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2010年高考数学文科试题解析版(江西卷)


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分。 考生注意: 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答,答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式
如果事件 A, B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A, B ,相互独立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )
如果事件

A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
k n k n?k

4 V = π R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) = C p (1 ? p )

第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的。 有一项是符合题目要求的。 1.对于实数 a , b, c , a > b ”是“ ac > bc ”的 “
2 2

A.充分不必要条件 条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要

【答案】B 【解析】主要考查不等式的性质。当 C=0 时显然左边无法推导出右边,但右边可以推出左边 2.若集合 A = x | x |≤ 1 , B = x x ≥ 0 ,则 A I B = A. x ?1 ≤ x ≤ 1

{

}

{

}

{

}

B. x x ≥ 0

{

}

C. x 0 ≤ x ≤ 1

{

}

D. ?

【答案】C 【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素,由题知 集合 A 是由大于等于-1 小于等于 1 的数构成的集合,所以不难得出答案 3. (1 ? x)10 展开式中 x 3 项的系数为 A. ?720 【答案】D B. 720 C. 120 D. ?120

【解析】 考查二项式定理展开式中特定项问题, 解决此类问题主要是依据二项展开式的通项, 由
4 2 4.若 f ( x) = ax + bx + c 满足 f ′(1) = 2 ,则 f ′( ?1) =

A. ?4 B. ?2 C.2 【答案】B 【解析】考查函数的奇偶性,求导后导函数为奇函数,所以选择 B 5.不等式 x ? 2 > x ? 2 的解集是 A. ( ?∞, 2) B. ( ?∞, +∞ ) D. ( ?∞, 2) U (2, +∞ ) C. (2, +∞ )

D.4

【答案】A 【解析】考查含绝对值不等式的解法,对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解,可 以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。 但此题利用代值法会更好 6.函数 y = sin x + sin x ? 1 的值域为
2

A. [ ?1,1]

B. [ ?

5 , ?1] 4

C. [ ?

5 ,1] 4

D. [ ?1, ]

5 4

【答案】C 【解析】 考查二次函数型值域问题。 通过函数形状发现此函数很像二次函数, 故令 sin X = t
2 可得 y = t + t ? 1 从而求解出二次函数值域

7.等比数列 {an } 中, | a1 |= 1, a5 = ?8a2 , a5 > a2 , 则 an = A. ( ?2) n?1 B. ?( ?2n?1 ) C. ( ?2) n D. ?( ?2) n

【答案】A 【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。 8.若函数 y =

A. 1 D.任意实数 【答案】B 【解析】 考查反函数, 因为图像本身关于直线 y = x 对称故可知原函数与反函数是同一函数, 所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。 或利用反函数的性质,依题知(1,a/2)与(a/2,1)皆在原函数图故可得 a=-1 9.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p (0 < p < 1) ,假设每 位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学通过测试的概率为 A. (1 ? p ) n D. 1 ? (1 ? p ) n 【答案】D 【解析】 考查 n 次独立重复事件中 A 事件恰好发生 K 次的公式, 可先求 n 次测试中没有人通 B. 1 ? p n C. p n

ax 的图像关于直线 y = x 对称,则 a 为 1+ x B. ?1 C. ±1

过的概率再利用对立事件得答案 D
2 2 10.直线 y = kx + 3 与圆 ( x ? 2) + ( y ? 3) = 4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥ 2 3 ,则 k 的

取值范围是 A. [ ? , 0]

3 4

B. [ ?

3 3 , ] 3 3

C. [ ? 3, 3]

D. [ ? , 0]
B

2 3

A
C

D

【答案】B 【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求|MN|再结合|MN|≥

M
D1

2 3 可得答案
法二、利用圆的性质知:圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的 平方求出|MN|再结合|MN|≥ 2 3 可得答案 11.如图,M 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 DD1 的中点,给出下列命题 ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行. 其中真命题是: A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质 12.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数
B1

A1 C1

y = sin 2 x ,

y = sin( x + ) , y = sin( x ? ) 的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有 6 3
错误,那么有错误的图像是 ..

