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福建省普通高中数学学科教学指导意见


福建省普通高中数学学科教学指导意见
为贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010~2020) 》 《国务院 关于深化考试招生制度改革的实施意见》以及教育部《关于全面深化课程改革落 实立德树人根本任务的意见》等文件的精神,加强和改进我省普通高中学科教育 教学工作,全面提升普通高中教育教学质量,根据《普通高中课程方案》 《普通 高中数学课程标准(实验) 》 《普通高等学校招生全国统一考试大纲》 《普通高等 学校招生全国统一考试大纲的说明》的要求,结合我省的教学实际,特提出福建 省普通高中数学学科教学指导意见。

一、理念阐述
(一)突出育人价值 高中数学课程应全面贯彻党的教育方针,以党的“十八大”提出的立德树人 根本任务为指导,全面贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要( 2010 —2020 年) 》和教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》 的有关要求;以《普通高中数学课程标准》为依据,按照“德育为先,能力为重, 全面发展”的总要求,遵循学生身心发展规律,结合数学学科特点,有机融入社 会主义核心价值观教育和中华优秀传统文化教育, 培养学生的理性精神和科学精 神,形成正确的世界观、人生观和价值观,充分彰显“数学育人”的价值。 (二)发展核心素养 高中数学教学的关键是启发学生学会数学思考, 引导学生会学数学、 用数学。 要根据数学学科的特点,发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学 运算和数据分析等数学核心素养,学会用数学眼光观察世界,用数学思维分析世 界,用数学语言表达世界。要树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与 教育意识,将核心素养的培养贯穿于数学教学的全过程。要创设有利于学生数学 核心素养发展的教学情境,引导学生把握数学本质,感悟数学思想,提升学生的 核心素养。 在制定课堂教学目标时应以数学知识的学习为载体,以数学核心素养立意, 依据发展学生核心素养的要求选择和组织学习素材, 并通过情境创设和任务驱动 等方式,精心设计系列学习和实践活动,让学生在学习和应用数学的过程中发展

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核心素养,形成理性思维,培养创新精神和实践能力。注意数学核心素养与具体 教学目标的关联,既体现它们之间的相互交融,更体现数学核心素养在目标上的 统领作用,还要关注数学核心素养目标在教学中的可实现性,要研究其融入教学 内容和教学过程的具体方式及载体, 使数学核心素养真正成为可以落实的教学目 标。 (三)突出数学本质 高中数学主线交织,从知识层面看,应注重知识主线的逻辑走向,注意相互 间的关联,强化核心内容要求;从素养层面看,应发挥各种能力和思想方法对高 中数学知识的统摄作用,保持能力训练的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性。 为有利于学生学习,教学中应突出数学本质,注重上述两条主线的交融、协调, 从整体上把握教学内容。 高中数学尽管内容多样,但在本质上是一个整体,不同知识、不同单元之间 都存在实质性联系,教学时要凸显这些联系,关注内容主线之间的关联以及同一 个内容主线中重要知识点之间的关联。注重知识背后的数学思想、方法的贯通, 注重形、数之间的结合,引导学生进行学习内容逻辑线索的梳理,强化在数学实 践活动中综合运用数学知识的能力。此外,对重要的数学概念、定理以及思想方 法要体现循序渐进、螺旋上升的原则,从整体性上形成解决问题的策略。 (四)增强问题意识 问题是数学的心脏。合适的问题应设置在学生思维的最近发展区,有助于学 生理解概念、形成定理,有助于学生了解知识的来龙去脉,经历知识的发生和发 现的过程,有助于发展学生的问题意识、探索精神。进行教学设计时,教师应根 据教学目标、教学内容、教学重点及难点,把主要学习内容转换成教学问题。实 际教学中,教师应立足学习者的角度进行设问,把需要讲解的教学内容,转换成 一个个有序的、层层递进的教学问题。同时还应设置适当的发散性问题,培养学 生的求异思维和创新能力.当然,增强问题意识的根本还在于对数学课程、教材 的理解. (五)融合数学文化 在高中数学教学中,应有意识地结合相应的教学内容,引导学生了解数学与 人类发展的相互作用,体会数学的科学价值、文化价值和应用价值,体会数学对

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于人类文明发展的贡献。 要有机融入数学史, 在寻求数学发展历史轨迹的过程中, 激发学生数学创新的原动力,提升学生的文化素养和科学精神,实现科学性与文 化性的融合,体现时代特征。 (六)整合信息技术 信息技术的发展改变了人的交流方式和学习方式。信息技术与数学的融合 是将两者有机地融为一体,浑然天成。技术是融合的手段,服务于数学的课程目 标;课程目标是融合的目的,决定融合的模式和方法。 《基础教育课程改革纲要 (试行) 》指出:“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用,促进信息技术与 学科课程的整合,逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学 方式和师生互动方式的变革,充分发挥信息技术的优势,为学生的学习和发展提 供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”信息技术应用于数学课堂,使数学 交流更适时、便捷,数学探究更直观、形象。因此,要积极思考如何利用信息技 术丰富学生的学习方式、促进数学理解,提高学习效率,并在教学中恰时恰点地 应用信息技术,积极发挥信息技术在建构数学概念、发现数学结论、突破学习难 点、改进教学方式、培养数学表达、传播数学技术等方面的作用. 二、 课程开设 课程开设要符合《普通高中数学课程标准》 ,根据福建省课程开设指导意见, 结合学校实际、学科特点、学生需求和高考实际,关注课程的多样性和选择性, 合理选择方案,安排课程内容,使不同的学生在数学上获得不同的发展,形成积 极的情感、态度、价值观,提升学生的数学素养。 (一) 模块选择

根据《福建省普通高中新课程选修 I 课程开设指导意见》的要求,结合教育 部考试中心制定的 《考试大纲》 的要求, 合理调整课程安排, 认真做好选课指导。 鼓励学生根据自己的不同潜能和发展需求,在选修Ⅰ中选修更多的模块,实现全 面而富有个性的发展。 福建省普通高中新课程数学必修、 选修 I 模块开设见下表。

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选修 I 科目 必修 学校必须开设的模 块(A) 1.选修 1-1、选修 1-2 2.系列 3 中的 2 个 专题 3.系列 4 中的 4-1 几何证明选讲、 4-4 坐标系与参 数方程、 4-5 不等 式选讲等 3 个专 题中,任选 2 个 专题 共 8 学分 1.选修 2-1、选修 2-2、选修 2-3 2.系列 3 中的 2 个 专题 3.系列 4 中的 4-1 几何证明选讲、 4-4 坐标系与参 数方程、 4-5 不等 式选讲等 3 个专 题中,任选 2 个 专题 共 10 学分 共 10 学分 学校应创造条件 开设的模块(B) 说 明

数学 1 数学 2 数学 3 数学 4 文 数学 5

1.在学校必 须开设的模块 中, 学校应为人 文社科发展倾 向和理工科发 展倾向的学生 开设系列 3 中 的 2 个专题及 1.系列 3 中学校 选开的 2 个专题 以外的专题 2.系列 4 中学校 选开的 2 个专题以 外的专题 表中所列的系 列 4 中的 2 个专 题,共 4 个专 题。 2.在学校 应创造条件开 设的模块中, 学 校可根据实际 情况, 在已开设 的专题外, 建议 学校应至少再 开设 2 个专题 供学生选择。







(二)课时安排 新课程为学生提供了多样化的选择空间。据此,学生可以选择不同的课程组 合。课程的组合应具有一定的灵活性,不同的组合可以相互转换。为了给学生提 供多层次、多种类的选择,使不同的学生在数学上得到不同的发展,排课方案应 充分考虑学校的实际情况,并充分利用校内外的各种教育资源。下面提供一些排 课方案供学校参考。

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方案一
高一 上学期 第一学段 必修 1 4 课时/周 第二学段 必修 2 4 课时/周 下学期 第一学段 第二学段 第一学段 高二 上学期

义务教育与高中衔接 1 课时/周 高二 下学期 第一学段 文:选修 1- 2 理:选修 2 -2 4 课时/周 第二学段 文:选修系列 4 中的二个专题 理:选修 2-3 4 课时/周

第二学段 文:选修 1-1 必修 3 必修 4 必修 5 理:选修 2-1 4 课时/周 4 课时/周 4 课时/周 4 课时/周 选修系列 3 中的一个专题 选修系列 3 中的一个专题 1 课时/周 1 课时/周 安排一次完整的数学探究活动 高三 上学期 第一学段 文:选修系列 4 中的另二个专 题(可不选) 理:选修系列 4 中的二个专题 4 课时/周 第二学段 选修 4 系列中 的另二个专题 4 课时/周 (可不选) 下学期 第一学段 第二学段

总复习

选修 4 系列中的一个专题 1 课时/周(文可不选) 安排一次完整的数学建模活动 方案二 年级 上学期 第一学段 必修 1 4 课时/周 高一 第二学段 必修 3 4 课时/周 第一学段 必修 2 4 课时/周 下学期 第二学段 必修 4 4 课时/周

义务教育与高中衔接 1 课时/周 必修 5 4 课时/周 文:选修 1-1 理:选修 2-1 4 课时/周

选修系列 3 中的一个专题 1 课时/周 安排一次完整的数学探究活动 文:选修系列 4 中 文:选修 1-2 的二个专题 理: 选修 2-2 理:选修 2-3 4 课时/周 4 课时/周 选修系列 3 中的一个专题 1 课时/周

高二

选修系列 3 中的一个专题 1 课时/周 文:选修系列 4 中的另二个专题 (可不选) 理:选修系列 4 中的二个专题 4 课时/周

安排一次完整的数学建模活动 选修系列 4 中的另二 个专题 4 课时/周 (文可不选)

高三

总复习

三、教学要求 本教学要求以教育部颁布的《普通高中数学课程标准》为依据,以知识点为

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单位对各模块的 “内容标准” 提出较明确、 具体的学习要求以及相应的教学建议。 其中,内容标准罗列了该模块的所有知识点;学习要求则对“内容标准”中的知 识点按照三维目标的要求进一步细化,并对学习目标提出明确的要求;教学建议 是对教学策略、教学方式、教学方法、教学活动以及教师在教学中应如何落实相 关的知识点、怎样把握教学的深度和广度等提出相应的建议。 必修 1 本模块包含集合、函数概念与基本初等函数 I(指数函数、对数函数、幂函 数)。 使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容,是学生进行交流的 一种工具。 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型, 函数的思想方法贯穿高中数 学课程的始终。通过学习基本初等函数,能运用函数思想理解和处理现实生活和 社会中的简单问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学 和其他学科中的重要性。 集合
内容标准 学习要求 教学建议 1.通过一些生活实例帮助学生直观 了解集合的含义及其有关概念,对集合元 素的“确定性、互异性、无序性”可以简 单介绍,但不宜作过多、过深的训练. 2.集合的表示方法主要有列举法、 描述法、图示法,它们各有优点,可以通 过一些实例帮助学生感悟、领会;借助数 轴表示数的集合,借用平面直角坐标系表 示有序实数对集合,体现数与形的联系. 3.通过具体的实例帮助学生体会自 然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)在描述具体问题时的不同特点和 作用. 4.集合语言的使用,应在以后的教 学中通过对不同数学问题的描述不断进 行巩固和深化. 1.集合间的包含关系是一个难点, 要引导学生正确使用集合语言进行描述, 并通过 Venn 图帮助学生直观认识集合间

集合的 含 义与表示

1.了解集合的含义,体会 元素与集合的“属于”关系。 初步掌握集合的表示方法,感 受集合语言的意义和作用. 2.能选择自然语言、图形 语言、 集合语言(列举法或描述 法)描述不同的具体问题. 3. 感受运用集合语言描述 数学对象时的简洁和准确,体 会数学的简洁美.

集合间 的 基本关系

1. 理解集合之间包含与相 等的含义,能识别给定集合的 子集, 了解全集与空集的含义.

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内容标准

学习要求 2. 会用集合的语言描述集 合间的关系. 3.能使用 Venn 图表达集 合间的关系,体会直观图示对 理解抽象概念的作用. 4.通过观察、分析、类比 等方法研究集合间的关系,培 养逻辑思维能力,体会数形结 合、 分类讨论等数学思想方法. 1. 理解两个集合的并集与 交集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. 2. 理解在给定集合中一个 子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. 3.能使用 Venn 图表示集 合的运算,体会直观图示对理 解抽象概念的作用.

教学建议 的关系. 2.通过具体情境帮助学生了解全集、 空集的定义. 3.通过实例引导学生认识子集的性 质;对于集合的子集个数研究,给定集合 的元素应不超过 3 个.

集合的 基 本运算

1.引导学生用集合语言准确描述集 合间的基本运算,利用 Venn 图或数轴帮 助学生直观认识集合间的基本运算;注意 强调补集的概念应在全集的基础上产生. 2.对于集合的运算性质的教学应充 分利用 Venn 图或数轴的直观展示,帮助 学生进行正确理解. 3.集合的基本运算只要求能够求简 单集合的交、并、补.

函数概念与基本初等函数Ⅰ
内容 标准 学习要求 1.体会函数是描述变量 之间的依赖关系的重要数学 模型, 体会对应关系在刻画函 数概念中的作用, 了解映射的 概念. 2. 了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域 和值域. 3.通过对具体实例的观 察分析、抽象概括和归纳总 结,体会函数思想,提高辩证 思维的能力. 1.会根据不同的需要选 择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数. 2.借助具体实例,了解 简单的分段函数, 并能应用其 解决一些简单的问题. 3.会合理应用现代信息 技术直观展示函数的图象, 体 教学建议 1. 函数概念的教学应从学生在义务教育阶 段已掌握的具体函数和函数的定义入手,引导 学生联系生活经历和实际问题,通过学生熟悉 的实例, 体会数集之间的一种特殊的对应关系, 构建函数的一般概念. 2 .通过实例帮助学生了解相同函数的涵 义;对函数的定义域和值域,现阶段只要会求 一些简单具体函数的定义域和值域. 3. 引导学生发现函数实质上是一种特殊的 映射,帮助学生理解函数和映射的关系.

函 数 的 概 念

函 数 的 表 示

1. 函数的表示方法主要有列表法、 解析法、 图象法,教学中应讲清这几种表示法的优、缺 点,帮助学生根据不同的条件合理地选择恰当 的方法表示函数. 2.注意提高学生的画图技能,会正确画一 次函数、二次函数等一些简单函数的图象,为 函数性质的研究打下基础. 3.对函数解析式的求法不宜作太深、太难

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内容 标准

学习要求 会现代信息技术是认识世界 的有效手段和工具.

