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2012年秋季湖北省部分重点中学期中联考


2012 年秋季湖北省部分重点中学期中联考

高三数学试卷(文)
命题学校:大冶一中 命题教师:柯尊胜 考试时间:2012 年 11 月 19 日下午 3:00—5:00 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 ,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1、若集合 A= y y ? e x , x ? R ,B={x|lgx<0},则 A ? B=( A. ( 0,2] B.[0,2] C. (0,1)

?

?

) D.[0,1)

1 2.设 a=20.5,b=0.52,c= ( )? 1.5 ,则 a,b,c 的大小关系是( ) 2 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 3.等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6·8 的值为( b A.2 B.4 C.8 D.16 x 4.己知命题 p:? x∈R,ln(e +1)>0,则非 p 为( ) A.? x∈R,ln(ex+1)<0 B.? x∈R,ln(ex+1)<0 C.? x∈R,ln(ex+1)≤0 D.? x∈R,ln(ex+1)≤0
5.向量 a ? (1,?1), b ? (1,2)向量c满足:(c ? b) ? a, (c ? a) // b, 则c等于 ( A.(2,1) B.(1,0) C.(





3 1 , ) 2 2

D.(0,-1)

6.已知△ABC 角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinC=2sinA,cosB= 的面积为( )

1 ,b=2,则△ABC 4

A.

15 8

B.

15 4

C.

3 15 4

D.

1 2

7.设等比数列{an}的通项式 an=a(1+a)n-1,若数列{an}为递增数列,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a>-1
3

B.a>0

C.a>-1 且 a≠0

D.a≠-1 且 a≠0

8.函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. (-2,2) B. ? ? ,-2) ( C. (2, ? ? ) D.[-2,2] 9.函数 f(x)=2sin(ωx+ ? )-1 在 x 轴正半轴上的零点从小到大依次为:

x1 ?


7? 23? 31? ,且 f(0)>0,则函数 f(x)经过以下图象变换后为奇函数的是 , x2 ? , x3 ? 24 24 24

1

? 个单位 8 ? B.向下平移 1 个单位,向左平移 个单位 8 ? C.向上平移 1 个单位,向左平移 个单位 8 ? D.向上平移 1 个单位,向右平移 个单位; 8
A.向下平移 1 个单位,向右平移 1 10. a , b, c 均为单位向量, a ·b =- , =x a +y b (x, 若 且 y∈R), x+y 的最大值是( 则 ) c 2 A.2 B. 3 C. 2 D.1 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 1 11.若复数 z ? , 则z ? z =____________. 4 ? 3i 12.已知函数 f(tanx)=sinx· cosx,x∈ ? ?

1 ? ? ?? , ? ,则 f ( ) =________. 2 ? 2 2?

?0 ? x ? 2 ? 13.已知条件 p: ? 0 ? y ? 2 ,条件 q:y≥x+a,若条件 p 是条件 q 的充分条件,则实数 a ?3 y ? x ? 2 ?
的范围是____________. * 14.在等差数列{an}中,若 a8=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n(n<15,且 n ? N )成立.类 比上述性质,在等比数列{bn}中,若 b10=1,则有_____________________成立。 15.若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是______。

1 1 ? ?2 a b a 16. 对正整数 n, 设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an, bn ? n , 设 n ?1
① ab ? 1 ; ② a? b?

2;

③ a ?b ? 2 ; ④ a ? b ? 3; ⑤
2 2 3 3

则数列{bn}的通项公式是_____________________。 17.已知函数 y=f(x)的定义域为 R(b>a>0) ①若 f(x+a)=-f(x)恒成立,则 y=f(x)的周期为 2a; ②若 y=f(x+a)为偶函数,则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; ③若 y=f(x+a)为奇函数,则 y=f(x)的图象关于点(-a,0)对称; ④若 y=f(x+a)为奇函数,y=f(x+b)为偶函数,则 y=f(x)的周期为 2(b-a) ; ⑤若 y=f(x+a)为偶函数,y=f(x+b)也为偶函数,则 y=f(x)的周期为 2(b-a) ; 其中正确命题的序号是 。

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=2x+|x―a|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥4x+1 的解集; (2)若不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1},求 a 的值. 19.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos?x, sin ?x), b ? (cos?x,2 3 cos?x ? sin ?x) ,函 数 f(x)= a ? b ? ? ( x ? R) 的图象关于点( (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)过点(

