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2013高中数学高考真题分类:考点36-直线、平面垂直的判定及其性质

温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl, 滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。 考点 36 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1.(2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科· T4) 已知 m,n 为异面直线 ,m⊥平面 α ,n ⊥平面 β .直线 l 满足 l⊥ m,l⊥ n,l?α ,l?β ,则 A. α ∥ β 且 l∥ α B. α ⊥ β 且 l⊥ β C. α 与 β 相交 ,且交线垂直于 l D. α 与 β 相交 ,且交线平行于 l 【解析】选 D 因为 m,n 为异面直线 ,所以过空间内一点 P,作 m? / / m, n? / / n ,则 l ? m?, l ? n? , 即 l 垂 直 于 m? 与 n? 确 定 的 平 面 ? , 又 m ? 平 面 ? , n ? 平 面 ? , 所 以 m? ? 平面 ? ( ) , n? ? 平面 ? , 所以平面 ? 既垂直平面 ? , 又垂直平面 ? , 所以 ? 与 ? 相交 ,且交线垂直于平面 ? ,故交线平行于 l ,选 D. 2.(2013 ·浙江高考文科·T4) 设 m,n 是两条不同的直线 , α ,β 是两个不同的 平面 ( ) B.若 m∥ α ,m∥ β ,则 α ∥ β D.若 m∥ α ,α ⊥ β ,则 m⊥ β A. 若 m∥ α ,n∥ α ,则 m∥ n C. 若 m∥ n,m⊥ α ,则 n⊥ α 【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断 . 【解析】选 C. A 选项中 m 与 n 还有可能相交或异面 ;B 选项中 α 与 β 还有可 能相交 ;D 选项中 m 与 β 还有可能平行或 m? β . 3. ( 2013 ·山东高考理科·T 4 )已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直 , 体积为 9 ,底面积是边长为 3 的正三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心 ,则 PA 4 与平面 ABC 所成角的大小为 ( A. 5? 12 ) ? 4 B. ? 3 C. D. ? 6 【解题指南】本题考查直线与平面所成的角,注意线面角的做法:垂 - 连 证 -求 . 【解析】 选 B. 取正三角形 ABC 的中心 O , 连结 OP ,则 ?PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角 . 因为底面边长为 3 ,所以 AD ? 3 ? 为 ? ( 3)2 ? 即 ?PAO ? ? 3 1 2 2 2 3 3 3 ? , AO ? AD ? ? ? 1. 三棱柱的体积 3 3 2 2 2 3, OP 3 9 tan ?PAO ? ? AA1 ? , 解得 AA1 ? 3 ,即 OP ? AA 1 ? 3 , 所以 OA 2 4 . 4. ( 2013 ·大纲版全国卷高考文科·T 11)与( 2013·大纲版全国卷高考 理科·T 10 )相同 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1中,AA1 ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥 C ? BDC1 的高为 h 即可确定 CD 与平 面 BDC1 所成角的正弦值 . 【解析】选 A.如图,设 AB ? a ,则 AA1 ? 2a ,三棱锥 C ? BDC1 的高为 h , CD 与 平面 BDC 1 所成的角为 ? . 因为 VC?BDC ? VC ?BDC ,即 ? ? 2a ? 1 1 1 1 3 2 2 3 2 1 1 ah ? ? a 2 ? 2a ,解得 h ? a . 所以 3 2 3 2 sin? ? h 2 ? . CD 3 5.(2013 ·浙江高考理科·T10) 在空间中 , 过点 A 作平面 π 的垂线 ,垂足为 B, 记 B=f π (A). 设 α , β 是 两 个 不 同 的 平 面 , 对 空 间 任 意 一 点 P,Q1=f β [f α (P)],Q 2=fα [fβ (P)], 恒有 PQ1=PQ2,则 A. 平面 α 与平面 β 垂直 B. 平面 α 与平面 β 所成的 (锐 )二面角为 45 ° C. 平面 α 与平面 β 平行 D. 平面 α 与平面 β 所成的 (锐 )二面角为 60 ° 【解题指南】充分理解题意 ,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断 . 【解析】选 A.由于 P 是空间任意一点 ,不妨设 P∈ α , 如图所示 , ( ) 则 Q1=fβ [fα (P)]=fβ (P),Q 2=fα [fβ (P)]=fα (Q1),又 PQ1=PQ2,显然 B,C,D 不满足 , 故选 A. 二、解答题 6. ( 2013· 重庆高考文科· T 19 ) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD , PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 , ?ACB ? ?ACD ? ? 3 . (Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积. 【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明 BD ⊥平面 PAC ,通过转化可 求解三棱锥的体积 . 【解析】(Ⅰ)证明 : 因 BC ? CD , 即 ?BCD 为等腰三角形 , 又 ?ACB ? ?ACD , 故 BD ? AC . 因为 PA ⊥底面 ABCD,所以 PA ? BD . 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交 直线 PA, AC 都垂直 ,所以 BD ⊥平面 PAC . (Ⅱ)三棱锥 P ? BCD 的底面 BCD 的面积 1 1 2? BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 ? 2 ? sin ? 3. 2 2 3 1 1 由 PA ⊥底面 ABCD,得 VP ?

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