教学建议 的要求,求函数的解析式时应注意函数定义域 的确定. 4 .分段函数的每一个分段是这一函数的一部 分,教学时应根据“先分后合”的原则进行。 分段函数的定义域是函数各段自变量集合的并 集,值域是各段函数值集合的并集. 1. 函数单调性的理解应通过观察已学过的 函数(特别是二次函数)图象的特征,形成增 (减)函数的直观认识, 再通过具体函数值的 大小比较,认识函数值随自变量的变化而变化 的规律. 2. 应讲清函数的单调区间是其定义域的子 集,是函数在这个区间的“整体”性质. 3.判断函数单调性常用比较法,应通过具 体的实例讲清解题步骤,培养学生抽象概括能 力和推理能力;但现阶段不要求用函数单调性 的定义判断复合函数的单调性. 4.应引导学生通过研究具体函数图象、分 析函数的单调性求函数最大(小)值,特别是 二次函数的最大(小)值.

函 数 的 单 调性

1.根据已学过的函数图 象的特征,理解函数的单调 性; 会判断一些简单函数的单 调性. 2.理解函数的最大(小) 值及其几何意义, 会利用函数 单调性求函数的最大 (小) 值, 体会函数方程思想. 3.利用函数图象直观认 识函数的单调性, 体会数形结 合思想,提高形象思维能力. 4.在函数单调性的学习 中,培养和训练逻辑推理能 力.

函 数 的 奇 偶性

1.了解函数奇偶性的含 义, 会判断一些简单函数的奇 偶性. 2.学会运用函数图象研 究函数奇偶性;了解奇、偶函 数的图象特点,培养“以形助 数、以数解形”的辩证思维能 力.

1.通过具体函数的图象引导学生认识奇、 偶函数的特点. 2.函数奇偶性的判断、证明要严格按照定 义进行,培养学生“言之有据”的逻辑推理习 惯.

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内容 标准

学习要求 1.理解 n 次方根、n 次 根式的概念及其性质, 了解分 数指数是根式的一种新的写 法, 掌握根式与分数指数幂的 互化. 2.理解有理指数幂的含 义,了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算及性质. 3.了解指数函数模型的 实际背景, 理解指数函数的概 念, 了解对底数的限制条件的 合理性, 知道指数函数的定义 域. 4.能借助计算器或计算 机画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调 性与特殊点. 5.在解决简单实际问题 的过程中, 体会指数函数是一 类重要的函数模型. 6.通过对指数函数的概 念、图象、性质的学习,训练 观察、分析、归纳的能力,体 会数形结合思想. 1.理解对数的概念及其 运算性质, 能认识到指数与对 数运算之间的互逆关系. 理解 对数的运算性质, 会用换底公 式将一般对数转化成自然对 数或常用对数, 能利用运算性 质完成简单的对数运算. 2.了解对数的发现历史 以及对简化运算的作用. 3. 理解对数函数的概念, 了解对底数的限制条件的合 理性,知道对数函数的定义 域. 4.能借助计算器或计算 机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单调 性与特殊点. 5.知道指数函数 y=ax 与

教学建议 1. 能熟练运用根式与分数指数幂的互化进 行幂的运算. 2.指数函数的定义是一种形式定义,即解 析式的特征必须是 y ? a x 的样子;让学生了 解规定底数大于 0 且不等于 1 的合理性. 3.教学中应通过作图、观察、实践,归纳 指数函数图象的特征,引导学生先对函数的性 质作一些简单的讨论,获得对要画图象的存在 范围、大致特征、变化趋势的大概认识后,再 正确地取点、列表、描点,作出函数图象. 4. 在理解指数函数定义的基础上掌握指数 函数的图象和性质是本节的教学重点,对底数 a ? 1 和 0 ? a ? 1 时函数值变化情况的区分是 教学的难点,用列表方式是熟悉特征、把握性 质、加深理解的好方法;应借助信息技术辅助 手段,通过在同一坐标系中画出不同底数的指 数函数图象,直观形象地了解底数 a 是如何影 响指数函数 y ? a x 的图象和性质的. 5.指数函数是一种重要的函数模型, 在生 活实践中有广泛的应用.在教学中要贯穿理论 联系实际、学以致用的观点,充分体现数学的 应用价值.

指 数 函数

对 数 函数

1.对数概念是本节的一个难点,它与指数 概念紧密相连,是对同一关系从不同角度的刻 画,要重视对数式与指数式的互化. 2. 对数运算法则的探究, 可通过具体实例, 由特殊到一般归纳出法则,再利用指数式与对 数式的关系完成证明,对换底公式等其他法则 的证明应引导学生利用已证结论完成, 强化 “用 数学”的意识. 3. 对数运算法则可以类比指数运算法则对 照记忆,教学中应强化法则成立的条件,要注 意每一个对数式中字母的取值范围,并让学生 认清对数运算的优越性. 4.对数函数的定义也是一种形式定义,即 解析式的特征必须是 y ? loga x 的样子;让学 生了解规定底数大于 0 且不等于 1 的合理性. 5. 应引导学生类比指数函数图象和性质的 研究方法来学习对数函数图象和性质. 6.教学中要让学生树立分类讨论的意识,

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内容 标准

学习要求 对数函数 y=logax 互为反函数 (a>0,a≠1). 6.在解决简单实际问题 的过程中, 体会对数函数是一 类重要的函数模型. 7.会通过类比指数函数 的学习,研究对数函数的概 念、图象、性质.

教学建议 充分认识底数 a ? 1 和 0 ? a ? 1 时函数值的变 化情况;应借助信息技术辅助手段,通过在同 一坐标系中画出不同底数的对数函数图象,让 学生直观形象地了解底数 a 是如何影响对数函 数 y ? loga x 的图象和性质的. 7.对于反函数,只要求学生能根据具体的 函数图象,知道同底对数函数与指数函数互为 反函数,不要求讨论形式化的反函数定义,不 引进反函数符号 y ? f 数的反函数.
?1

( x) ,不要求求已知函

幂 函 数

1.了解幂函数的概念. 2 . 能 结 合 幂 函 数 2 y= ,y= , x x
1 3 y= x , y ? x 2 , y ? 1 的图象, x

幂函数的定义只是一种形式定义,即解析 式的特征必须是 y ? x? 的样子,教学中只要求 研 究 几 个 常 见 的 幂 函 数

了解它们的变化情况. 1.了解用二分法求方程 近似解的原理. 2. 了解函数零点的概念, 理解函数零点与相应方程的 根的关系, 会根据函数在闭区 间 [a, b] 满足 f (a) f (b) ? 0 , 判断连续函数 y ? f ( x) 在区 间 ( a, b) 内有零点. 3.在使用计算器的过程 中, 体会现代信息技术是认识 世界的有效手段和工具. 1.了解指数函数、对数 函数、幂函数的增长特征,了 解函数模型(如指数函数、对 数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用. 2.能利用函数图象、解 析式等知识正确解决生活中 的数学问题, 能够根据图表数 据信息, 建立拟合函数解决实 际问题. 3. 通过收集 17 世纪前后

1 2 3 (y= x ,y= x ,y= x , y ? x 2 , y ? 1 )的图象和 x

性质,其他的幂函数不作要求. 1. 对函数与方程的关系的认识必须遵循由 浅入深、循序渐进的原则,从学生熟悉的一元 二次方程与相应的二次函数入手,建立一元二 次方程的根与相应的二次函数的零点的联系, 然后将其推广到一般方程的根与相应的函数的 零点联系. 2.教学中应引导学生借助计算器用二分 法求方程的近似解,体会现代信息技术是认识 世界的有效手段和工具. 3.教学中要有目的、有意识地渗透算法思 想,为必修 3 的学习奠定基础. 1.在函数应用的教学中,注意选择学生熟 悉的背景,通过不同的函数模型的应用,引导 学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律 的基本数学模型,体验一次函数、二次函数、 指数函数、对数函数、分段函数等与现实世界 的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 2.对于函数模型的拟合,应当引导学生通 过画散点图,研究数据的变化趋势,然后确定 函数模型,最后还应注意对求得的函数模型进 行检验. 3.对于实习作业,应要求学生根据某个主 题,收集有关资料或实例,采取小组合作的方 式撰写有关函数概念的形成、发展或应用的文

函 数 与 方 程

函 数 模 型 及 其 应用

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内容 标准

学习要求 发生的一些对数学发展起重 大作用的历史事件和人物的 有关资料或现实生活中的函 数实例, 体会数学在人类文明 发展中的作用, 逐步形成正确 的数学观.

教学建议 章,在班级中进行交流.

数学 2
本模块包含立体几何初步、平面解析几何初步。 在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间 图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数 学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证。学生还将了 解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质, 体现了数形结合的重要 数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程, 运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。 体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。 立体几何初步
内容标准 学习要求 教学建议 1. 对空间几何体结构认识的教学, 应 遵循先整体后局部、先直观后抽象的 原则. 2.利用几何体的实物、模型、图片等 资源,利用现代信息技术展示空间图 形,通过直观感知,再抽象归纳出有 关空间几何体的结构特征,并形成概 念,为理解和掌握图形的几何性质提 供支持. 3.通过变式、反例,提高对有关几何 体的认识, 并进一步引导学生运用柱、 锥、台、球等基本几何体的特征,描 述现实生活中简单物体的结构. 1.了解柱、椎、台、球及其简单 组合体的结构特征,能用这些特 征描述现实生活中简单物体的结 构. 2.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥的 概念以及结构特征,了解球的截 面的简单性质. 空间几何 3.通过柱、锥、台、球的学习, 体的结构. 提高观察、分析、抽象、归纳等 认知能力,体会分类、类比等思 想方法. 4.会用运动、变化、联系的观点 揭示柱、锥、台之间的联系与区 别,用辩证统一的哲学观点认识 多面体、旋转体的概念.

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内容标准

学习要求 1.了解中心投影与平行投影,通 过观察用两种方法(平行投影与 中心投影)画出的视图与直观图, 了解空间图形的不同表现形式. 2.理解三视图的概念,能画出简 单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简单组合)的三 视图,能识别上述三视图所表示 的立体模型. 3.会根据几何体的三视图,会使 用材料(如纸板)制作模型,养 成动手实践的习惯,提高动手实 践能力. 1.理解斜二测画法的步骤,会用 斜二测画法画出简单空间几何体 的直观图. 2.理解三视图与直观图的内在关 系,能画出已知三视图的几何体 的直观图. 3.理解斜二测画法是一种特殊的 平行投影画法. 1.了解多面体表面积的概念,知 道棱柱、棱锥、棱台的侧面展开 图可分别由若干个平行四边形、 三角形、梯形组成. 2 .通过对多面体的展开图的识 别,提高空间想象能力. 3.了解圆台的侧面展开图是一个 扇环,会用圆台的表面积公式计 算圆台的表面积. 4.了解球面不能展开成一个平面 图形,会用球的表面积公式计算 球的表面积. 5.掌握把柱、锥、台的侧面展成 平面图形的方法,初步体会把空 间图形化归为平面图形解决问题 的思想. 6.会用运动、变化、联系的观点 揭示圆柱、圆锥、圆台表面积之 间的关系,能圆柱、圆锥的表面 积公式统一在圆台的表面积之 下.

教学建议 1. 结合绘画与太阳光线投射等具体事 例,讲解中心投影与平行投影这两种 投影方式,应抓住投射线的特点来区 分这两种不同的投射方式,重点是平 行投影;抓住投射线与投影面的关系 来区分正投影、斜投影两类不同的平 行投影,重点是正投影. 2. 可通过实验演示, 直观感知平行投 影的基本性质. 3. 结合具体的几何模型, 画出长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合 体等空间几何体三视图,能识别给出 的三视图所表示的立体模型.

空间几何 体的三视 图

空间几何 体的直观 图

1. 通过实例教学, 归纳总结斜二测画 法画几种水平放置的平面图形的方法 和步骤. 2. 可用椭圆模板画水平放置的圆的直 观图.

棱柱、棱 锥、台和球 的表面积

1. 通过不同的展开方式得到有关多面 体的展开图,加深对表面积概念的理 解,体会把空间图形转化为平面图形 解决问题的思想. 2. 通过回顾圆柱、 圆锥的形成过程及 其几何特征得出圆台的侧面展开图是 一个扇环. 3.在认识柱、锥、台表面积的同时, 把圆柱看成上下底面全等的圆台,圆 锥看成上底面半径为零的圆台,实现 圆柱、圆锥的表面积公式统一于圆台 表面积公式之下. 4. 对于圆台的表面积公式推导, 可鼓 励学生课后自主探究推导方法,对于 球的表面积公式可不必推导.

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内容标准

学习要求

教学建议 1.关注初、高中相应的衔接内容,通 过复习义务教育阶段相应的体积公 式,运用类比联想等方法推广得到一 般柱体、锥体的体积公式. 2. 通过动手实践, 利用模型装水或沙 等方法获得柱、锥体积之间的关系. 3.通过柱、锥、台几何体结构特征之 间的关系,把柱、锥的体积公式统一 于台的体积公式之下. 1. 通过联系实际提出问题, 引入平面 的概念,并注意与直线进行比较. 2. 通过直观感知、 操作确认了解三个 公理. 3. 通过先给出图形, 再用文字和符号 进行描述,综合运用几种数学语言以 提高对公理所蕴涵的数学本质的理 解. 4. 对于公理 2 的教学, 可补充介绍以 下三个推论,以增强学生空间想象能 力, 提高对平面的基本性质的理解 (但 不要求证明) ⑴经过一条直线和这条直线外的一 点,有且只有一个平面. ⑵经过两条相交直线,有且只有一个 平面. ⑶经过两条平行直线,有且只有一个 平面.

1.了解柱、锥、台、球的体积公 式,会用这些公式计算相关几何 柱、 锥、 台、 体的体积. 球的体积 2.用运动、变化、联系的观点揭 示柱、锥、台体积公式之间的关 系.

1.了解平面的概念. 2.了解以下公理: 公理 1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内,那么这条直线在此 平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三 点,有且只有一个平面. 公理 3: 如果两个不重合的平面有 一个公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线. 3.会用集合相关符号表示有关的 点、线、面的位置关系;会从图 形、文字、符号这三种不同的数 学语言理解相关公理.

平面的基 本性质

空间中直 线与直线 的位置关 系

1 .了解异面直线及其成角的概 念,知道空间两条直线位置关系 的分类,并会判断两条异面直线 是否垂直. 2.了解空间平行线的传递性公理 (公理 4)及其空间等角定理. 3.学会用对比、引申、联想等方 法,由平面几何通过合情推理发 现或理解相关空间几何性质. 4.自觉培养在空间中考虑问题的 良好思维习惯.

