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北京市顺义区2013届高三二模 文科数学 Word版含答案


顺义区 2013 届高三第二次统练
数学试卷(文史类)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1.已知集合 A ? ? x ? R ? 3 ? x ? 2 ? , B ? x ? R x ? 1或 x ? 3? ,则 A ? B ? ( A. ( ? 3,1] 2.复数 A.
1 2 3 ? 2i 1? i ? 5 2 i ?(



B. ( ? 3,1) ) B.
1 2 ? 5 2 i

C. [1, 2 )

D. ( ? ? , 2 ) ? [3, ? ? )

C. ?

1 2

?

5 2

i

D. ?

1 2

?

5 2

i

3 . 从 {1, 2, 3, 4, 5} 中 随 机 选 取 一 个 数 a , 从 {1, 2 , 3} 中 随 机 选 取 一 个 数 b , 则 关 于 x 的 方 程
x ? 2 a x ? b ? 0 有两个不相等的实根的概率是(
2 2


3 5

A.

1 5

B.

2 5

C. )

D. 开始

4 5

4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( A. ? 1 0 C. 4 B. ? 3 D. 5

k ? 1, s ? 1

k ? k ?1

s ? 2s ? k

k ? 5?



否 输出 s 结束

5.已知数列 ? a n ? 中, a n ? ? 4 n ? 5 ,等比数列 ? b n ? 的公比 q 满足 q ? a n ? a n ? 1 ( n ? 2 ) 且 b1 ? a 2 ,则
b1 ? b 2 ? L ? b n ? (


1? 4 3
n

A. 1 ? 4

n

B. 4 ? 1
n

C.

D.

4 ?1
n

3

-1-

?x ? 2y ? 2 ? 3x? y 6.设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则 2 的取值范围是( ?4 x ? y ? ?1 ?
2 4 1 2



A. [

,

]

B. [ , 6 4 ]
2

1

C. [

2 4

, 64]

D. [

1 64

,2

2]

7.已知正三角形 A B C 的边长为 1 ,点 P 是 A B 边上的动点,点 Q 是 A C 边上的动点,且
uuu r uuu uuu r r uuu r uuu uur r A P ? ? A B , A Q ? (1 ? ? ) A C , ? ? R ,则 B Q ? C P 的最大值为(

) D. ?
3 8

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

3 8

8.设 m , n ? R ,若直线 l : m x ? n y ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且坐标原点 O 到 直线 l 的距离为 3 ,则 ? A O B 面积的最小值为( A.
1 2

) D. 4

B. 2

C. 3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 设 ? A B C 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且 c o sA ?
sin ? C _ _ _ _ _ ,B C ?A 的面积 S ?
x

1 3

?B ? ,

?
4

b ,?

5 ,则

.

10.已知函数 f ( x ) ? 1 0 ( x ? 0 ) ,若 f ( a ? b ) ? 1 0 0 ,则 f ( a b ) 的最大值为________. 11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人 1 天加工的零件数,则甲组工人 1 天每人加工零件的平均数 为____________; 若分别从甲、 乙两组中随机选取一名工人, 则这两名工人加工零件的总数超过了 3 8 的概率为________ 甲组 乙组
9 8

1

9

7

1

2

1

2

1

12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为
9 2 m ,则 h ? _ _ _ _ _ _ m .
2

h
正(主)视图 侧(左)视图

5 13.已知双曲线
x a x
2 2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为

2 6 3

,顶点与椭圆

4 2
俯视图

?

y

2

? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;

8

5

-2-

渐近线方程为_________. 14. 设函数 f ( x ) ? ?
? lo g 2 x , ?2 ? x, x ? 2 x ? 2

,则满足 f ( x ) ? 2 的 x 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
?
3
( 3 c o s x ? sin x ) sin 2 x 2 cos x ? 1 2

.

(Ⅰ)求 f (

) 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间. 16.(本小题满分 13 分) 已知 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 S 5 ? 3 0 , a 1 ? a 6 ? 1 4 . (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? 2
an

? 的前 n 项和公式.