π

π

x

x

A

B

x

x

C 【答案】C

D

【解析】考查三角函数图像,通过三个图像比较不难得出答案 C 绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

文科数学
第Ⅱ卷
注意事项: 注意事项: 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效。 第Ⅱ卷 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效。 填空题: 小题, 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在答题卡上 填空题 13.已知向量 a , b 满足 | b |= 2 , a 与 b 的夹角为 60° ,则 b 在 a 上的投影是 【答案】1

r

r

r

r

r

r

r



r

r

r

【解析】考查向量的投影定义, b 在 a 上的投影等于 b 的模乘以两向量夹角的余弦值 14.将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三个不同场馆服 务,不同的分配方案有 种(用数字作答) ; 【答案】90 【解析】考查排列组合里分组分配问题, 15.点 A( x0 , y0 ) 在双曲线 于 2x0 ,则 x0 =

x2 y 2 ? = 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等 4 32

B

A
C

D

【答案】2 【解析】 考查双曲线的比值定义, 利用点 A 到右焦点比上到右准线的距离等 于离心率得出 x0 = 2 16.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点均在同一个球面上, AB = AA1 = 1 ,

A1 B1 C1

D1

BC = 2 ,则 A , B 两点间的球面距离为
【答案】

.

π
3

【解析】考查球面距离,可先利用长方体三边长求出球半径,在三角形中求出球心角,再利 用球面距离公式得出答案 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = 6 x3 + 3( a + 2) x 2 + 2ax . (1)若 f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 = 1 ,求实数 a 的值;

(2)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由. 【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解: f ′( x) = 18 x 2 + 6( a + 2) x + 2a

2a = 1 ,所以 a = 9 ; 18 2 2 (2)由 ? = 36( a + 2) ? 4 × 18 × 2a = 36( a + 4) > 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 R 上的单调函数.
(1)由已知有 f ′( x1 ) = f ′( x2 ) = 0 ,从而 x1 x2 =

18. (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随 机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、 3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开 一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止. ... (1)求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率; (2)求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率. 【解析】 考查数学知识的实际背景, 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、 随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 解:(1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件,则 P ( A) =

1 . 3 1 1 1 1 (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件,则 P ( B ) = + + = . 6 6 6 2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (1 + cot x ) sin 2 x ? 2 sin( x + (1)若 tan α = 2 ,求 f (α ) ; (2)若 x ∈ [

π

) sin( x ? ) . 4 4

π

, ] ,求 f ( x ) 的取值范围. 12 2

π π

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数 化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解: (1) f ( x ) = sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x =

1 ? cos 2 x 1 + sin 2 x + cos 2 x 2 2

1 1 (sin 2 x + cos 2 x ) + 2 2 2sin α cos α 2 tan α 4 由 tan α = 2 得 sin 2α = = = , 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5 =

cos 2α =
所以 f (α ) =

cos 2 α ? sin 2 α 1 ? tan 2 α 3 = =? , 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5

3 . 5

(2)由(1)得 f ( x ) = 由 x ∈[

1 1 2 π 1 (sin 2 x + cos 2 x ) + = sin(2 x + ) + 2 2 2 4 2

π 5π 5π π 2 , ] 得 2 x + ∈ [ , ] ,所以 sin(2 x + ) ∈ [ ? ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2 π 1 1+ 2 从而 f ( x ) = sin(2 x + ) + ∈ [0, ]. 2 4 2 2

π π

20. (本小题满分 12 分) 如图, ?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ⊥ 平 面 BCD , AB ⊥ 平面 BCD ,

A

AB = 2 3 .
(1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. 【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间 向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理 能力
M B D

C

解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD ⊥ 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD , 所以 MO∥AB, B、 A、 O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E,则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的 角.

EO MO 1 OB=MO= 3 ,MO∥AB,则 = = , EO = OB = 3 , EB AB 2 所以 EB = 2 3 = AB ,故 ∠AEB = 45o .
(2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连 AF,则 AF⊥EC,∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的 平面角,设为 θ . 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°. F _

A _

M _ B _ O _ C _ E _ D _

H _

BF = BC ? sin 60o = 3 ,

AB 2 5 = 2 , sin θ = BF 5 2 5 所以,所求二面角的正弦值是 . 5 tan θ =
解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD ⊥ 平面 BCD , 则 MO⊥平面 BCD . 以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系如图. OB=OM= 3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0) ,C(1,0,0) , ,B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , M(0,0, 3 ) (1)设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 α . 因 AM = (0, 3 , ? 3 ) ,平面 BCD 的法向量为 n = (0, 0,1) .