1.通过以长方体为载体,经过观察、 分析,归纳直线和直线的位置关系. 2. 为了便于介绍直线与直线的垂直关 系, 建议引入异面直线所成角的概念. 3. 对于异面直线所成角的计算, 只要 求会求以长方体、正方体等几何体为 载体的异面直线所成的角.

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内容标准

学习要求 1.理解直线与平面、平面与平面 之间的位置关系,知道分类标准 是两个几何图形的公共点个数. 2.通过对相关位置关系的探索归 纳,确立分类标准,体会分类思 想.

教学建议 1. 通过生活实例以及对长方体模型的 观察思考,引导学生归纳出直线与平 面、平面与平面的位置关系. 2. 结合公理 1 说明直线与平面的位置 关系分类的合理性,结合公理 3 说明 平面与平面有且仅有两种位置关系, 并与直线和直线的位置关系进行比 较.

直线与平 面、平面与 平面之间 的位置关 系

直线和平 面、平面与 平面平行 的判定

直线与平 面、平面与 平面平行 的性质

1.通过直观感知、操作确认,理解直 线与平面平行的判定定理.以长方体 为载体,通过观察、分析、归纳,得 到平面与平面平行的判定定理,这两 个判定定理均不要求证明(证明将在 1.理解直线和平面、平面与平面 选修系列的有关课程中用向量的方法 平行的判定定理. 加以论证) . 2.学会把空间位置关系转化为平 2. “平面内两条相交直线分别平行了 面位置关系处理,体会化归思想. 另一个平面内的两条直线,则这两个 平面平行”可作为平面与平面平行判 定的补充范例,提高推理论证能力及 识图能力,但不要求在几何论证中直 接应用. 1. 结合相关位置关系的定义, 通过思 辨论证直线和平面、平面与平面平行 的性质定理,揭示直线与直线、直线 1.掌握直线与平面、平面与平面 与平面、平面与平面之间的平行关系 平行的性质定理 可以相互转化. 定理的证明要求掌握. 2. 理解直线与直线、 直线与平面、 2. “平面外两平行直线中的一条平行 平面与平面之间的平行关系可以 于一个平面,那么另一条也平行于这 相互转化. 个平面”,可作为直线与平面平行性 质的补充范例,提高论证能力及空间 识图能力,但不要求在几何论证中直 接应用. 1. 直观感知, 体会直线与平面的垂直 是特殊的有实际意义的位置关系. 2. 通过直观感知、 操作确认理解直线 1.理解直线与平面垂直的概念, 和平面垂直的判定定理, 不要求证明. 理解平面与平面垂直的概念 3. 为了加深对直线和平面垂直的概念 2.理解直线与平面、平面与平面 及其判定定理的理解,可补充平面的 垂直的判定定理. 斜线、斜线在平面内的射影以及直线 3. 理解直线与直线、 直线与平面、 与平面所成角的概念(直线与平面所 平面与平面之间的垂直关系可以 成角的计算主要安排在选修课中学 相互转化. 习) . 4. 三垂线定理可作为直线和平面垂直 的判定定理应用的补充范例,但不要

直线与平 面、平面与 平面垂直 的判定

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内容标准

学习要求

教学建议 求在几何论证中直接应用. 5. 为了便于引入平面与平面垂直的关 系,可补充二面角概念,根据二面角 的大小来定义平面与平面斜交与垂 直,重点是平面与平面垂直的判定定 理的应用.

直线与平 面、平面与 平面垂直 的性质

1. 分别运用反证法、 综合法证明直线 与平面、 平面与平面垂直的性质定理, 揭示它们的本质, 即 : 直线和平面垂 直性质定理揭示了“平行”与“垂直” 1.掌握直线与平面、平面与平面 之间的内在联系,而平面与平面的性 垂直的性质定理. 质定理则蕴涵着直线和平面的垂直与 2. 理解直线与直线、 直线与平面、 平面和平面垂直的互相转化. 平面与平面之间的垂直关系可以 2.补充讲解 “与平面的垂线平行的 相互转化. 直线也垂直于这个平面” 、 “过一个平 面内一点向这个平面的垂面引垂线, 则垂线在这个平面内” , 拓宽学生空间 识图能力.

解析几何初步
内容标准 学习要求 1. 理解确定直线位置的几 何要素. 2. 理解直线的倾斜角概念 及其取值范围. 3.理解直线、直线的倾斜 角和直线的斜率三者之间 的关系. 4. 掌握过两点的直线斜率 的计算公式. 5.学会从不同的角度,应 用不同的数量指标,揭示 事物的同一个性质(直线 的倾斜程度) , 提高分析问 题解决问题的能力. 1. 掌握根据斜率的关系判 断两条直线平行或垂直的 方法,并应用于直角三角 形、平行四边形、矩形等 具有平行或垂直这些特殊 特征的平面图形以及三点 共线的判断. 教学建议 1. 通过直观感知过一点的直线系中各直线的 倾斜程度引入倾斜角概念并理解其取值范 围. 2.结合义务教育学过的“坡度” “坡角”及 其关系引入斜率概念、直线的倾斜角和斜率 对应关系. 3. 为了便于推导直线的倾斜角和斜率的对应 关系可补充互为补角的正切诱导公式.诱导 公式直接给出,不要求证明. 4.运用信息技术或科学计算器,计算一些倾 斜角的正切值,提高对倾斜角和斜率的一一 对应关系的理解. 5 .结合对确定直线的几何要素的回顾以及 “坡度”与“坡角”的关系,引导学生探究 过两点的直线斜率的计算公式. 1. 通过对两直线的斜率存在与否以及关系的 分类讨论,系统掌握根据斜率关系判断平行 或垂直的方法. 2.对于两条直线垂直的充分条件

倾斜角和 斜率

两条直线 的平行或 垂直

k1 ? k 2 ? ?1 的证明,要补充诱导公式 tan

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内容标准

学习要求 2. 经历与体验从两直线的 代数特征(斜率关系)探 究几何特征(位置关系) 的过程,体会用代数方法 研究几何问题的思想. (90 + ? )=0

教学建议

1 ,诱导公式只要用科学 tan ?

计算器进行计算验证,不要求证明.

直线的方 程

1.结合确定直线位置的几何要素的分析,展 开直线方程的点斜式、两点式的教学,并引 1 .掌握直线方程的点斜 申拓展它们的特例斜截式与截距式. 式、两点式、一般式. 2.通过直线的斜截式与一次函数进行比较, 2.理解斜截式是点斜式、 指明方程中相关参数的几何意义,以提升对 截距式是两点式的特例. 一次函数以及平行直线系或共点直线系的理 3. 会根据条件合理选择直 解,初步认识曲线系. 线方程的形式求直线的方 3.通过对直线方程的点斜式、两点式及其特 程. 例的分析,使学生了解引入直线方程一般式 的必要性,会根据条件合理选择直线的方程 形式求直线的方程. 1. 能用解方程组的方法判 定两直线的位置关系,掌 握两条相交直线交点坐标 的求法. 2. 领悟直线之间位置关系 的研究可转化为它们方程 组成的方程组的研究,体 会数形结合思想. 1. 探索并掌握两点间的距 离公式,点到直线的距离 公式,会求两平行直线间 的距离. 2 .会用两点间的距离公 式,点到直线的距离公式 证明一些与线段度量有关 的平面几何的证明. 3.通过平几问题的解决, 体会用代数方法研究几何 问题的基本思想与步骤. 1. 能合理根据条件选择方 程形式求圆的方程,掌握 圆的标准方程与一般方程 的互化方法,会求圆的圆 心、半径. 2. 经历和体会待定系数法 在求曲线方程中的应用, 熟练掌握用待定系数法求 1. 通过对不同位置关系的直线 (平行、 相交、 重合)与联立它们方程组成的方程组解的情 况进行比较归纳,得出直线的位置关系与方 程组的解的情况之间的内在关系(三类) . 2. 可通过作图直观验证求两直线交点的代数 方法的正确性,提高学生自觉应用解方程组 的方法求交点的意识,体会数形结合思想. 1.对距离公式的推导,重在算法的设计,转 化思想的体现,可从特殊到一般加以探究. 2.以简单的几何证明为载体渗透建系、坐标 化解决平面几何问题,重在体会用代数方法 研究几何问题的基本思想与步骤,理解解析 几何的本质,不宜要求太高. 3. 两平行直线间的距离公式推导可作为求点 与直线的距离的补充范例,重在渗透化归与 转化、特殊与一般的思想,提高推理论证能 力. 1.通过确定圆的几何要素分析,引入圆的标 准方程. 2.通过配方法,揭示特殊的二元二次方程表 示的曲线,渗透分类与整合思想,重在要求 学生理解过程与方法, 不要求记忆相关结论. 3. 通过运用多种解法求以已知三点为顶点的 三角形的外接圆的方程,渗透待定系数法的 教学,并比较分析,提高学生合理根据条件

直线的交 点

两点的距 离、点到直 线的距离

圆的标准 方程、一般 方程

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内容标准

学习要求 圆的方程. 3.正确理解直线与方程、 圆与方程的对应关系,初 步了解曲线的方程与方程 的曲线的概念.

教学建议 选择适当的方程形式求圆的方程的能力. 4.通过补充一些求曲线方程的范例,提高学 生对曲线和方程的关系的理解,但不要补充 一般曲线的方程和方程的曲线的概念. 1.通过研究方程组和比较相关几何量的大小 关系这两种不同途经,分别解决直线和圆、 圆与圆的位置关系的判断,深化解析几何中 的数形结合思想,并经过比较分析,优化解 决问题的途径. 2.通过补充一些范例,引导学生进一步探索 运用代数法解决平面几何问题,增强运用意 识. 3.通过补充一些范例,使学生理解以数解形 很重要,同时以形助数也不可忽视. 1.通过回顾直角坐标系相关内容,引入空间 直角坐标系. 2.通过类比进行空间点的位置刻画的教学, 运用类比合情推理引入空间两点间的距离公 式. 3.可借助长方体直观模型,展开相关内容的 教学.

1. 会用研究方程组的方法 判定直线和圆、圆与圆的 位置关系,会用圆心到直 直线和圆、 线的距离、圆心距、半径 圆 与 圆 的 等判定直线与圆、圆与圆 位置关系 的位置关系. 2. 进一步深化与巩固数形 结合思想,领悟以数解形 与以形助数相辅相成. 1.了解空间直角坐标系, 会用空间直角坐标刻画点 的位置,理解空间两点间 的距离公式,会根据公式 求给定两点的距离. 2. 知道合情推理是科学发 现的有效途径之一,自觉 养成运用类比方法进行合 情推理的习惯.

空间直角 坐标系、空 间两点间 的距离

必修 3
本模块包含算法初步、统计、概率。 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。学生将在义 务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序 框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决 问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思 考与表达的能力,提高逻辑思维能力。 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策 提供依据。 学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上, 通过实际问题情境, 学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其 特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体

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会统计思维与确定性思维的差异。 概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维 模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。学生将结合具体 实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能 通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。 算法初步
内容 标准 学习要求 教学建议 1. 在算法含义的教学中,重点在于通过分析解决具 体问题的算法步骤来引导学生了解算法的一些 基本特征:通用性、精确性、程序性、有限性、 不唯一性等,不强调算法定义的严格性,不要求 辨析一个操作序列是不是算法. 2. 在分析解决具体问题的算法步骤时,只要求对数 学问题进行分析,不对非数学问题进行算法分 析,不含把非数学问题转化为数学问题的过程 . 重点是引导学生针对具体问题设计正确可行的 或较好的算法步骤,不必刻意追求最优. 3. 在算法思想的教学中,关键是引导学生认识到: 算法思想是从问题解决出发给出程序性解法,而 不是按照“定义——公理——定理——证明”的 演绎系统进行的(此二者就是数学发展史中发挥 巨大作用的机械化思想和公理化思想) ,用算法 解决问题的优越性在于“把质的困难转化为量的 复杂” ,即将一个较为复杂的具体问题的解题思 想转化为步骤明确、思维清晰、过程简洁的程序 步骤;再通过编程由计算机执行算法,进一步解 决“量的复杂”. 4. 算法教学不应局限于个别问题的算理(逻辑原 理)与算则(程序规则) ,而应作为与公理化思 想对等的数学思想方法来把握,重点培养学生从 算法角度理解数学知识、解决数学问题的算法意 识,并渗透到整个高中数学的学习中. 1. 通过模仿、操作和探索三个阶段来引导学生学习 程序框图的设计. 2. 在教师示范、学生模仿的教学过程中,要引导学 生体会自然语言在表达结构较为复杂的算法过 程时的不便性,形成最近发展区,进而了解用程 序框图表达算法可以使算法的结构更直观、条理 更清晰、步骤更精确;示范中要注意基本图形的 规范性.

算法 概念

1. 了解算法的含义, 体 会算法思想与公理 化思想的不同, 知道 用算法解决问题的 优越性. 2. 通过对解决具体问 题 (如二元一次方程 组求解等) 的过程的 分析, 形成用自然语 言表述的明确和有 限的算法步骤. 3. 会对一类问题的一 般形式 (如解一般形 式的二元一次方程 组) ,分析解决此类 问题的通用的明确 和有限的步骤, 分析 各步骤的功能与逻 辑顺序.

程序 框图

1. 理解程序框图的基 本图形的涵义. 2. 会读懂程序框图, 会 执行框图所表示的 算法步骤, 推测算法 的执行结果. 3. 会设计程序框图来 表达解决数学问题

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内容 标准

学习要求 的算法步骤.

教学建议 3. 设计程序框图的基本程序是先用自然语言表达 算法步骤,再“一一对应”地“翻译”成程序框 图,而后推敲细节,将框图规范化、简化、细化、 精确化;教师最好不要直接给出结果,而要充分 示范过程,便于学生模仿操作. 4. 注意循序渐进,开始时的例子与习题尽量选择学 生熟悉的问题,降低解决问题的难度,把重点放 在对解决问题的过程的表达上. 5. 通过设置好的问题,适度引导学生探索用程序框 图表达一些具有不同逻辑结构的算法过程,为基 本逻辑结构的学习构造最近发展区. 1. 通过对程序框图实例的分析来归纳程序框图的 三种基本逻辑结构,让学生在充分认识三种逻辑 结构的直观特征的基础上进行分类,避免仅仅从 理论上讲解逻辑结构定义. 2. 初学者容易混淆条件分支与循环,应引导学生分 析它们的特征,认清它们的区别与联系. 3. 在循环结构的学习中, 确定循环体、 初始化变量、 选择控制循环的条件等等是教学的难点,这一难 点的突破除了采用必要的案例分析与模仿操作 之外,还要强调程序框图的执行、检验、改进和 总结. 4. “直到型”和“当型”两种循环结构的区别与联 系是教学的又一个难点,初学者容易混淆,应注 意在充分分析实例的基础上归纳结构的特征,比 较在具体问题中哪一个更简洁、方便. 5. 在初学阶段,教学应侧重引导学生理解程序框图 的逻辑结构,而不是复杂情境下的应用,在范例 与习题的选择上多用简单的典型结构,避免多重 条件、多层循环等复杂结构. 6. 通过引导,使学生体会“各种具体的程序框图都 可以分析、归纳为三种基本结构” ,感悟其中的 化归与转化思想. 1. 应该强调开发算法语句是为了让计算机来执行 算法,这要求将算法表达成精确的计算机程序; 让计算机来执行算法任务,是算法思想的一个重 要方面. 2. 通过讲解、示范与模拟运行,使学生理解几种算 法语句的涵义;通过适当的练习,并与具体的程 序框图相对照,使学生会按正确的格式书写算法 语句,掌握语句的语法规则. 3. 程序设计的教学重点在于使学生掌握用算法解

算法 的基 本逻 辑结 构

1. 理解程序框图的三 种基本逻辑结构: 顺 序、条件分支与循 环. 2. 将三种基本逻辑结 构运用到具体的算 理分析中. 3. 体会蕴含于基本结 构中的化归与转化 思想.