17.(本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 P ? A B C D 中, A B ? 平 面 P A D . A B / / C D , P D ? A D , F 是 D C 上的 点且 D F ?
1 2

P
A B , P H 为 ? P A D 中 A D 边上的高.

(Ⅰ)求证: A B / / 平面 P D C ; (Ⅱ)求证: P H ? B C ; (Ⅲ)线段 P B 上是否存在点 E ,使 E F ? 平面 P A B ? 说明理由. A

F D H B

C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 b ?
1 2
e
x 2

1 ? ax

,其中 a 为正实数, x ?

1 2

是 f ( x ) 的一个极值点.

时,求函数 f ( x ) 在 [ b , ? ? ) 上的最小值.

19. (本小题满分 14 分)

-3-

已知椭圆 G :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

, F 1 , F 2 为椭圆 G 的两个焦点,点

P 在椭圆 G 上,且 ? P F 1 F 2 的周长为 4 ? 4 2 。

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程 (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 G 相交于 A 、 B 两点,若 O A ? O B ( O 为坐标原点) ,求证:直 线 l 与圆 x ? y ?
2 2

??? ?

??? ?

8 3

相切.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 a e ? 1 , g ( x ) ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 ,其中 a 为常数,e ? 2 .7 1 8 ……,
x

函数 y ? f ( x ) 的图象与坐标轴交点处的切线为 l 1 , 函数 y ? g ( x ) 的图象与直线 y ? 1 交点 处的切线为 l 2 ,且 l 1 / / l 2 。 (Ⅰ)若对任意的 x ? ? 1, 5 ? ,不等式 x ? m ?
x f (x) ? x 成立,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)对于函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 公共定义域内的任意实数 x 。我们把 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 的值称为两函数在 x 0 处的偏差。求证:函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 在其公共定义域的所 有偏差都大于 2.

-4-

顺义区 2013 届高三第二次统练
数学试卷(文史类)
一、ABCA BCDC 二、9.
4? 2 100 ? 25 , 6 9 2

10. 1 0 11. 2 0 ,

7 16

12. 4 13. ( ? 2 2 , 0 ), 1 5 x ? 3 y ? 0

14. ? 0 , 4 ?
?
3 ( )? 3 cos

?
3

? s in 2 cos

?
3

) s in

2? 3 ? 1 2

15.解(Ⅰ) f (

?
3

( 3? ?

1 2

? 2?

3 2 1 2

)?

3 2 ? 1 2

? 0?

1 2

?

1 2

……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)由 co s ? 0 得 x ? k ? ?
? ?

?
2

(k ? Z )

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R x ? k ? ?

?

? ,k ? Z ? 2 ?
1 2

因为 f ( x ) ?

(

3 c o s x ? s in x ) s in 2 x 2 cos x
1 2

?

? sin x (

3 c o s x ? sin x ) ?

?

3 2 3 2

s in 2 x ? s in x ?
2

1 2

?

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 2

?

1 2

-5-

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

cos 2 x

? sin ( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

2? 2

??

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? ? ( k ? Z ) , 2 2 ? ? 由 2k? ?
?
2 ? 2x ?

?

?

3

?

?
6

? 2k? ?

3? 2

, x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? 3

, x ? k? ?

?
2

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k ? ?
?

?

?
6

, k? ?

? ? ?

? 2? ? , k? ? ? , ? k? ? ? (k ? Z ) 2 ? ? 2 3 ?

……………………………………………………………13 分 16.解(Ⅰ)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d , 因为 S 5 ? 3 0 , a 1 ? a 6 ? 1 4
5?4 ? d ? 30 ? 5a1 ? 所以 ? 2 ? 2a ? 5d ? 14 ? 1

解得 a 1 ? 2 , d ? 2 . 所以 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n . ……………………………………………………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a n ? 2 n ,令 b n ? 2 则 bn ? 4 ,
n

an



bn ? 1 bn

?

4

n?1 n

? 4(n ? N )

?

4

所以 ? b n ? 是以 4 为首项,4 为公比的等比数列,

-6-

设数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n
4 (1 ? 4 )
n

则 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ?
2 3 n

1?4

?