5? , ? )中心对称,且 ? ? (0,2) 12

? ,求函数 y=f(x)的值域. ,2 ) 3

20、 (本小题满分 13 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收 益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (Ⅰ)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求; (Ⅱ)现有两个奖励函数模型:(1)y= 否符合公司要求?

x ? 2 ;(2)y=4lgx-3.试分析这两个函数模型是 150

21.(本题满分 14 分)已知 ?a n ? 是等比数列, S n 是其前 n 项和, (1)若 a1 , a7 , a 4 成等差数列,求证: 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列。 (2)若 a1=1,bn=na3n+1,求数列{bn}前 n 项和 Tn。

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性;
3

(2)对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ?

1 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2

( 3)是否 存在最小的正常数 m ,使 得:当 a ? m 时,对于任意正 实数 x ,不等式

f (a ? x) ? f (a) ? e x 恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性.

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高三数学试卷(文)参考答案
一、选择题答案 CBDCA BCADA

二、填空题答案 11.

1 25

12.

2 5

13. a ? ?

2 3

14.b1b2·…·bn=b1·2·…·b19-n b

15.①③⑤ 三、解答题

16.bn=2n

17.①②⑤

18.解: (1)a=1 时不等式 f(x)≥4x+1 即为 2x+|x-1|≥4x+1

? |x-1|≥2x+1 ? x-1≤-2x-1 或 x-1≥2x+1 ? x≤0 或 x≤-2 ? x≤0…………………………………………………………………(5 分)
∴不等式解集为:{x|x≤0}………………………………………… (6 分) (2)x=-1 为方程 2x+|x-a|=0 的根………………………………(8 分)

? -2+|a+1|=0 ? a=1 或 a=-3…………………………………………………………(12 分)
19. 解: (1)f(x)=cos2ωx+2 3 sinωxcosωx-sin2ωx+λ = 3 sin2ωx+cos2ωx+λ
4

? )+λ…………………………………………………………(3 分) 6 5? ? 依题意: ω+ =k∈Z 6 6 6k 1 ? 又 ω∈(0,2) ? ω= 5 5
=2sin(ωx+

? ω=1

? )+λ…………………………………………………(3 分) 6 ? ? ? ? ? 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ? kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z) 2 6 2 3 6 ? ? 所以 f(x)的递增区间为[kπ- ,kπ+ ] (k∈Z)…………………(8 分) 3 6 ? ? (2)由 f( )=2 ? λ=1 ? f(x)=2sin(2x+ )+1 3 6
? f(x)=2sin(2x+
∴f(x)的值域为:[-1,3] …………………………(12 分)

20.解: (1)设奖励函数模型为 y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是: 当 x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③ f ( x) ? (2)对于函数模型 f ( x) ?

x 恒成立.(3 分) 5

x ?2: 150

当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x) max ? f (1000) ? 所以 f(x)≤9 恒成立. 因为函数

1000 20 ?2? ? 2 ? 9. 150 3
(5 分)

f ( x) 1 2 f ( x) 1 1 1 ? ? 在[10,1000]上是减函数,所以 [ ]max ? ? ? . x 150 x x 150 5 5 f ( x) 1 2 1 x ? ? ? ,即 f ( x) ? 不恒成立. 从而 x 150 x 5 5
故该函数模型不符合公司要求. 对于函数模型 f(x)=4lgx-3: 当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? 4lg1000 ? 3 ? 9 . 所以 f(x)≤9 恒成立. 设 g(x)=4lgx-3- …………………………(10 分) …………………………(8 分)

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ?( x) ? 5 x 5
5

当 x≥10 时,g ?( x) ?