基本 算法 语句

1. 了解设计算法语句 的必要性、 意义与价 值. 2. 了解基本语句与算 法的三种基本逻辑 结构之间的对应关 系. 3. 理解几种基本算法 语句:输入语句、赋

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内容 标准

学习要求

教学建议

值语句、条件语句、 决数学问题的过程与方法,而不在于个别问题的 循环语句; 会将具体 程序;初学程序设计,应遵循写算法步骤、画程 问题的程序框图转 序框图、编写程序的步骤,这样有利于学生理解 化为程序语句; 会读 算法设计的“逐渐精确”的过程,掌握解决问题 懂用基本算法语句 的过程与方法;应该避免对具体程序的机械记忆 编写的简单程序, 执 与简单拼凑. 行程序并求出程序 4. 在程序的检验方面,可以选择一种计算机语言来 的结果. 进行基本算法语句的教学,并上机检验;学习算 4. 会初步使用基本算 法语句的主要目的在于更准确地理解算法及其 法语句来设计解决 “程序化” 、 “精确化”思想,不强调学生上机操 具体问题的程序, 准 作和调试. 确地理解算法及其 5. 对于有探究兴趣的学生,可以引导他们知道语句 思想. 与算法的三种基本逻辑结构之间的对应关系是 开发算法语言的一个基础,知道计算机语言的不 同类别与伪代码的属性. 1. 经历设计算法解决 1. 在用算法解决数学问题的三个步骤中,写算法步 问题的全过程, 体验 骤是基础,画程序框图是算理(逻辑原理)与算 算法在解决问题中 则(程序规则)的清晰化,编写程序是算法的进 的作用, 体会算法的 一步精确化,其中画程序框图是核心步骤,教学 基本思想, 提高逻辑 中应以此为重点,而不是以程序为重点,不强调 思维能力, 发展有条 对程序的记忆与灵活运用. 理地思考与数学表 2. 注意用不同的逻辑结构实现同一个算理,或用不 达能力. 同的算理解决同一个问题,让学生通过对比加深 2. 阅读中国古代数学 对算理与算法的认识,为学生设计算法、体会算 中的一些算法案例; 法思想提供机会. 体会中国古代数学 3. 理解案例中新出现的数学知识,是理解案例的必 对世界数学发展的 要前提,但教学的重点在于对算法的学习,不强 贡献. 调对这些知识的记忆与灵活运用.

算法 案例

统计
内容 标准 学习要求 1. 了解总体、个体、样本的 概念. 2. 能从现实生活或其他学 科中提出有一定价值的 与总体、个体、样本相关 的统计问题. 3. 体会用样本来估计总体 的思想. 1. 理解随机抽样的必要性 与重要性. 教学建议 1. 注意与初中的衔接,在复习的基础上,引导 学生结合实际情境提出有一定价值的统计问 题. 2. 结合具体的实际问题情境,引导学生认识用 样本估计总体的必要性,知道样本必须具有 代表性,了解用样本估计总体的思想.

总 体、 个 体、 样本

随机 抽样

1. 结合具体的实际问题,用案例分析或问题解 决的教学方式,让学生在参与解决统计问题

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内容 标准

学习要求

教学建议

2. 会用简单随机抽样方法 的过程中学习抽样方法. 从总体中抽取样本. 2. 简单随机抽样的具体方法, 重点在于理解 “逐 3. 了解分层抽样和系统抽 个” 、 “无放回” 、 “等可能”地抽取;其中抽 样的方法. 签法是最常用、最简单的方法,应让学生掌 4. 会根据具体的问题情境 握;其它方法应作了解. 选择简单随机抽样、分层 3. 各种不同抽样方法的适用情境是教学的重 抽样或系统抽样. 点,应尽可能创设具体的问题情境,让学生 5. 能通过试验、查阅资料、 体会、理解不同方法的适用性. 设计调查问卷等方法收 4. 关于收集数据的具体方法,应让学生了解一 集数据. 些常用的方法,知道使用这些方法中应注意 的问题,并进行初步的实践,获得基本的经 验. 5. 建议通过对比随机样本与“方便样本”(根 据使用者的方便而抽取的样本,这些样本没 有代表性)的不同,引导学生学会初步辨别 某些场合中“方便样本”的欺骗性. 1. 体会分布的意义和作用. 1. 在复习初中学过的频数分布表、频数分布直 2. 会列频率分布表,画频率 方图、频数折线图的基础上,引导学生总结 分布直方图、频率折线 分布的意义与作用,并通过引导学生认识不 图、茎叶图,体会它们各 同样本容量的频数分布之间不好比较等问 自的特点. 题,引入频率分布. 3. 会根据具体的样本特征, 2. 结合具体实例,引导学生体会不同的分布图、 选择合适的图形来表示 表的特点与适用情境. 样本分布. 3. 要鼓励学生用计算机来处理数据,生成样本 分布的图、表. 1. 样本的数字特征的涵义与提取的方法在初中 已初步学过,教学中应结合案例引导学生比 较它们所揭示的不同信息,明确标准差、方 差等数字特征的意义,深入地体会它们所反 1. 理解样本平均数、众数、 映的样本特征. 中位数、极差、标准差、 2. 众数、平均数、中位数在反映样本中心位置 方差等数字特征的意义. 方面各有各的特征,应强调它们不同的适用 2. 会从样本数据中提取数 情况,尤其注意它们对端值的敏感性;此外 字特征,并作出合理的解 还要引导学生鉴别使用者根据自己的利益选 释. 取三者之一来描述样本的中心位置的误导行 为. 3. 应通过实例引导学生根据样本频率分布直方 图估算众数、中位数、平均值的方法,培养 学生的几何直观,提高读图能力.

样本 分布

样本 数字 特征

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内容 标准

学习要求 1. 会用样本的频率分布估 计总体分布,用样本数字 特征估计总体的数据特 征. 2. 初步体会样本频率分布 与数字特征的随机性与 规律性;体会统计思维与 确定性思维的差异. 3. 会用随机抽样的基本方 法和样本估计总体的思 想,解决一些简单的实际 问题;能通过对数据的分 析为合理的决策提供一 些依据,认识统计的作 用. 4. 形成对数据处理过程进 行初步评价的意识.

教学建议 1. 在总体分布的估计中,可以引入“总体密度 曲线” ,通过它与样本分布折线图的关系直观 地说明用样本估计总体的依据,进一步说明 样本频率分布与数据特征的随机性与规律 性,体会统计思维与确定性思维的差异. 2. 强调围绕具体案例来学习,在解决统计问题 的过程中学会相关技能. 3. 通过组织综合实践活动,让学生体验合理选 取样本、分析数据、对总体分布与数字特征 作出估计、给出决策建议的完整的过程,由 此认识统计的作用,并通过交流和对比,体 会样本的合理性、样本数字特征的适当性等, 形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 4. 重视引导学生认识“方便样本”与小样本在 估计总体时的不可靠性,教会学生鉴别某些 场合中“方便样本”与小样本的误导与欺骗. 5. 关注统计图表,引导学生从统计图表的数据 中提取基本信息 (样本分布、 样本数字特征) , 来推断总体的情况.

用样 本估 计总 体

变量 的相 关性

1. 引导学生认识到现实世界中存在不能用函数 模型描述的变量关系,从而体会研究变量之 间相关关系的重要性. 2. 要特别强调:在研究两个变量之间是否有相 关关系时,必须从散点图入手;在掌握判断 相关关系的同时,注意培养学生的几何直观. 1. 会根据两个变量的数据 3. 让学生经历用不同估算方法描述两个变量线 作出散点图,并根据散点 性相关的过程,体验探索最佳方法的创造性 图直观认识变量间的相 思维的过程;体会在具体场合中,某些方法 关关系. 可能更便于操作,更符合实际情况. 2. 经历用不同估算方法描 4. 要特别强调:在用最小二乘法求线性回归方 述两个变量线性相关的 程时,要先用散点图判断两个变量是否具有 过程. 线性相关关系;并引导学生认识到:由于数 3. 知道最小二乘法的思想, 据随机地分布在回归直线的两侧,根据直线 能根据给出的线性回归 方程作出的预报值只能是一个可能性最大的 方程系数公式建立线性 值;同时点明:由于样本的随机性,根据样 回归方程. 本求得的线性回归方程也是随机的,帮助学 生深刻体会相关关系与函数关系的不同. 5. 可以引导学生利用信息技术求回归方程;对 于有兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推 导线性回归方程. 6. 应让学生了解经过变换求非线性回归方程的 问题.

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概率
内容 标准 学习要求 教学建议

随机事 件的概 率

1. 本部分内容是在初中学习的基础上进行更为系 统和深入的学习,教学中务必考虑学生已有的 学习基础, 根据学生的最近发展区来设计教学; 在实验数据的处理中,注意统计方法的应用. 1. 了解随机事件的概 2. 概率是不确定性与规律性的统一,这是学生理 念,了解必然事件、 解的难点,要通过实验(注意:此时不要用计 不可能事件等相关 算机模拟! ) 使学生认识到大量实验中频率的随 概念. 机性与稳定性,在学生理解频率的稳定值反映 2. 了解随机事件发生 随机事件发生的可能性的基础上,再给出概率 的不确定性与频率 的定义、取值范围等等. 的稳定性. 3. 引导学生理解概率的意义,还要结合具体案例 3. 了解概率的意义及 的分析,使学生在解释正例、澄清反例的过程 频率与概率的区 中达到学习的目的. 别,知道用频率估 4. 通过对实验的观察,强调频率的随机性与近似 计概率的理由. 性、概率的确定性,使学生明白:概率是频率 的稳定值, 频率是概率的近似值,因此可以用频 率估计概率. 5. 引导学生体会概率可以为人们做决策提供依 据,了解求随机事件概率的必要性. 1. 了解互斥事件的意 义. 2. 会用互斥事件的概 率加法公式计算一 些事件的的概率. 1. 通过实例,让学生在具体情境中了解互斥事件 的意义. 2. 通过实例来归纳“两个互斥事件有一个发生” 的概率加法公式,进而推广到多个互斥事件的 情形. 1. 引导学生通过实例来理解基本事件的意义,进 而理解古典概型的特征. 2. 结合具体情境,让学生学会用列举法计算古典 概型的概率. 3. 突出对基本事件的分析,强调对古典概型及其 计算公式的理解,使学生初步学会把一些实际 问题转化为古典概型,而不要把精力用在计数 上. 4. 分析古典概型基本事件的关键在于它的等可能 性,要引导学生重视等可能性的特征. 1. 让学生通过计算机(或计算器)模拟来体会频 率稳定于概率的客观规律. 2. 通过实例,让学生初步学会运用模拟方法估计 概率,并体会其中用频率估计概率、用样本估 计整体的统计思想.

两个互 斥事件 的概率 加法公 式

古典概 型

1. 理解古典概型及其 计算公式. 2. 会用列举法计算一 些随机事件所含的 基本事件数及事件 发生的概率.

(整数 值)随 机数

1. 了 解 随 机 数 的 意 义,会用计算机或 计算器产生(整数 值)随机数. 2. 能 运 用 模 拟 方 法

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内容 标准

学习要求 (包括计算机或计 算器产生随机数来 进行模拟)估计概 率,体会随机模拟 中的统计思想.

教学建议 3. 应充分利用统计软件来分析产生的随机数.

几何概 型与均 匀随机 数

1. 体会几何概型的意 义. 2. 了解几何概型的概 率计算公式. 3. 了解均匀随机数的 产生方法,会用计 算机或计算器产生 均匀随机数. 4. 会用均匀随机数来 模拟几何概型,并 用模拟结果来估算 相关的未知量,进 一步体会随机模拟 中的统计思想:用 频率估计概率、用 样本估计整体.

1. 可以设计一些几何概型的例子来说明“概率为 1 的事件,不一定是必然事件,概率为 0 的事 件,不一定是不可能事件”. 2. 用均匀随机数来模拟几何概型,是一个难点, 建议结合具体实例引导学生进行相关的构造, 关键是: 点在一定平面或空间区域内随机出现, 可看作点的坐标值在一定区间随机出现,由此 可以用这一区间的均匀随机数作为点的坐标 值,有必要时还要进行坐标变换. 3. 用模拟的结果来估算相关未知量,是一个重点 内容,其方法可总结为:如果用模拟的结果作 为几何概型的概率,那么其概率计算公式就可 以作为方程,把公式中的未知量求出来;因为 对随机数进行统计得到的是频率,它仅仅是对 概率的估算, 所以这里体现了用频率估计概率、 用样本估计整体的统计思想. 4. 应充分利用统计软件来处理随机数,作为较高 要求,还可以将古典概型中基本事件的总数推 广到无穷多的情形化归为几何概型,但不应过 度拔高要求,重点在培养学生的几何直观. 通过阅读相关材料,了解人类认识随机现象的过 程.

人类认 识随机 现象的 过程

了解人类认识随机现象 的过程.