A

z

M B O D

uuuu r

r

uuuu r r uuuu r r AM ? n 3 2 = ,所以 α = 45o . 则有 sin α = cos AM , n = uuuu r = r 2 6 AM ? n
(2) CM = ( ?1, 0, 3) , CA = ( ?1, ? 3, 2 3) .

y

x

C

uuuu r

uuu r

z

ur uuuu r ur ?n1 ⊥ CM ?? x + 3 z = 0 ? ? .解得 设平面 ACM 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,由 ? ur uuu 得 ? r ?? x ? 3 y + 2 3z = 0 ?n1 ⊥ CA ? ? ur r x = 3 z , y = z , 取 n1 = ( 3,1,1) . 又 平 面 BCD 的 法 向 量 为 n = (0, 0,1) , 则 ur r ur r n1 ? n 1 cos < n1 , n >= ur r = 5 n1 ? n
设所求二面角为 θ ,则 sin θ = 1 ? (

1 2 2 5 . ) = 5 5

21. (本小题满分 12 分) 已 知 抛 物 线 C1 : x 2 + by = b 2 经 过 椭 圆 C2 :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点. a2 b2

y

Q

O M
N

x

(1) 求椭圆 C2 的离心率; (2) 设 Q (3, b) ,又 M , N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若 ?QMN 的重心在抛物线

C1 上,求 C1 和 C2 的方程.
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。
y

解: (1)因为抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0) , 所以 c 2 + b × 0 = b 2 ,即 c 2 = b 2 ,由 a 2 = b 2 + c 2 = 2c 2 得椭圆 C2 的

Q

2 离心率 e = . 2
(2)由(1)可知 a 2 = 2b 2 ,椭圆 C2 的方程为:

O M
N

x

x2 y2 + 2 =1 2b 2 b
联立抛物线 C1 的方程 x 2 + by = b 2 得: 2 y 2 ? by ? b 2 = 0 , 解得: y = ?

b 6 或 y = b (舍去) ,所以 x = ± b , 2 2

即 M (?

6 b 6 b b, ? ), N ( b, ? ) ,所以 ?QMN 的重心坐标为 (1, 0) . 2 2 2 2

因为重心在 C1 上,所以 12 + b × 0 = b 2 ,得 b = 1 .所以 a 2 = 2 . 所以抛物线 C1 的方程为: x 2 + y = 1 ,

x2 椭圆 C2 的方程为: + y2 = 1. 2

22. (本小题满分 14 分)
2 正实数数列 {an } 中, a1 = 1, a2 = 5 ,且 {an } 成等差数列.

(1) 证明数列 {an } 中有无穷多项为无理数;

(2)当 n 为何值时, an 为整数,并求出使 an < 200 的所有整数项的和. 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识
2 证明: (1)由已知有: an = 1 + 24( n ? 1) ,从而 an = 1 + 24(n ? 1) ,

方法一:取 n ? 1 = 24

2 k ?1

,则 an = 1 + 24

2k

(k ∈ N )
*

用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an = 1 + 24
2k

为有理数,则 an 必为正整数,且 an > 24 k ,

故 an ? 24 k ≥ 1 . an ? 24 k > 1 ,与 ( an ? 24 k )( an + 24 k ) = 1 矛盾, 所以 an = 1 + 24
2k

( k ∈ N )都是无理数,即数列 {an } 中有无穷多项为无理数;
*

2 方法二:因为 an +1 = 1 + 24 n, ( n ∈ N ) ,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时,1 + 24n 的末位

数字是 3 和 7 ,它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时 an +1 = 1 + 24n 不是有 理数,因这种 n 有无穷多,故这种无理项 an +1 也有无穷多. (2) 要使 an 为整数,由 (an ? 1)(an + 1) = 24( n ? 1) 可知:

an ? 1, an + 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an ? 1 = 6m 或 an + 1 = 6m
2 当 an = 6m + 1 时,有 an = 36 m 2 + 12 m + 1 = 1 + 12 m(3m + 1) ( m ∈ N ) 2 又 m (3m + 1) 必为偶数,所以 an = 6m + 1 ( m ∈ N )满足 an = 1 + 24( n ? 1)