4

n?1

? 3

4 3

……………………………………………………………13 分 17.(Ⅰ)证明: A B / / C D ,且 A B ? 平面 PCD, C D ? 平面 PCD,所以 A B / / 平面 PDC ……………………………………………………………2 分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? 平面 PAD,且 PH ? 平面 PAD , 所以 A B ? P H 又 PH 为 ? P A D 中 AD 边上的高 所以 P H ? A D 又 AD ? AB ? A 所以 P H ? 平面 A B C D 而 B C ? 平面 A B C D 所以 P H ? B C . ……………………………………………………………7 分 (Ⅲ)解:线段 P B 上存在点 E ,使 E F ? 平面 P A B 理由如下: P 如图,分别取 P A、 P B 的中点 G、E 则G E / /
1 2 1 2 AB

G D
AB

E

F

C

由DF / /

H A B

所以 G E / / D F

所以 G D E F 为平行四边形,故 E F / / G D 因为 AB ? 平面 PAD,所以 A B ? G D 因此, E F ? A B 因为 G 为 P A 的中点,且 P D ? A D 所以 G D ? P A 因此 E F ? P A 又 PA ? AB ? A 所以 E F ? 平面 P A B ……………………………………………………………14 分 18.解: f ( x ) ?
'

( a x ? 2 a x ? 1 )e
2

x

(1 ? a x )
2

2

(Ⅰ)因为 x ?

1 2

是函数 y ? f ( x ) 的一个极值点,

-7-

所以 f ( ) ? 0
'

1

2 1 4 4 3

因此,

a?a?1? 0

解得 a ?

经检验,当 a ?

4 3

时, x ?

1 2

是 y ? f ( x ) 的一个极值点,故所求 a 的值为

4 3

.

……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
( f (x) ?
'

4 3

x ?
2

8 3 4 3

x ? 1 )e x )
2 2

x

(1 ?

令 f ( x ) ? 0 ,得 x 1 ?
' '

1 2

, x2 ?

3 2

f ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下:

x
f (x)
'

(?? ,

1 2

)

1 2

(

1 3 , ) 2 2

3 2

(

3 2

, ?? )

+

0
3 e 4
1 3

e

0
e 4

+

f (x)

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ), ( , ? ? ),
2 1 3 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2

单调递减区间是 ( , )



? b ?

时, f ( x ) 在 [ b , ) 上单调递减,

在 ( , ? ? ) 上单调递增

所以 f ( x ) 在 [ b , ? ? ) 上的最小值为 f ( ) ?
2
-8-

3

e 4

e

当b ?

3 2

时, f ( x ) 在 [ b , ? ? ) 上单调递增,

所以 f ( x ) 在 [ b , ? ? ) 上的最小值为 f ( b ) ?

e

b 2

1 ? ab

?

3e

b 2

3 ? 4b

……………………………………………………………13 分 19.解(Ⅰ)由已知得,
c a ? 2 2

且 2a ? 2c ? 4 ? 4 2 .

解得 a ? 2 2 , c ? 2 又b ? a ? c ? 4
2 2 2

所以椭圆 G 的方程为

x

2

?

y

2

8

4

? 1 4 ..............................................................4 分

( Ⅱ ) 证 明 : 有 题 意 可 知 , 直 线 l 不 过 坐 标 原 点 , 设 A, B 的 坐 标 分 别 为
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( y 1 ? y 2 )

(ⅰ)当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? m ( m ? 0 ) 且 ? 2 2 ? m ? 2 2
m 2
2

则 x1 ? m , y1 ?
??? ? ??? ? ? OA ? OB

4?

, x2 ? m , y2 ? ?

4?

m 2

2

? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ?0
m 2
2

?m

2

? (4 ?

)? 0

解得 m ? ?

2 3

6

故直线 l 的方程为 x ? ?

2 6 3
2 3 6

因此,点 O ( 0 , 0 ) 到直线 l 的距离为 d ?

又圆 x ? y ?
2 2

8 3

的圆心为 O ( 0 , 0 ) ,半径 r ?