必修 4
本模块包含三角函数、平面上的向量(简称平面向量)、三角恒等变换。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型, 在数学和其他领域中具有重要的 作用。学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有 周期变化规律的问题中的作用。 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。 学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言 和方法表述和解决数学和物理中的一些问题, 发展运算能力和解决实际问题的能

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力。 三角恒等变换在数学中有一定的应用, 同时有利于发展学生的推理能力和运 算能力。学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其 他的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
三角函数 内容 标准 学习要求 教学建议

1. 通过具体事例让学生充分认识到角扩充的必要
性,引入任意角的概念。 2. 在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的 “周 而复始” 的变化规律。 因此在象限角的教学过程中, 1. 认 识 角 扩 充 的 必 要 性, 了解任意角的概念, 应强调角与平面直角坐标系的关系。 理解正角、负角、零角 3.从具体问题入手,通过开展探究活动,让学生操 的概念。了解象限角与 作思考, 经历由具体到一般的抽象过程, 形成对 “终 轴线角。 ? 边相同的角相差 360 的整数倍” 的直观感知, 了解 2. 能用集合表示终边相 同的角、象限角和轴线 终边相同的角的关系,并能用集合表示。 角。 4.可以运用信息技术动态演示角形成的过程,让 学生观察角的变化与终边位置的关系, 引导学生用 数形结合思想认识问题, 体会旋转量和旋转方向是 刻画角的两个基本要素。 1. 引导学生认识弧长与其所对应的圆心角的关系, 从中体会引入弧度制的合理性, 建立角度与实数的 对应关系,让学生知道弧度也是一种度量角的单 位。 2.通过学生探究,概括出弧度与角度互化的关键:

任意角 的概念

1.了解弧度制,知道弧
弧度制 度也是角的一种度量单 位。 2. 能进行弧度与角度的 互化。

180? ? ?rad ,推导出换算公式,引导学生写出

30? ,45? ,60? ,90? ,270? 等特殊角的弧度数。
3.对于弧长公式 l ? ? r ,可作为课堂教学范例, 只 要能简单应用即可。

1. 理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切) 任意角 三角函 数的定 义 的定义。 2. 在三角函数定义学习 中体会数形结合思想。

1.根据学生的生活经验,创设丰富的情境,使学 生感受周期现象的广泛存在, 认识周期现象的变化 规律, 让学生体会三角函数是刻画周期现象的重要 模型以及三角函数模型的意义。 2.以锐角三角函数为引子,用单位圆上点的坐标表 示锐角三角函数, 在此基础上定义任意角的三角函 数,理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的

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内容 标准

学习要求

教学建议 定义。应当尽量使用信息技术进行教学,展示三角 函数定义逐步化归的过程。 3.引导学生利用单位圆上点的坐标或坐标的比值定 义任意角三角函数, 利用已学函数概念理解三角函 数, 把握其本质。 可通过科学计算器求三角函数值, 理解三角函数是一种特殊的函数。 4.引导学生由定义得到诱导公式一,利用其可把求 任意角的三角函数转化为求 0~2π 内角的三角函 数值,从代数角度揭示三角函数值的周期变化规 律,渗透化归与转化思想。 5.通过任意角的三角函数线教学,渗透数形结合思 想。

1. 理解同角三角函数的 基本关系式:

1.以单位圆中的三角函数线作为认知基础,通过探 究学习, 引导学生在单位圆中构造出以任意角的正 弦线、余弦线为直角边的直角三角形,启发学生思 考其中的几何关系, 从而得出同角三角函数基本关 系:

sin 2 x ? cos2 x ? 1, sin x ? tan x cos x
同角三 角函数 的基本 关系式 2. 会根据同角三角函数 基本关系解决已知一个 角的某个三角函数值求 其余两个三角函数值 (简称 “知一求二” ) 及 简单的三角恒等式证明 问题。 1. 能借助单位圆中的三 角函数线推导出诱导公 诱导公 式 式 (

sin 2 x ? cos 2 x ? 1,

sin x ? tan x cos x

2.对于 “已知一个角的某个三角函数值求其余两个 三角函数值”问题,应要求学生先判断角的象限, 进而确定所求三角函数值的符号,再求值。 3.对于“恒等式证明” ,只要让学生学会遵循“由 繁到简” 、 “等价转化”的原则进行变形,能证明一 些简单的三角恒等式即可。 1.应引导学生复习已学知识,提出探究问题,借助 单位圆的,通过图形观察,启发学生发现诱导公式

π π ,并明确它 ? α,π ? α 的正 ( 2 ? α,π ? α 的正弦、余弦、正切) 2
的作用之一是将任意角的三角函数化为锐角三角 函数,强调化归与转化思想。

弦、余弦、正切) 。 2. 会利用上述公式解决

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内容 标准

学习要求 相关问题。 3. 在利用上述公式解决 问题的过程体会化归与 转化思想。

教学建议 2.要善于利用单位圆的对称性,让学生自主发现分 别关于原点或对称轴对称的角的三角函数值之间 的关系,体现数形结合的数学思想方法。 3.通过将任意角的三角函数等价转化为 0~

? 角的 2

三角函数的例题与练习,渗透化归与转化思想。 4. 可采用多种方式(“奇变偶不变,符号看象限” ), 引导学生认识、掌握诱导公式。 1.通过学生亲自动手或教师做演示实验方式完成单 摆做简谐振动的实验, 使学生对三角函数图象产生 直观认识,引出正弦函数、余弦函数的图象。 2.应启发学生从正弦线的变化规律,思考如何才能 更快地画正弦函数曲线 y ? sin x ( x?R ) 的图象, 注意其自变量一般用弧度制度量。 3.“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本 方法。在教学中应引导学生观察图象,得出五个关 键点。

三角函 数图象

1. 能 画 出 y ? sin x ,

y ? cos x, y ? tan x
的图象。

三角函 数性质

1.通过观察正弦线的变化规律,利用正弦函数图 象体现这种规律,引导学生给出周期性的概念,从 数、 形两个方面研究正弦函数具有的周期性变化规 1. 了解三角函数的周期 律。 2.应特别强调:三角函数的周期不唯一;三角函数 性、奇偶性。 的周期没有特别说明时,一般指最小正周期。 2. 能借助图象理解正弦 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性由图象观察或由诱 函数、余弦函数在[0, 导公式进行证明都较容易,可交给学生自主完成。 4.教学时可先选择一个恰当区间,启发学生描述正 2π ] ,正切函数在 弦函数在这个区间上的单调性。 通过类比也可让学 π π ( ? , ) 上 的 性 质 生自己描述余弦函数的单调性。正弦函数、余弦函 2 2 数的单调性只要由图象观察,不要求证明。 (如单调性、最大和最 5.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作 小值等) 。 为单调性的一个结论,由于难度不大,可以让学生 自行研究。 6.对于正切函数,可引导学生类比正、余弦函数 图象与性质来研究。 1.了解 y=Asin(ω x+?) 1.引导学生用“五点法”作图或借助计算器(机) 等信息技术工具画出 y=Asin(ωx+?)的图象。通过 的实际意义。 参数?、ω 、A 参数赋值,从具体到抽象,分别考 2.能借助计算器或计 察参数?、 ω、 A 对函数图象的影响, 研究函数 y=sin 算机画出 y=Asin ( ω x 与 y=Asin(ωx+?)的图象间的关系。 x+?)的图象,观察参 2.通过图象引导学生认识 y=Asin(?x+?)图象的五个

y=Asin (ω x+?)图 象与性 质

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内容 标准

学习要求

教学建议

数 A、ω 、?对函数图 关键点,由此得出“五点法”画 y=Asin(?x+?)图象 象变化的影响。 的方法。作函数 y=Asin(ωx+?)简图方法本质是三 种变换:周期变换、振幅变换、相位变换,鼓励学 生研究不同变换途径, 要求能用准确数学语言描述 不同的变换过程, 培养学生从不同角度分析问题解 决问题的能力。 3.应鼓励学生使用计算机(器)分析 y=Asin(ω x+?)中参数变化对函数的影响。 1.引导学生从实际问题中发现周期变化规律,分析 问题中数量关系, 将实际问题抽象为与三角函数有 关的简单函数模型。 2. 重视学科渗透, 运用三角函数分析理解其他学科 的相关内容,开展数学探究或数学建模活动, 体会 三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

1. 会 用 三角 函数 解 决 一些简单实际问题。 三角函 数应用 2. 知道三角函数是描述 周期变化现象的重要函 数模型。

平面向量 内容标准 学习要求 1.了解向量的实际背景。 2.理解向量、零向量、单 位向量、相等向量、向量 的模的概念。 3.理解向量的几何表示, 会用字母表示向量。 4.了解平行向量的概念及 表示法,了解相反向量、 共线向量的概念。 5 .知道两个向量不可比 较大小。 1 .掌握向量加、减法的 定义,并理解其几何意 义。 向量的线 性运算 2 .掌握向量加法的交换 律与结合律 , 并会用它们 进行向量运算。 3 .掌握实数与向量积的 定义及向量数乘的运算, 教学建议 1.从向量的物理背景和几何背景入手,通过力和 力的分析等实例,建立学生熟悉的矢量等概念与 向量的联系,引出向量概念。 2.将向量与数量概念比较,使学生更深刻把握向 量的概念。 3.借助信息技术,通过向量的平移来说明向量相 等与起点无关。 4.通过与平面几何中的直线、线段的平行概念的 比较,使学生知道两个共线向量不一定要在一条 直线上, 但两个向量平行就是共线向量。 特别地, 零向量与任意向量平行。 1.通过类比数的加法,以物理模型为背景引入, 让学生形成对向量加法的直观感知。 2. 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量 加、减法运算 教学时,要注意它们对应的物理 模型,在本质上二者是一致的。 3. 可 以 借 助 信 息 技 术 来 探 究 不 等 式

平面向量 的实际背 景及基本 概念

a ? b ? a ? b ,通过改变 a 、 b 的位置,动态

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内容标准

学习要求 并理解其几何意义。 4.理解两个向量共线的充 要条件。 5.了解向量的线性运算性 质及其几何意义。 6 .会用向量法解决简单 的几何问题。

教学建议 演示 a ? b 与 a ? b 的关系,加强对向量加、减 法运算几何意义的认识和理解。 4.引导学生通过类比数的加法交换律和结合律, 结合画图验证理解向量加法的交换律和结合律。 5. 应要求学生了解向量线性运算性质及其几何 意义。对于向量运算的交换律、数乘的结合律和 分配律,只要求会用即可,对于基础较好的学生 亦可介绍证明方法。 6.应要求学生熟练掌握向量线性运算律,并会 说出几何意义。

平面向量 的基本定 理及坐标 表示

1.通过开展探究活动,引导学生自主得出平面向 量基本定理。平面向量基本定理是平面向量的核 1.了解平面向量的基本定 心内容,它为向量的坐标表示奠定基础,该定理 理及其意义,会用平面向 不要求严格的证明。 量基本定理解决简单问 2. 让学生通过作图知道平面内不共线的任意两 题。 个向量 e1、e2 都可以作为平面内所有向量的基 2.理解平面向量的坐标的 底,体会基底的不唯一性。 概念,掌握平面向量的正 3.通过力的分解问题,使学生感受向量分解与现 交分解及其坐标表示。 实的紧密联系,明确向量的正交分解是向量分解 3.掌握平面向量的坐标运 中常用且重要的一种分解,也是平面向量基本定 算,会用坐标表示平面向 理的一个应用。 量的加、减与数乘运算。 4. 在推导向量 a 的坐标表示教学中, 通过类比平 4.理解用坐标表示的平面 面直角坐标系中点用有序实数对表示,联系平面 向量共线的条件,会依据 向量基本定理和向量的正交分解,体会每一个平 向量的坐标,判断向量是 面向量都可以用一有序实数对唯一表示。 否共线。 5.要求学生掌握利用向量推导线段的定比分点 坐标公式的方法,但公式不要求记忆。 1.理解平面向量数量积及 其几何意义。 2.了解一个向量在另一个 向量上投影的概念,体会 平面向量的数量积与向 量投影的关系。 3.掌握平面向量数量积的 性质、运算律和几何意 义。 4.掌握数量积的坐标表达 式,会进行平面向量数量 积的坐标运算。 5.了解两个向量的夹角概 念,能运用用数量积表示 两个向量的夹角。 1.以物体受力做功为背景,引出向量数量积的概 念,让学生认识到它是一种新的向量运算,有明 显的物理意义、几何意义。 2.从数与形两个方面引导学生对向量数量积定 义进行探究,将其与数的乘法比较,通过作图分 析,使学生明确:当 a ? 0 时,由 a ? b ? 0 不能推 出 b 一定是零向量; a ? b ? b ? c 不一定能推出

平面向量 的数量积

a ? c ;对于向量 a,b,c ,(a ? b)c = a (b ? c ) 未必
成立,强调与数的乘法结合律的区别。 3.引导学生探究向量数量积的运算律,让学生 独立完成运算律的证明,然后教师作适当点评。 4.向量的非正交分解、向量投影的概念只要求 了解。 5.在向量的数量积、向量的模、向量的夹角、

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内容标准

学习要求 6.会用向量数量积来处理 有关长度、角度和垂直问 题。

教学建议 两个向量垂直的充要条件的坐标表示公式教学 中,可让学生自主探究,体验公式发生、发展的 全过程,提高对公式的理解。 6. 平面向量数量积的应用应以解决涉及长度、 角 度和垂直等数学问题为主。

向量的应 用

1. 经历解决某些简单的平面几何问题、 力学问题 和其他一些实际问题的过程,体会平面向量突出 活中有着广泛的应用。 的工具作用。 2.要渗透数形结合思想,利用向量工具将几何 2.能运用向量方法解决某 关系代数化,培养学生分析问题解决问题能力, 些简单的平面几何问题、 提高学生数学应用意识。 3.通过向量在简单平面几何问题中的应用,让学 力学问题和其他一些实 生从中总结归纳出利用向量解决几何问题的方 法与步骤,体会向量是沟通代数、几何与三角的 际问题。 桥梁。 3.在应用向量解决问题过 4.通过向量在物理中的应用, 让学生从中总结归 程中,体会普遍联系的辩 纳出利用向量解决物理问题的步骤: [ 物理问题 ]→ [ 向量问题 ]→ [ 向量运算 ] → [ 物理 证唯物主义观点。 现象]。 1.了解向量知识在实际生 三角恒等变换

内容标准

学习要求

教学建议 1. 设计教学情境, 引导学生从数形结合的角度出 发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边 角关系等建立关于 ? , ? ,? ? ? 正弦、 余弦的等量

和与差的 三角函数 公式

1 .会用向量的数量积推 关系, 运用平面向量的数量积推导两角差的余弦 导出两角差的余弦公式。 公式,体会推导过程中蕴含的数学思想方法,进 2 .能利用两角差的余弦 而突破教学难点。 公 式 导 出 两 角 和 与 差 的 2. 在两角差的余弦公式推导的教学中应合理引 正弦、余弦、正切公式, 导学生联想向量知识,体会向量方法的应用;充 并导出二倍角的正弦、余 分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终 弦、正切公式,了解它们 边及其夹角)的关系;要关注公式推导过程中体 现的分类讨论、数形结合思想以及向量方法的应 的内在联系; 3 .能利用这些公式进行 用。 和、差、倍角的求值和简 3.通过和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧 密的内在联系,由两角差的余弦公式推导出两角 单的化简。 和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、 余弦、正切公式,展示数学发现的过程,让学生 从中总结归纳出公式推导的过程:

