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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第4章 简单几何体的体积 参考教案


简单几何体的体积
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想; 2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究,关键是对定积 分思想的理解及灵活运用,建立起正确的数学模型,根据定积分的概念解决体积 问题。 三、教学重难点: 重点:利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题; 难点;数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法:探究归纳,讲练结合 五、教学过程 (一) 、复习: (1) 、求曲边梯形面积的方法是什么?(2)、定积分的几何意义 是什么?(3) 、微积分基本定理是什么? (二)新课探析 问题:函数 y ? f ? x ? , x ? ? a, b? 的图像绕 x 轴旋转一周,所得到的几何体的 体积 V ? 典例分析 例 1、给定直角边为 1 的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一 个圆锥体。求它的体积。 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取 极限(逼近) 学生阅读课本 P89 页分析,教师引导。 解:圆锥体的体积为
V ? ? ? x 2 dx ?
0 1



2 V ? ? ? [ f ( x) ]dx a

b

?
3

x3

1 0

?

?
3

变式练习 1、求曲线 y ? ex ,直线 x ? 0 ,

-1-

x?

1 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 2

答案:

?

2

(e ? 1) ;

例 2、 如图, 是常见的冰激凌的形状,其下方是一个圆锥, 上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状,尺寸 如图所示,试求其体积。 分析:解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按 下图位置放置,并建立坐标系。则 A,B 坐标可得,再求出直 线 AB 和抛物线方程, “冰激凌”可看成是由抛物线弧 OB 和线 段 AB 绕 X 轴旋转一周形成的。 解: 将其轴载面按下图位置放置, 并建立如图的坐标系。 则 A(12,0) , B(4,4) , 设抛物线弧 OA 所在的抛物线方程为: y 2 ? 2 px ,代 入 B(4,4) 求得: p ? 2 ∴抛物线方程为: y 2 ? 4 x ( y ? 0 )
x ? qy ? 12 , 设直线 AB 的方程为: 代入 B(4,4) 求

得: q ? ?2
1 ∴直线 AB 的方程为: y ? ? x ? 6 2
12 1 ? 4 ? 224? ∴所求“冰激凌”的体积为: ? ?? (2 x ) 2 dx ? ? (? x ? 6) 2 dx? ? (cm) 3 0 4 2 3 ? ?

变式练习 2 如图一,是火力发 电厂烟囱示意图。 它是双 曲线绕其一条对称轴旋 转一周形成的几何体。 烟 囱最细处的直径为 10 m , 最下端的直径为 12m , 最 细处离地面 6 m ,烟囱高

-2-

14 m ,试求该烟囱占有空间的大小。 (图二)

(图一)

(精确到 0.1m3 )

答案: 1659 .2m3

归纳总结:求旋转体的体积和侧面积 由曲线 y ? f ( x) ,直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成的曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为 V ? ? ? [ f ( x)]2 dx .其侧面积为
a b

S侧 ? 2? ? f ( x) 1 ? [ f ' ( x)]2 dx .
a

b

求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结 求旋转体体积公式步骤如下: 1. 先求出 y ? f ? x ? 的表达式; 2. 代 入公式 V ? ? ? f 2 ? x ?dx ,即可求旋转体体积的值。
a b

(三) 、课堂小结:求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结 求旋转体体积公式步骤如下:1.先求出 y ? f ? x ? 的表达式;2.代入公式

V ? ? ? f 2 ? x ?dx ,即可求旋转体体积的值。
a

b

(四) 、作业布置: 五、教后反思

-3-


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