2 3

6

? d

-9-

所以直线 l 与圆 x ? y ?
2 2

8 3

相切................................................9 分

(ⅱ)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程为 y ? k x ? n
? y ? kx ? n ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k n x ? 2 n ? 8 ? 0 y ? ? 14 ? 4 ? 8

? x1 ? x 2 ?

?4kn 1 ? 2k
2

, x1 x 2 ?

2n ? 8
2

1 ? 2k
2

2

y 1 y 2 ? ( k x 1 ? n )( k x 2 ? n ) ? k x 1 x 2 ? n k ( x 1 ? x 2 ) ? n

2

?

n ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

??? ? ??? ? ? OA ? OB

? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ?0



2n ? 8
2

1 ? 2k
2

2

?

n ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

? 0

即 3 n ? 8 k ? 8 ? 0 , 3 n ? 8 k ? 8 ……………………①
2 2 2

又圆 x ? y ?
2 2

8 3

的圆心为 O ( 0 , 0 ) ,半径 r ?

2 6 3

圆心 O 到直线 l 的距离为 d ?
2

n 1? k
2

?d

2

? ? ? ?

n 1? k
2

2 2 ? n 3n ? ? ……………② ? 2 2 1? k 3 (1 ? k ) ?

将①式带入②式得
d
2

?

8k ? 8
2

3 (1 ? k )
2

?

8 3

所以 d ?

2 3

6

? r

因此,直线 l 与圆 x ? y ?
2 2

8 3

相切.......................................................................14 分

20.解(Ⅰ)函数 y ? f ( x ) 的图象与坐标轴的交点为 ( 0 , 2 a ? 1) ,
- 10 -

又 f '( x ) ? 2 a e

x

? f ( 0 ) ?
'

a 2

函数 y ? g ( x ) 的图象与直线 y ? 1 的交点为 ( 2 a , 1) ,
1 x 1 2a 1 2 1 2a 1 4

又g (x) ?
'

,

? g ( 2a ) ?
'

由题意可知, 2 a ?

,? a

2

?

又 a ? 0 ,所以 a ?

........................................................................3 分

不等式 x ? m ? 即m ? x ?
xe
x

x f (x) ?

x 可化为 m ? x ?

x f (x) ?

x

令 h( x ) ? x ?

x e ,则 h ( x ) ? 1 ? (
x

'

1 2 x

?

x )e ,

x

? x ? 0 ,? 2

1 x
x

?

x ?

2

又 x ? 0 时, e ? 1 ,
?( 2
'

1 x

?

x )e

x

?1

故h (x) ? 0
? h ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上是减函数

即 h ( x ) 在 ? 1, 5 ? 上是减函数 因此,在对任意的 x ? ? 1, 5 ? ,不等式 x ? m ? 只需 m ? h (1 5 ) ? 5 ?
5e
5

x f (x) ?

x 成立,

所以实数 m 的取值范围是 ( ? ? , 5 ?

5 e ) .....................................................8 分

5

(Ⅱ)证明: y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 的公共定义域为 ( 0 , ? ? ) ,由(Ⅰ)可知 a ? 1 ,
? f ( x) ? g( x) ? e
x

? ln x

- 11 -

令 q ( x ) ? e ? x ? 1 ,则 q ( x ) ? e ? 1 ? 0 ,
x ' x

? q ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数

故 q ( x ) ? q ( 0 ) ? 0 ,即 e ? 1 ? 0
x

………………①
1 x

令 m ( x ) ? ln x ? x ? 1 ,则 m ( x ) ?
'

?1,

当 x ? 1 时, m ( x ) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m ( x ) ? 0 ,
' '

? m ( x ) 有最大值 m (1) ? 0 ,因此 ln x ? 1 ? x ……………②

由①②得 e ? 1 ? ln ? 1 ,即 e ? ln x ? 2
x x

又由①得 e ? x ? 1 ? x
x

由②得 ln x ? x ? 1 ? x
?e
x

? ln x
x

? f ( x) ? g( x) ? e

? ln x ? 2

故函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 在其公共定义域的所有偏差都大于 2............13 分

- 12 -


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