C(? ? ? ) ? C(? ? ? ) ? S(? ? ? ) ? T(? ? ? ) ? C2? , S2? ,T2?
, 建立关于两角的三角函数公式体系。 在教学中,

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内容标准

学习要求

教学建议 老师可以根据学生情况,对公式的推导顺序作出 自己的选择。

简单的三 角恒等变 换

1.引导学生以已有的公式为依据,以推导积化和 差、和差化积、半角公式为基本训练,体会三角 变换特点,提高推理论证和运算求解能力。教学 1.能利用和、差、倍角的 时不要随意补充公式(如半角公式、积化和差与 和差化积公式) 。 公式进行简单的恒等变 换,并证明三角恒等式。 2.要注意恰当地提出问题,加强对三角函数式特 2.能利用三角恒等变换研 征的观察,使学生明确三角恒等变换包括结构形 式、角、不同三角函数名之间的变换,引导学生 究三角函数的性质。 3.了解三角变换中蕴藏的 用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题。 3.要切实提高学生“活”用公式的能力,加强逆 数学思想和方法。 4.能把一些实际问题化为 用及变用公式的训练。要求学生在解题中不断总 结规律,归纳三角恒等变形中常用的变换方法, 三角问题,通过三角变换 如函数名的变换、角的变换、升降次的变换、 “1” 解决。 的代换等,注意体会三角恒等变换方法的特殊 性。 4.把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换 解决,培养学生应用意识,激发学生学习兴趣。

必修 5
本模块包含解三角形、数列、不等式。 学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌 握三角形中的边长与角度之间的数量关系, 并认识到运用它们可以解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题。 数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。学生将通过对 日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探 索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它 们解决一些实际问题。 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内 容。 学生将通过具体情境, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的 基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝 试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等 式、方程及函数之间的联系。

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解三角形
内容标准 学习要求 教学建议 1. 在义务教育阶段三角形学习的基础上,通过 对任意三角形边角关系的探究,从特殊到一 般,引导学生探索并发现正弦定理,可以采 用“情境引入——提出问题——研究特例— —归纳猜想——实验探究——理论探究—— 解决问题”的探究教学过程组织教学. 2. 合理引导学生利用向量的方法或几何推证等 方法证明正弦定理. 3. 通过适量的练习,训练在给定“边、角、边” 或“角、边、角”的条件下解三角形,达到 掌握正弦定理的要求,并解决一些简单的三 角形度量问题. 4. 通过给定“边、边、角”的不同条件,引导 学生探索解三角形时解的个数与已知条件有 关,需要具体情况具体分析,防止学生因认 识不足、理解不透彻而造成的解答不全面. 5. 解三角形的教学要重视正弦定理在探索三角 形边角关系中的作用,引导学生认识它是解 决测量问题的一种方法,不必在恒等变形上 进行过于繁琐的训练. 1. 在已有学习的基础上,通过对任意三角形边 角关系的探究,从特殊到一般,引导学生探 索并发现余弦定理,可以采用“情境引入— —提出问题——研究特例——归纳猜想—— 实验探究——理论探究——解决问题”的探 究教学过程组织教学. 2. 合理引导学生利用向量的方法证明余弦定 理,并指出勾股定理是余弦定理的特例,余 弦定理是勾股定理的推广. 3. 通过适量的练习,训练给定“边、角、边” 求三角形的第三边及已知三边求角的方法, 达到掌握余弦定理的要求,并解决一些简单 的三角形度量问题. 4. 引导学生认识到,余弦定理及其推论把用 “边、角、边”和“边、边、边”判定三角 形全等的定理从数量化的角度进行了刻画, 使其变成了可以计算的公式. 5. 解三角形的教学同样要重视余弦定理在探索 三角形边角关系中的作用,引导学生认识它 们是解决测量问题的一种方法,不必在恒等 变形上进行过于繁琐的训练.

正弦定理

1. 探 索 并 发 现 正 弦定 理, 在确定三角形边 角的过程中, 学习观 察、归纳、猜想、探 究的思维方法, 提高 思维能力. 2. 掌握正弦定理, 并能 解 决 一 些 简 单 的三 角形度量问题. 3. 运 用 正 弦 定 理 等知 识 和 方 法 解 决 一些 与 测 量 和 几 何 计算 有 关 的 简 单 的 实际 问题, 提高对数学学 习的兴趣, 提高由实 际 问 题 抽 象 数 学问 题 并 加 以 解 决 的能 力.

余弦定理

1. 探 索 并 发 现 余 弦定 理, 在确定三角形边 角的过程中, 学习观 察、归纳、猜想、探 究的思维方法, 提高 思维能力. 2. 掌握余弦定理, 并能 解 决 一 些 简 单 的三 角形度量问题. 3. 运 用 余 弦 定 理 等知 识 和 方 法 解 决 一些 与 测 量 和 几 何 计算 有 关 的 简 单 的 实际 问题, 提高数学学习 的兴趣, 提高实际问 题 抽 象 数 学 问 题并 加以解决的能力.

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内容标准

学习要求

教学建议

正弦定理与 余弦定理的 应用

1. 通过实例引导学生运用正弦定理、余弦定理 1. 能够运用正弦定理、 等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 余 弦 定 理 等 知 识和 关的实际问题,这是教学难点,应培养学生 方 法 解 决 一 些 与测 从实际问题转化为数学问题的能力,并加强 量 和 几 何 计 算 有关 解题中近似计算的训练. 的实际问题, 体会正 2. 注意强调将解三角形作为几何度量问题来处 弦定理、 余弦定理在 理,突出几何对象意识、几何图形及相关几 解三角形中的作用. 何量的作用,在应用正弦定理与余弦定理解 2. 经 历 由 实 际 问 题抽 决实际测量用问题时,注意培养学生的创新 象 数 学 问 题 并 加以 意识和实践能力,应鼓励学生用不同方法解 解决的过程, 提高数 决问题,而不是硬套公式. 学地提出、 分析和解 3. 引导学生认识公式的作用,指导学生选择正 决实际问题的能力, 确的几何对象和恰当的公式解题,虽然有些 数 学 表 达 和 交 流的 问题可以用多种方法解决,但选择恰当的公 能力. 式可以简化解题过程.

数列
内容标准 学习要求 1. 了解数列的概 念和几种简单 的表示方法 (列表、 图象、 通项公式). 2. 了解递推公式 也是表示数列 的一种方法. 3. 了解数列是一 种特殊函数, 体会数列中的 函数思想. 1. 理解等差数列 的概念. 2. 探索并掌握等 差数列的通项 公式与前 n 项 和的公式. 3. 能在具体的问 题情境中,发 现数列的项的 等差关系,并 能用有关知识 解决相关问 题. 教学建议 1. 通过日常生活中的实例,引出数列及相关概念,知 道通项公式对于数列的重要性. 2. 通过简单的数列模型,指导学生用通项公式表示, 并渗透归纳、猜想的思想方法. 3. 用具体的实例指导学生认识用递推公式表示数列 的方法,并能在给出首项和递推关系的前提下,写 出数列的若干项. 4. 与函数的表示方法类比,指导学生用列表、图象的 方法表示数列,并引导学生通过函数的观点了解数 列的概念,了解数列是一种特殊函数.

数列的概念

等差数列

1. 通过实例认识数列的项的等差关系,从项与项的关 系的特点上理解等差数列的概念,认识等差数列的 本质是等差,理解“等差”是等差数列的概念、研 究等差数列性质的基础,也是思考等差数列问题的 基本出发点,教学中,引导学生在思考问题时,经 常回到这个出发点上来. 2. 从具体的等差数列的实例出发,归纳、总结一般等 差数列的特征,引导学生逐步体会得到等差数列的 通项公式的迭加方法,要求学生在通项的基础上认 识等差数列的特征,通过实例认识等差中项,通过 训练,探索并发现等差数列中的一些性质,教学中 强调从特殊到一般的思维过程. 3. 引导学生逐步体会得到等差数列的前 n 项和的公

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内容标准

学习要求 4. 体会等差数列 与一次函数的 关系. 5. 掌握迭加法、 倒序相加法, 在解决有关问 题中体会基本 量的思想.

教学建议 式的倒序相加方法,指导学生得到两个求和计算公 式,并用较多的实例让学生掌握等差数列的前 n 项 和的公式. 4. 教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必 要的练习,掌握数列中各量之间的基本关系,但训 练要控制难度和复杂程度.特别要引导学生从变量 的角度认识等差数列的五个参量,深刻体会可以根 据五个参量中的任意三个求出其余两个的“知三求 二”的方程思想,知道“知三求二”的问题一般都 可以归结为解二元一次方程组;并通过实例强化认 识首项和公差在解决等差数列问题中的重要性,体 会解决等差数列问题可以化归到首项和公差的基 本量思想. 5. 通过具体实例(如教育贷款、人口增长等) ,引导 学生从实际问题中发现等差数列的模型,并通过模 型解决相关问题,在此基础上,使学生理解等差数 列模型的作用,培养学生从实际问题中抽象出数列 模型的能力. 6. 通过正整数 n 的一次函数或常值函数理解等差数 列的通项 an , 通过正整数 n 的缺常数项的二次函数 理解等差数列的前 n 项和 S n ,强调数列作为一种 特殊的函数,是重要的数学模型,与函数有密切的 关系. 7. 通过等差数列的研究,感悟数列是如何刻画现实世 界中一类具有递推规律事物的,掌握通项公式与前 n 项和的关系, 并能运用数列解决简单的实际问题。

等比数列

1. 理解等比数列 的概念. 2. 探索并掌握等 比数列的通项 公式与前 n 项 和的公式. 3. 能在具体的问 题情境中,发 现数列的项的 等比关系,并 能用有关知识 解决相关问 题. 4. 体会等比数列 与指数函数的

1. 通过实例认识数列的项的等比关系,从项的特点上 理解等比数列的概念,并与等差数列的概念进行比 较,认识等比数列的本质是等比,理解“等比”是 等比数列的概念、研究等比数列的性质的基础,也 是思考等比数列问题的基本出发点,教学中,引导 学生在思考问题时,经常回到这个出发点上来. 2. 从具体的等比数列的实例出发,归纳、总结一般等 比数列的特征,引导学生逐步体会得到等比数列的 通项公式的迭乘方法,要求学生在通项的基础上认 识等比数列的特征,通过实例认识等比中项,通过 训练,探索并发现等比数列中的一些性质,教学中 强调从特殊到一般的思维过程,并引导学生与等差 数列作对比,渗透类比的思想方法. 3. 引导学生逐步体会得到等比数列的前 n 项和的公 式的错位相减方法,指导学生得到两个求和计算公

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内容标准

学习要求 关系. 5. 掌握迭乘法、 错位相减法, 在解决有关问 题中体会基本 量的思想.

教学建议 式,并用较多的实例让学生掌握等比数列的前 n 项 和的公式. 4. 教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必 要的练习,掌握数列中各量之间的基本关系,但训 练要控制难度和复杂程度.特别引导学生从变量的 角度认识等比数列的五个参量,深刻体会可以根据 五个参量中的任意三个求出其余两个的“知三求 二”的方程思想,对于等比数列,要控制“知三求 二”的问题难度;并通过实例强化认识首项和公比 在解决等比数列问题中的重要性,体会解决等比数 列问题可以化归到首项和公比的基本量思想. 5. 通过具体实例(如购房贷款、放射性物质的衰变 等) ,引导学生从实际问题中发现等比数列的模型, 并通过模型解决相关问题,在此基础上,使学生理 解等比数列模型的作用,培养学生从实际问题中抽 象出数列模型的能力. 6. 通过正整数 n 的指数函数模型理解等比数列的通 项 an 与等比数列的前 n 项和 S n ,强调数列作为一 种特殊的函数,是重要的数学模型,与函数有密切 的关系. 7. 通过等比数列的研究,感悟数列是如何刻画现实世 界中一类具有递推规律事物的,掌握通项公式与前 n 项和的关系, 并能运用数列解决简单的实际问题。

不等式
内容 标准 学习要求 1. 感受在现实世界和 日常生活中存在着 大量的不等关系. 2. 了解不等式(组) 的实际背景,体会 不等式(组)对于 刻画不等关系的意 义和价值. 3. 感悟生活中蕴藏着 的不等与相等的关 系,感知不等与相 等的辩证统一的关 系. 1. 经历从实际情境中 抽象出一元二次不 教学建议 1. 通过具体情境,感受现实世界和日常生活中存在着 的大量的不等关系, 并能用正确的不等关系式表示. 教学中要明确,建立不等观念、处理不等关系与处 理等量问题是同样重要的. 2. 从实数的基本性质出发,引出不等式的基本性质, 并用范例指导学生学习简单的证明方法,教学中仅 要求学生会简单地说理. 3. 利用具有现实背景的生产、生活实例,引导学生用 不等式或不等式组表示其中的不等关系,强调不等 式的实际应用,注重从实际问题中抽象出不等式模 型的训练.