即n =

m(3m + 1) + 1 ( m ∈ N )时, an 为整数; 2

2 同理 an = 6 m ? 1( m ∈ N * ) 有 an = 36 m 2 ? 12m + 1 = 1 + 12m(3m ? 1) ( m ∈ N * ) 2 也满足 an = 1 + 24( n ? 1) ,即 n =

m(3m ? 1) + 1 ( m ∈ N * )时, an 为整数; 2

显然 an = 6 m ? 1( m ∈ N * ) 和 an = 6m + 1 ( m ∈ N )是数列中的不同项; 所以当 n =

m(3m + 1) m(3m ? 1) + 1 ( m ∈ N )和 n = + 1 ( m ∈ N * )时, an 为整数; 2 2

由 an = 6m + 1 < 200 ( m ∈ N )有 0 ≤ m ≤ 33 ,
* 由 an = 6m ? 1 < 200 ( m ∈ N )有 1 ≤ m ≤ 33 .

设 an 中满足 an < 200 的所有整数项的和为 S ,则

S = (5 + 11 + L + 197) + (1 + 7 + L + 199) =

5 + 197 1 + 199 × 33 + × 34 = 6733 2 2

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

文科数学参考答案
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 选择题:
题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 C

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 13.1 14.90 15.2 16.

π
3

解答题: 小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: f ′( x) = 18 x 2 + 6( a + 2) x + 2a

2a = 1 ,所以 a = 9 ; 18 (2)由 ? = 36( a + 2) 2 ? 4 × 18 × 2a = 36( a 2 + 4) > 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 R 上的单调函数.
(1)由已知有 f ′( x1 ) = f ′( x2 ) = 0 ,从而 x1 x2 = 18. (本小题满分 12 分) 解:(1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件,则 P ( A) =

1 . 3 1 1 1 1 (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件,则 P ( B ) = + + = . 6 6 6 2

19. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) = sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x =

1 ? cos 2 x 1 + sin 2 x + cos 2 x 2 2

1 1 (sin 2 x + cos 2 x ) + 2 2 2sin α cos α 2 tan α 4 由 tan α = 2 得 sin 2α = = = , 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5
=

cos 2α =
所以 f (α ) =

cos 2 α ? sin 2 α 1 ? tan 2 α 3 = =? , 2 2 2 sin α + cos α 1 + tan α 5

3 . 5
1 1 2 π 1 (sin 2 x + cos 2 x ) + = sin(2 x + ) + 2 2 2 4 2

(2)由(1)得 f ( x ) = 由 x ∈[

π 5π 5π π 2 , ] 得 2 x + ∈ [ , ] ,所以 sin(2 x + ) ∈ [ ? ,1] 12 2 4 12 4 4 2

π π

从而 f ( x ) =

2 π 1 1+ 2 sin(2 x + ) + ∈ [0, ]. 2 4 2 2

20. (本小题满分 12 分) 解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD ⊥ 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD ,所以 MO∥AB,A、B、O、M 共面.延 长 AM、BO 相交于 E,则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.

EO MO 1 = = , EO = OB = 3 , EB AB 2 所以 EB = 2 3 = AB ,故 ∠AEB = 45o .
OB=MO= 3 ,MO∥AB,则 (2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连 AF,则 AF⊥EC,∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的 平面角,设为 θ . 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.

A _

M _ B _ O _ C _ E _ D _

H _ F _

BF = BC ? sin 60o = 3 , AB 2 5 = 2 , sin θ = BF 5 2 5 所以,所求二面角的正弦值是 . 5
tan θ =

解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD ⊥ 平面 BCD , 则 MO⊥平面 BCD . 以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系如图. OB=OM= 3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0) ,C(1,0,0) , M(0,0, 3 ) ,B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , (1)设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 α .