4 lg e 1 2 lg e ? 1 lg e2 ? 1 所以 g(x)在[10, 1000]上是减函数, ? ? ? ? 0, x 5 5 5
x x x <0,即 4lgx-3< ,所以 f ( x) ? 恒成立. 故 5 5 5

从而 g(x)≤g(10)=-1<0.所以 4lgx-3- 该函数模型符合公司要求.
6 3

…………………………(13 分)

21.解: (1)由 2a7=a1+a4 得 2q -q -1=0 ∴q3=1 或 a3=-

1 2
1 ………………………………………………(4 分) 2

∴q=1 或 q= ? 3

当 a=1 时,s6=6a1,2s3=6a1,s12-s6=6a1 此时结论成立………………………………………………………………(6 分)

9 2 a 2 1 2a1 ? (1 ? q 3 )(q 6 ? q12 ) 当 q= ? 3 时,2s3· 12-s6)= (s ? 16 2 2 (1 ? q )2 (1 ? a )
2 s6 ? 2 a1

9 2 a ? (1 ? q ) ? 16 2 (1 ? q ) 2 (1 ? a )
6

此时结论也成立 ∴2s3,s6,s12-s6 成等比数列………………………………………………(8 分) (2)a3n+1=a1·3n=(q3)n q 当 q=1 时,bn=n,此时 Tn ? 当 q= ? 3

n(n ? 1) ……………………………………(10 分) 2

1 1 ,bn=n(- )n ,此时 2 2

1 1 1 1 - 1 )+2× (- )2+3× (- )3+…+(n-1)(- )n 1+n(- )n. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 - Tn=(- )2+2(- )3+3(- )4+…+(n-1)· (- )n+n(- )n+1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 ∴ Tn=(- )+(- )2+(- )3+…+(- )n―n(― )n+1 2 2 2 2 2 2
Tn=(-

1 1 ( ? ) ? [1 ? ( ? ) n ] 2 ? n( ? 1 ) n ? 1 = 2 1 2 1 ? (? ) 2

6

2 1 1 )· (- )n+1- 3 2 3 2 4 1 2 ∴Tn=-( n ? ) ? ( ? )n ? 1 ? 3 9 2 9 n(n ? 1) 2 4 1 2 综上:Tn=-( n ? ) ? ( ? )n ? 1 ? (q≠1)或 Tn ? (q=1) 3 9 2 9 2 …………………………………………(14 分)
=-(n+

?x n? ,得 22.⑴令 f() l x10 x ? ? ?

1 . e 1 e

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0.

1 e

1 e 1 1 ⑵由于 x ? 0 ,所以 fx x xk ? x . ( ?n x ) l ?? k l ? ? n 2 2 x 1 1 1 1 2? x1 ? 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx? ? 2? 2 ? ,得 x ? . () 0 2x 2 x2 x 2 x 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0. 2 2 1 1 1 所以函数k(x)在点 x ? 处取得最小值,即 k m? ? ? ? 2 ()i k x n () l n 11l . ? n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( ? ?n ). ………………………(7 分) ? ,1 l 2
所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增.…………… (3 分) ⑶结论:这样的最小正常数 m 存在. 解释如下:

1 e

f (a ? x) ? f (a) ? e x ? (a ? x) ln(a ? x) ? a ln a ? e x ?
构造函数 g ( x) ?

(a ? x) ln(a ? x) a ln a ? a . ea ? x e

x ln x ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a) 恒成立 . ……… (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ? 对于 g ( x ) 求导得 g ?( x) ? . e2 x ex 1 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 1 ,显然 h?( x) 是减函数. x 又 h?(1) ? 0 ,所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函
数,而 h(

1 1 1 1 2 2 ? e2 ) ? ln 2 ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ?2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 , e2 e e e e e h(1) ? ln1 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 , h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 1 ? 1 ? e ? 2 ? e ? 0 . 所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点,令为 x1 和 x2 ( x1 ? x2 ) ,并且有: 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, h( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 ;在区间
7

( x1 , x2 ) 上,h( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 . 从而可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调
递减,在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增. g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时,

g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大值,也是最大值.
题目要找的 m ? x2 ,理由是: 当 a ? x2 时,对于任意非零正数 x , a ? x ? a ? x2 ,而 g ( x ) 在 ( x2 , ??) 上单调递 减,所以 g (a ? x) ? g (a) 一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明 m ≤ x2 ; 当 0 ? a ? x2 时,取 x ? x2 ? a ,显然 x ? 0 且 g (a ? x) ? g ( x2 ) ? g (a) ,题目所要 求的不等式不恒成立,说明 m 不能比 x2 小. 综合可知,题目所要寻求的最小正常数 m 就是 x2 ,即存在最小正常数 m ? x2 ,当

a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a )e x 恒成立.

………… (14 分)

8


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