不等 关系 与不 等式

一元 二次

1. 通过实例,让学生经历从实际情境中抽象出一元二 次不等式模型的过程,使学生了解一元二次不等式

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内容 标准 不等 式

学习要求

教学建议

等式模型的过程. 的实际背景. 2. 通过函数图象了解 2. 用数形结合的思想,指导学生认识一元二次不等式 一元二次不等式与 的解集、一元二次方程的根及函数的零点之间的关 相应函数、方程的 系;并用实例加强训练求解一元二次不等式的基本 联系.体会不等式、 技能,尤其是对应的一元二次方程有无实根的情况 方程及函数之间的 对不等式解集的影响,指导学生既可以求出相应方 联系与转化的辩证 程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解 思想. 集, 也可以运用代数的方法求解.鼓励学生从通性通 3. 掌握求解一元二次 法的角度设计求解一元二次不等式的程序框图,融 不等式的基本方 入算法思想. 法,学会从函数的 3. 这部分内容的教学重点是一元二次不等式的解法, 观点了解一元二次 教学中要注意控制问题的难度,尤其是“区间根的 不等式,对给定的 问题” 、 “二次函数在区间上的最值问题” 、 “二次不 一元二次不等式, 等式在区间上恒成立的问题”等,应当适度控制, 尝试设计求解的程 因为这类问题常常涉及含参数的问题,需要分类讨 序框图. 论,分类与整合思想的掌握需要一个循序渐进的过 4. 利用一元二次不等 程. 式解决一些实际问 题. 1. 从实际情境中抽象 出二元一次不等式 组. 2. 了解二元一次不等 式的几何意义,能 用平面区域表示二 元一次不等式组, 能用二元一次不等 式组表示平面区 域. 3. 提高数学的应用意 识,体会数学在实 际问题中的广泛应 用,提高学习数学 的兴趣. 1. 从实际情境中抽象 出一些简单的二元 线性规划问题. 2. 尝试解决一些简单 的二元线性规划问 题. 1. 通过实例,让学生经历从实际情境中抽象出二元一 次不等式组模型的过程,使学生了解二元一次不等 式的实际背景. 2. 不等式有丰富的实际背景, 是刻画区域的重要工具. 刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,教 学中可以从实际问题引入用平面区域表示二元一次 不等式组的方法 .对于具体的平面区域也应学会用 二元一次不等式组表示的方法,教学中,始终渗透 “直线定界,特殊点定域”的方法,帮助学生用集 合的观点分析、 用集合的语言描述组合图形的问题, 使问题更清晰和准确. 3. 教学中要特别提醒学生注意 Ax ? By ? C ? 0 (或

二元 一次 不等 式组 与平 面区 域

? 0) 表示区域不包括边界, 而 Ax ? By ? C ? 0 (或 ? 0 )则包括边界,逐步培养学生数形结合思想、
化归与转化思想. 1. 启发学生从一些实际情境中抽象出简单的二元线性 规划问题,根据思维发展的规律,可按照“观察— —尝试模仿——再实践”的认知过程,深化对简单 线性规划问题的认识,循序渐进地理解掌握简单线 性规划问题的解决方法和相关概念,教学中可以借 助计算机等媒体工具进行演示,辅助教学.

简单 线性 规划 问题

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内容 标准

学习要求 3. 通过简单线性规划 问题的解决,了解 优化思想.

教学建议 2. 线性规划是解决最优化问题的具体模型之一,因此 教学中应强调不等式组的几何意义、现实背景和实 际应用.对于线性规划问题, 还可以指导学生从函数 的观点看,就是确定目标函数在可行域(由约束条 件确定的定义域)内的最值问题. 3. 对于解决线性规划问题,应强调通性通法,指导学 生将其归结为算法解决,融入算法思想. 4. 教学中,应引导学生体会线性规划的基本思想,借 助几何直观解决一些简单的问题. 5. 线性规划是一个应用性非常强的工具,应通过解决 线性规划的实际问题培养学生最优化的思想.

基本 不等 式

1. 通过代数的方法指导学生探索并了解基本不等式的 1. 探索并了解基本不 来源与证明过程,并利用几何图形对基本不等式作 等 式 : 出几何解释,用于加深基本不等式形式上的记忆. a?b 2. 通过实例指导学生利用基本不等式求解某些最值问 ab ? (a、 题(特别是非一元二次函数的最值问题) ,在求解中 2 b ≥ 0 )的证明过 展示这种方法的简捷性. 程. 3. 应用基本不等式求最值时,需要特别提醒学生讨论 2. 会用基本不等式解 等号成立的条件. 决简单的最大 (小) 4. 只要求了解基本不等式的证明,对于 “不等式的性 值问题. 质及其证明”以及“用分析法、综合法、比较法证 明不等式”等内容暂不作要求.

选修 1-1
本模块包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用. 在常用逻辑用语中,学生将在义务教育阶段的基础上,学习常用逻辑用语, 体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容, 更好地进行交流. 在圆锥曲线与方程中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方 程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用,进一步体会数形结合的思想. 在导数及其应用中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率 刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及其内涵;应用导数探 索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用,感受导数在解决数学问题和 实际问题中的作用,体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

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常用逻辑用语
内容 标准 学习要求 教学建议

命 题 及其 关系

1.以义务教育阶段学习的命题为出发点,引导学生在 回顾的基础上,进一步了解命题的概念,会判断命题 的真假. 2. 通过生活和数学中的丰富实例 , 说明四种命题形式 1.了解命题的概念, 会 的客观存在 , 使学生进一步认识到研究四种命题的必 判断一些简单命题的 要性,体会逻辑用语在表述和论证中的作用. 真假. 3.通过适量的实例阐述命题的概念,所举的实例应能 2. 了解命题的逆命题、 清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论. 否命题、 逆否命题的有 4.对“命题的逆命题、否命题、与逆否命题”只要求 关概念, 会写出易于改 作一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命 写成“若 p,则 q”形 题为重点载体进行训练,引导学生写出它的逆命题、 式的命题的逆命题、 否 否命题、逆否命题,并判断它们的真假,而不应进行 命题、逆否命题. 形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成 3 .会分析四种命题的 “若 p,则 q”形式的命题的四种命题,对于不是“若 相互关系. p,则 q”形式的命题,没有必要讨论它的四种命题. 5.通过实例的分析,总结出四种命题之间的基本关系 图,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命 题是同真假的,让学生体验规律的探索和发现过程. 1.在“若?则?”形式的命题为真命题的基础上引入 充分条件、必要条件的概念.以学生熟知的具体实例 为载体,分析条件之间的关系,逐步加深对必要条件、 充分条件与充要条件的意义的理解.教学时,可以运 用 Venn 图来直观描述充分条件、 必要条件的关系, 帮 助学生对概念的理解. 2.对充分条件、必要条件与充要条件知识,只要求掌 握 “若 p 则 q”形式的命题.这里的 p 与 q 都是不含 逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的,不要随意拔高要 求. 3.应通过实例让学生明白寻求充分条件、必要条件和 充要条件来解决问题是一种常用的方法,理解充分条 件、必要条件和充要条件在思考和解决数学问题中的 作用. 4.通过实例的教学,引导学生学会利用“互为逆否命 题的两个命题之间的等价关系”来判断具体命题的真 假并证明简单的数学问题. 1.在教学中可以用逻辑联结词“且”与“或”连结一 些条件,形成新的条件,构造新命题,但对简单命题, 复合命题的概念不要涉及. 2.教学中应引导学生利用逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”构造新命题,通过分析所构造的新命题的真假, 理解“或” 、 “且” 、 “非”的含义.可以适当联系集合

充分 条件 与必 要条 件

1.理解必要条件、充 分条件与充要条件的 意义. 2.会结合具体命题, 分析四种命题的相互 关系; 会利用互为逆否 命题的两个命题之间 的等价关系来判断命 题的真假及证明简单 的数学问题. 3.通过“充要条件” 的学习进一步提高辨 证思维的能力.

简单 的逻 辑联 结词

1.通过数学实例,了 解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义. 2.能正确利用“或” 、 “且” 、 “非”表述相关 的数学命题.

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内容 标准

学习要求 3.能准确区分命题的 否定与否命题.

教学建议 与不等式的相关知识进行讲授,让学生在探究新旧知 识关系的同时,提升对数学知识理解. 3.任何一个命题都有否定形式,但命题的否定与否命 题是不同的. 1. 应结合具体的命题来理解全称量词与存在量词的意 义.对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求它 们形式化的定义.要注意全称量词与存在量词在日常 生活和数学中的各种表达形式:如,全称量词的表达 形式通常有: “所有” 、 “每一个” 、 “一切” 、 “任何一个” 、 “任意一个” 等, 存在量词的表达形式一般有 “有些” 、 “至少有一个” 、 “存在” 、 “有一个” 、 “至少”等. 2.对于一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属 性也不同:冠以全称量词得到的是全称命题;冠以存 在量词得到的是特称命题.教学中应引导学生正确区 分这两种命题.对于含有两个量词的命题,不要求学 生掌握. 3.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在 数学与生活中的作用. 1.利用日常用语和学生熟悉的数学命题介绍对含有一 个量词的命题进行否定的意义,进一步展现全称量词 和存在量词在描述问题中的作用. 2.教学过程中,要在实践的基础上,教会学生形式化 地把握这种否定的特征,加强学生对含有一个量词的 命题的否定的理解. 3.对于命题的否定,只要求学生能够对含有一个量词 的命题进行否定.

全称 量词 与存 在量 词

1.理解全称量词与存 在量词的意义. 2.能正确利用全称量 词与存在量词叙述数 学问题. 3.体会量词在数学与 生活中的作用.

含有 一个 量词 的命 题的 否定

1.通过生活和数学中 的实例, 理解含有一个 量词的命题的否定的 意义. 2.能正确地对含有一 个量词的命题进行否 定.

圆锥曲线
内容 标准 学习要求 1 .经历从具体情景中抽 象出椭圆的过程,掌握椭 圆的定义. 2 .会推导椭圆的标准方 程并能够利用给定条件 求椭圆的标准方程. 3 .会利用椭圆的标准方 程及几何图形研究椭圆 的简单几何性质,能掌握 椭圆的简单几何性质(范 围、对称性、顶点、离心 率) . 教学建议 1. 通过生活实例或利用多媒体演示卫星的运行轨 迹、平面截圆锥得到圆锥曲线,让学生经历从具体情 境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示 椭圆的几何特征,理解椭圆的定义. 2 .推导椭圆标准方程的过程 ,也是求曲线方程的过 程,要引导学生模仿求直线与圆的方程时所采用的解 题步骤,推导椭圆标准方程.在推导过程中, 方程为两 个根式的和等于一个非零常数, 要注意说明这类方程 化简的必要性和方法,培养学生的运算求解能力,体 会数学美在解决问题中的价值功能. 3.对于给定某些条件的椭圆,可引导学生利用待定 系数法根据条件求出 a、b 的值,确定相应的标准方

椭 圆

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内容 标准

学习要求 4. 经 历 由 轨 迹 特 征 抽 象 成数量关系、形成方程的 探究过程,在实施数形转 化解决问题的过程中,培 养自身的抽象概括能力 和逻辑思维能力,养成善 于独立思考的良好品质.

教学建议 程. 4.通过对实例的教学,使学生学会从椭圆的光学性 质、各行星的运行轨道等具体情景,抽象出椭圆的几 何性质, 感受圆锥曲线在揭示客观世界的规律和解决 问题中的作用. 5. 利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下 两点: 一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的 几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的讨论, 领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线性质 的. 由于是第一次系统地用代数的方法研究曲线的性 质,所以教学进度应适当放慢.

双曲 线

1.让学生在学习椭圆的基础上, 通过类比、 直观操作、 观察模型等了解双曲线的定义. 1 .了解双曲线的定义、 2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验, 在推导双 几何图形. 曲线的标准方程时,应尽可能让他们自已推导. 2 .会推导双曲线的标准 3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引 方程 导学生在观察双曲线图形的同时, 结合方程探究双曲 3 .知道双曲线的简单的 线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可 几何性质 (范围、 对称轴、 以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的特征. 顶点、离心率、渐近线) . 4.通过对具体实例的分析,帮助学生领会运用双曲 线的知识解决实际问题的实质. 1.了解抛物线的定义、几 何图形. 2. 了 解 抛 物 线 标 准 方 程 及其推导过程,能够利用 给定条件求抛物线的标 准方程. 3. 利用抛物线的标准方 程及几何图形研究抛物 线的简单几何性质,知道 抛物线的简单几何性质. 1 .掌握直线与圆锥曲线 的位置关系. 2 .能解决圆锥曲线在实 际中的一些简单应用,进 一步提升“应用数学”的 意识,提高解决问题的能 力. 3 .会运用数形结合的思 想方法解题. 1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯 的镜面) ,使学生了解抛物线的背景与应用;借助计 算机,向学生展示用平面截圆锥得到抛物线的过程, 使学生加深对抛物线定义的了解. 2.教师适时点拨引导学生推导抛物线标准方程.在 已知条件下求抛物线的方程时, 要考虑到抛物线标准 方程的四种形式,培养学生思维的严谨性. 3.通过对具体的生活实例的教学,使学生感受到抛 物线在解决实际问题中的作用. 1. 通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线的 交点坐标就是曲线方程的公共实数解, 可以通过求解 曲线方程组得到两曲线的交点. 2.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组知识研 究直线与圆锥曲线的位置关系, 并解决相关的简单问 题. 3.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹, 卫星的运行轨迹等) ,引导学生利用圆锥曲线相关性 质解决生活中实际问题, 培养学生抽象概括能力和推 理论证能力,形成善于独立思考的良好品质.

抛物 线

圆锥 曲线 的简 单 应用

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导数及其应用
内容 标准 学习要求 教学建议

导数概 念及其 几何意 义

1.教学中应重视产生导数概念的实际背景,通过 具体应用实例(如平均速度、膨胀率、效率、增 长率等) ,抽象出平均变化率的概念. 1.了解平均变化率与瞬 2.借助图形直观,通过割线斜率向切线斜率逼近 时变化率的概念, 了解导 过程的研究,通过物体运动的平均速度向瞬时速 数概念的实际背景, 了解 度的过渡,抽象出瞬时变化率的概念,了解导数 导数概念, 体会导数的思 的几何意义和物理背景,让学生经历由平均变化 想及其内涵. 率到瞬时变化率的过程,进而领会运动、变化的 2. 理解导数的几何意义, 数学思想,体会导数的内涵,感受“导数是对事 体验建立数学模型刻画 物瞬时变化率的描述” . 客观世界的“数学化”过 3.利用教具或多媒体动画演示,加深对导数概念 程. 及其几何意义的理解和掌握. 3. 通过导数概念的学习, 4. 要注重极限思想的运用以及导数概念产生的背 体会数形结合的思想方 景,用形象直观的“逼近”方法定义导数.对导 法,领会“量变到质变” 数的概念,仅要求从感性认识的角度了解,其形 的哲学原理. 式化的表述要避开,对极限的定义不宜补充,应 让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法,体 会及其在现实生活中的应用. 1.能根据导数定义求函 数 y=c、y=x、y=x2、y= 1 x 1. 在教学过程中应引导学生经历用定义法求函数 y=c、y=x、y=x2、y= 1 的导数的过程,领会定义法 x 求简单函数的导数的方法,了解导数概念,领会 无限逼近(极限)的思想方法. 2. 注意引导学生合理选用导数公式求简单函数的 导数. 3.在讲解导数的几何意义时 ,要注意强调“曲线 在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的切线”的 区别:光滑曲线在其上一点处的切线只有一条, 而过某一点曲线的切线可以不止一条,曲线的切 线与曲线可以有不止一个公共点. 1.通过具体函数的导数计算,引导学生从中归纳 出导数的四则运算法则. 2. 引导学生根据基本初等函数导数公式表和导数 的运算法则,求简单函数的导数(导数的运算法 则要求记忆和应用,但不要求推导) ,通过适度的 练习,促进学生基本运算技能的形成. 1.结合具体函数的图象,引导学生分析函数的单 调性和导数符号的关系,帮助他们归纳利用导数 符号判断函数单调性的方法和步骤. 2.应用导数法求多项式函数的单调区间,应选择

基本初 等函数 的 导数公 式

的导数. 2.能利用基本初等函数 的导数公式求简单函数 的导数. 3.会用导数公式求瞬时 变化率, 进而强化导数概 念以及对导数几何意义 的理解. 1.能根据导数的四则运 算法则, 求简单函数的导 数. 2.通过导数的计算,提 高运算能力. 1.了解函数单调性和导 数的关系. 2.能利用导数研究函数 (多项式函数次数不超

导数的 四则运 算 法则

函数的 单调性

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内容 标准

学习要求 过三次)的单调性. 1.了解函数极大(小) 值和最大 (小) 值的概念. 2.了解函数在某点取得 极大(小)值的充分条件 和必要条件. 3. 会利用导数求函数 (多 项式函数次数不超过三 次)的极大(小)值. 4. 会利用导数求函数 (多 项式函数次数不超过三 次) 在给定闭区间上的最 大(小)值. 5.通过对函数极(最) 值的研究, 体会局部与整 体的关系, 体会运用导数 方法在研究函数性质中 的优越性. 1.会从实际问题中归纳 出数学模型, 并利用导数 知识加以解决. 2.通过生活中优化问题 的解决, 培养数学应用意 识,提高应用数学的能 力.