A

z

M B O D

uuuu r r 因 AM = (0, 3 , ? 3 ) ,平面 BCD 的法向量为 n = (0, 0,1) .

uuuu r r uuuu r r AM ? n 3 2 则有 sin α = cos AM , n = uuuu r = = ,所以 α = 45o . r 2 6 AM ? n
(2) CM = ( ?1, 0, 3) , CA = ( ?1, ? 3, 2 3) .

y

x

C

uuuu r

uuu r

z

ur uuuu r ur ?n1 ⊥ CM ?? x + 3 z = 0 ? ? 设平面 ACM 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,由 ? ur uuu 得 ? .解得 r ?? x ? 3 y + 2 3z = 0 ?n1 ⊥ CA ? ? ur r x = 3 z , y = z , 取 n1 = ( 3,1,1) . 又 平 面 BCD 的 法 向 量 为 n = (0, 0,1) , 则 ur r ur r n1 ? n 1 cos < n1 , n >= ur r = 5 n1 ? n
设所求二面角为 θ ,则 sin θ = 1 ? ( 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0) ,
y

1 2 2 5 . ) = 5 5

所以 c + b × 0 = b ,即 c = b ,由 a = b + c = 2c 得椭圆 C2 的
2 2 2 2 2 2 2 2

Q
离心率 e =

2 . 2
O

x
N

(2)由(1)可知 a = 2b ,椭圆 C2 的方程为:
2 2

M

x2 y2 + 2 =1 2b 2 b
联立抛物线 C1 的方程 x 2 + by = b 2 得: 2 y 2 ? by ? b 2 = 0 , 解得: y = ?

b 6 或 y = b (舍去) ,所以 x = ± b , 2 2

即 M (?

6 b 6 b b, ? ), N ( b, ? ) ,所以 ?QMN 的重心坐标为 (1, 0) . 2 2 2 2

因为重心在 C1 上,所以 12 + b × 0 = b 2 ,得 b = 1 .所以 a 2 = 2 . 所以抛物线 C1 的方程为: x + y = 1 ,
2

椭圆 C2 的方程为:

x2 + y2 = 1. 2

22. (本小题满分 14 分)
2 证明: (1)由已知有: an = 1 + 24( n ? 1) ,从而 an = 1 + 24(n ? 1) ,

方法一:取 n ? 1 = 24

2 k ?1

,则 an = 1 + 24 2 k ( k ∈ N * )

用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an = 1 + 24
2k

为有理数,则 an 必为正整数,且 an > 24 k ,

故 an ? 24 k ≥ 1 . an ? 24 k > 1 ,与 ( an ? 24 k )( an + 24 k ) = 1 矛盾, 所以 an = 1 + 24
2k

( k ∈ N )都是无理数,即数列 {an } 中有无穷多项为无理数;
*

2 方法二:因为 an +1 = 1 + 24 n, ( n ∈ N ) ,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时,1 + 24n 的末位

数字是 3 和 7 ,它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时 an +1 = 1 + 24n 不是有 理数,因这种 n 有无穷多,故这种无理项 an +1 也有无穷多. (2) 要使 an 为整数,由 (an ? 1)(an + 1) = 24( n ? 1) 可知:

an ? 1, an + 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an ? 1 = 6m 或 an + 1 = 6m
2 当 an = 6m + 1 时,有 an = 36 m 2 + 12 m + 1 = 1 + 12 m(3m + 1) ( m ∈ N ) 2 又 m (3m + 1) 必为偶数,所以 an = 6m + 1 ( m ∈ N )满足 an = 1 + 24( n ? 1)

即n =

m(3m + 1) + 1 ( m ∈ N )时, an 为整数; 2

2 同理 an = 6 m ? 1( m ∈ N * ) 有 an = 36 m 2 ? 12m + 1 = 1 + 12m(3m ? 1) ( m ∈ N * ) 2 也满足 an = 1 + 24( n ? 1) ,即 n =

m(3m ? 1) + 1 ( m ∈ N * )时, an 为整数; 2

显然 an = 6 m ? 1( m ∈ N * ) 和 an = 6m + 1 ( m ∈ N )是数列中的不同项; 所以当 n =

m(3m + 1) m(3m ? 1) + 1 ( m ∈ N )和 n = + 1 ( m ∈ N * )时, an 为整数; 2 2

由 an = 6m + 1 < 200 ( m ∈ N )有 0 ≤ m ≤ 33 , 由 an = 6m ? 1 < 200 ( m ∈ N * )有 1 ≤ m ≤ 33 . 设 an 中满足 an < 200 的所有整数项的和为 S ,则

S = (5 + 11 + L + 197) + (1 + 7 + L + 199) =

5 + 197 1 + 199 × 33 + × 34 = 6733 2 2


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