| 2 3 18 π 因为 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 4 (2)ka-b=(k-1,2k+1),依题意(3,3)·(k-1,2k+1)=0,
2

所以 3k-3+6k+3=0.所以 k=0.

? π π? 9.已知向量 a=(1,0),b=(cos θ ,sin θ ),θ ∈?- , ?,则|a+b|的取值范 ? 2 2?
围是( ) B.[0, 2 ] D.[ 2,2]
2 2

A.[0, 2 ] C.[1,2]

解析:|a+b|= ?1+cos θ ? +?sin θ ? = 2+2cos θ .

? π π? ∵θ ∈?- , ?,∴cos θ ∈[0,1]. ? 2 2?
∴|a+b|∈[ 2,2]. 答案:D 10.已知 a=(2,1)与 b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数 t 的值为________. 解析:a+tb=(2+t,1+2t), ∴|a+tb|= ?t+2? +?2t+1? = 4 3 5 ∴当 t= 时,|a+tb|有最小值 . 5 5 4 答案: 5 11.已知点 A(1,2)和 B(4,-1),问能否在 y 轴上找到一点 C,使∠ACB=90°?若不 能,请说明理由;若能,求出 C 点的坐标. 解:假设存在点 C(0,y), → → 使∠ACB=90°,则AC⊥BC. → ∵AC=(-1,y-2), →
2 2

? 4?2 9 5?t- ? + . ? 5? 5

BC=(-4,y+1),AC⊥BC,
→ → ∴AC·BC=4+(y-2)(y+1)=0. ∴y -y+2=0. 而在方程 y -y+2=0 中,Δ <0, ∴方程无实数解.故不存在满足条件的点 C.
2 2

→ →

→ → → 12.平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点 Q 为直线 OP 上的一个动点.
3

→ → → (1)当QA·QB取最小值时,求OQ的坐标; (2)当点 Q 满足(1)的条件和结论时,求 cos ∠AQB 的值. → 解:(1)设OQ=(x,y). → → → → → ∵点 Q 在直线OP上,∴向量OQ与OP共线.又OP=(2,1),∴x=2y.∴OQ=(2y,y). → → → 又QA=OA-OQ=(1-2y,7-y), →

QB=OB-OQ=(5-2y,1-y),
→ → ∴QA·QB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y) =5y -20y+12=5(y-2) -8. → → → 故当 y=2 时,QA·QB有最小值-8,此时OQ=(4,2). → → (2)由(1)知QA=(-3,5),QB=(1,-1),
2 2

→ →



QA·QB=-8,|QA|= 34,|QB|= 2,
→ ∴cos ∠AQB= 4 17 =- . → → 17 |QA||QB| →







QA·QB

1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径.准确 地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量 数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问 题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习 中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若

a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.

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