教学建议 次数不超过三次的多项式函数. 1 .通过具体函数图象,引导学生了解函数极大 (小)值、最大(小)值的概念,在对比中领会 它们的区别, 使学生知道前者是一个局部的概念, 后者是一个全局的概念. 2.教学中应结合具体函数,通过应用导数方法 求函数 (多项式函数次数不超过三次) 的极大 (小) 值及最大(小)值,归纳出求函数极(最)值的解题 方法和步骤. 3.求具体函数在给定区间的极(最)值时,要 求学生了解函数在某点是否取得极大(小)值以 及最大(小)值的判定方法;了解导函数的零点 (驻点)与极值点之间的关系(此结论仅要求结 合图象直观了解,不要求严格证明) . 4.在具体的教学过程中,注意先易后难、先简 单后综合,着重在于帮助学生掌握一般计算方法 和原则,领会导数方法是研究函数性质的另一个 重要方法. 1.在“利润最大、用料最省、效率最高”等最优 化问题的解决过程中,应注意引导学生关注如何 从实际问题中选择适当的自变量, 确定目标函数, 进而从实际问题中提炼出具体的数学问题,并用 导数方法加以解决,从中了解实际问题数学化的 一般步骤. 2.通过对生活中具体实例的教学,体会导数在解 决实际问题中的作用,培养应用意识.

函数的 极值与 最值

生活中 的优化 问题举 例

选修 1-2
本模块包括统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图. 学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用 一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识 统计方法在决策中的作用. “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的 思维方式.学生将进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异; 体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法;感受逻辑证明在数学以及日常 生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,复数的引入是中学阶段

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数系的又一次扩充. 学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必 要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用. 框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示, 它的作用在于能够清 晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系. 学生将学习用 “流程图” “结构图” 等刻画数学问题以及其他问题的解决过程;并在学习过程中,体验用框图表示数 学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性,提高抽象概括能力和逻辑思 维能力,能清晰地表达和交流思想.

统计案例
内容 标准 学习要求 教学建议 1.通过对“肺癌与吸烟有关吗”等实例的分析, 总结得出独立性检验的思想,引导学生体会独立 性检验的基本思路,会用类比的思想方法得出独 立性检验的基本步骤.重点是了解独立性检验的 思想方法,对其理论基础不做要求. 2.选择实际的、学生感兴趣的、能反映统计方法 的典型案例,组织学生就如何解决案例中的问题 展开讨论,以激发学生的学习兴趣.并在对列联 表数据处理的过程中, 培养学生数据处理的能力. 3. 独立性检验的基本思想对学生来说是比较陌生 的,教师不宜采取直接介绍的方法,应通过让学 生模仿应用的教学方式,学生自己设计解决问题 的方案,并通过交流和引导使学生认识到所学方 法的基本思想. 4.通过对独立性检验的基本思想、方法的学习, 让学生对统计思维和确定思维的差异有一定的理 解. 1.以“人的体重与身高的关系”等典型案例为教 学载体,通过案例的探究,归纳回归分析的基本 思想、方法,避免抽象介绍回归分析的思想、方 法. 2.让学生积极主动地参与案例探究,根据散点图 的分布情况,确定回归模型的类型,探求对相关 程度进行检验的统计量(相关系数) ,从而建立回 归分析的基本算法步骤(对相关系数可以估计相 关程度的原因只要求从直观上加以感受,不必介 绍理论依据) . 3.应让学生经历数据处理过程,增强学生对数据

独立 性 检验

1.了解分类变量,会列两 个独立分类变量(只要求 2 ×2)的列联表. 2.根据列联表,会用三维 柱形图或二维条形图判断 两个分类变量的相关性. 3.会根据列联表数据计算

c 2 的观测值,并能根据观
测值判断两个分类变量相 关性. 4.了解独立性检验的基本 思想, 能用独立性检验的基 本思想、 方法解决一些实际 问题.

回归 分析

1.能根据给出的数据画出 散点图, 并能根据散点图判 断变量之间的相关关系. 2. 根据散点图的分布情况, 会确定回归模型的类型, 会 求回归方程. 3.了解使用不同模型回归 分析的拟合效果. 4.能用回归的基本思想、 方法解决一些实际问题.

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内容 标准

学习要求

教学建议 的直观感觉,从而了解回归分析的基本思想及其 对决策的作用,对于理论基础不作要求.应避免 学生单纯记忆和机械套用公式,鼓励学生使用现 代技术手段来处理数据.

推理与证明
内容 标准 学习要求 1.了解合情推理的含义. 2. 了解归纳推理的一般步 骤,能利用归纳进行简单 的推理,做出数学猜想. 3. 了解类比推理的思维过 程,能利用类比等进行简 单的推理. 4. 结合典型案例, 体会并 认识合情推理在数学发现 中的作用,激发探究意识 和创新精神. 教学建议

合情 推理

演绎 推理

直接 证明

1.结合具体实例的推理过程的分析,引导学生了解合情 推理的描述性定义,体会归纳、类比的思维方法.通过 对比教学,使学生理解类比推理和归纳推理的联系和差 异. 2.结合已学过的数学或生活中的实例,通过归纳、类比 等方法完成简单的推理. 3.以对数学发现过程的典型案例分析为载体,帮助学生 体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论以及探索和 提供解决问题的思路和方法的作用. 4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也 应是“已经学过的数学实例和生活中的实例” ,不宜拔高 要求. 1.通过科学理论中的一些实例的讲解,使学生体会演绎 推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用,是公 1.了解演绎推理的概念, 理体系中的基本推理方法,广泛应用于自然科学、社会 体会演绎推理的重要性. 科学领域. 2. 掌握演绎推理的基本模 2. 结合已学过的数学或生活中的实例, 让学生认识到 “三 式,并能运用它们进行一 段论”是演绎推理的一般模式,学会运用“三段论”证 些简单推理. 明数学问题. 3.能够运用“三段论”的 3.教学中应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、 思维模式解决问题. 猜测一些数学结论,并用演绎推理证明所得结论的正确 4. 了解合情推理和演绎推 性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过 理之间的联系和差异,通 具体实例理解合情推理与演绎推理,让学生在获得数学 过具体实例的学习,提高 结论时经历合情推理到演绎推理的过程. 演绎推理能力. 4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也 应是“已经学过的数学实例和生活中的实例” ,不宜再拓 宽、加深,拔高要求. 1. 了解直接证明的两种基 本方法: 分析法和综合法. 1.分析法和综合法是学生已学过的基本证明方法,教学 2. 了解分析法和综合法的 中对证明的技巧不宜作过高的要求,应重在通过实例的 思考过程、特点. 剖析,引导学生体会分析法和综合法的思考过程和证明 3. 能根据题目灵活选择适 特点. 当的证明方法解决简单的 2.通过经历解决有关问题的过程,培养学生分析问题、 证明问题,感受直接证明 解决问题的能力.培养学生推理论证能力和抽象概括能 在数学以及日常生活中的 力. 作用,养成言之有理、论 证有据的习惯.

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间接 证明

1. 了解间接证明的一种基 本方法:反证法. 2 .了解反证法的思考过 程、特点. 3. 能根据题目灵活选择适 当的证明方法解决简单的 证明问题,并提高逆向思 维能力,感受间接证明在 数学以及日常生活中的作 用,养成言之有理、论证 有据的习惯.

1.通过案例剖析指明反证法的适用情形和使用的逻辑规 则,明确反证法的思考过程及特点. 2.学生在使用反证法证明问题上存在逻辑上的困难,教 学中应突出过程分析和方法、步骤的归纳.对补充例题 的选择应适合学生的数学实际水平,不宜太难.

数系的扩充与复数的引入
内容 标准 学习要求 教学建议

数系的 扩充

复数的 概念及 复数相 等的充 要条件

复数的 表示法 及几何 意义

1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会到数集 的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身的 1. 了解数系的扩充过程, 需要. 知道引入复数的必要性. 2.介绍数的概念发展过程,使学生对数的发展历 2.体会实际需求与数学 史以及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整 内部的矛盾在数系扩充 的认识, 从而激发学生积极主动地建构新的数系. 过程中的作用, 认识人在 3.虚数单位的引入,产生复数集,在这个过程中 事物发展变化中所应体 蕴含了创新精神和实践能力, 对培养学生的情感、 现的价值和作用. 养成科学的态度、 形成正确的价值观有积极意义, 数学中应注意体现. 1.理解复数的基本概 1.复数的概念是教学的难点和关键.教学时可与 念, 能利用复数的有关概 前几次数系的扩充进行类比,让学生了解在数系 念对复数进行分类. 扩充中,加法、乘法的交换律、结合律及乘法对 2.理解复数相等的充要 加法的分配律成立. 条件, 会用复数相等条件 2. 理解复数的基本概念并运用它去解题也是本节 解决有关问题. 的重要学习内容,教学中可多举些例子帮助学生 3.体会分类讨论、等价 加深理解复数的概念. 转化等数学思想和方法, 3. 让学生明确不全是实数的两个复数只有相等或 初步学会运用矛盾转化、 不相等关系,没有大小关系,不能比较大小.明 分与合、 实与虚等辩证唯 确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思 物主义观点看待和处理 想方法. 问题. 1.了解复数的代数表示 法. 1.应注重向学生渗透类比、联想的思想方法,启 2.了解复数集、复平面 发学生以复平面为载体,研究复数集、复平面内 内的点的集合、 复平面内 点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之 以原点为起点的向量集 间的一一对应关系, 并由此获得复数的几何表示、 合之间的一一对应关系, 向量表示. 并会在复平面内画出它 2.在认识复数的代数表示法时,应充分运用数形 们相应的图示位置. 结合的思想方法,帮助学生强化对复数几何意义 3. 了解复数的几何意义, 的认识,体验数学的思维特色,提高数学素养. 体会数形结合思想, 提高 直观思维能力.

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内容 标准

学习要求

教学建议

复数的 运算

1.教学中可以通过引入复数的向量表示,以向量 为主线,把代数、几何联系起来,由向量加减法 1.能进行复数代数形式 运算的几何意义得到复数加减法运算的几何意 的四则运算. 义. 2.了解复数代数形式的 2.复数运算是教学重点,教学中可以类比多项式 加、减运算的几何意义. 的运算法则,研究复数的加法、减法、乘法的运 3.感受形与数之间的和 算法则.在除法运算教学中,把复数的分母“实 谐与统一, 提高实践动手 数化”转化为乘法运算,应重视算理. 操作能力,激发创新精 3.在复数代数形式的四则运算的教学中,应注意 神. 避免繁琐的计算和技巧训练,将教学重点放在帮 助学生理解算理,体验复数问题实数化的过程与 方法、提高运算求解能力上.


内容 标准 学习要求


教学建议 1. 通过典型算法案例让学生认识到程序框图 是算法步骤的直观图示,体会用程序框图表 示算法的优点,提高逻辑思维能力. 2.流程图的教学,应从分析实例入手,引导 学生应用框图表示数学计算与证明过程的主 要思路与步骤、实际问题的工序流程等,并 在读图、画图等具体运用过程中理解流程图 的特征. 3. 关于框图知识的拓展现在已经形成了专门 的研究分支,但这不是这部分课程要求的内 容,在这里仅仅是初步的了解框图的作用, 选择实例不要给学生造成理解上的困难,更 不要求抽象地讨论相关的概念. 1.从分析实例入手,引导学生运用结构图表 示某一数学知识系统的结构关系等,并在运 用过程中理解结构图的特征,认识结构图中 各要素之间的关系. 2.教学中应让学生绘制结构图,结合做出的 结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示 事物之间联系中的作用. 3.结构图应用比较广泛,教学中要从具体的 实例出发,实例的选择要简单、清晰.可以 要求学生对同一事物用不同的结构图来表 示,但在这部分不要求给出严格的定义和分 析.在框图这部分内容中,没有必要讨论流 程图和结构图之间的区别和联系.

流程图

1.进一步认识程序框图,了 解工序流程图;能绘制简单 实际问题的流程图. 2.理解流程图的特征,掌握 流程图的画法,会用流程图 去掌握知识. 3.学会条理性思维,体会用 流程图清晰表达解决问题的 优越性.

结构图

1.了解结构图,能运用结构 图梳理已学过的知识、整理 收集到的资料信息. 2.体会结构图在揭示事物之 间联系中的作用. 3.掌握结构图的画法,会用 结构图去掌握知识,并从中 体验用结构图的优越性. 4.学会条理性思维,养成用 流程图、结构图清晰表达和 交流思想的习惯,提高抽象 概括能力和逻辑思维能力.

选修 2—1
本模块包含常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 空间中的向量 (简称空间向量)

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与立体几何. 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质. 学生将在义务教 育阶段学习的基础上, 学习常用逻辑用语, 体会逻辑用语在表述和论证中的作用, 利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流. 在圆锥曲线与方程中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方 程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应 关系,进一步体会数形结合的思想. 用空间向量处理立体几何问题, 为解决三维空间中图形的位置关系与度量问 题提供了一个十分有效的工具.学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及 其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向 量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力. 常用逻辑用语
内容 标准 学习要求 1. 了解命题的概念, 会判断一些简单命题 的真假. 2 . 了 解 命 题 的 逆命 题、否命题、逆否命 题的有关概念,会写 出易于改写成“若 p, 则 q” 形式的命题的逆 命题、否命题、逆否 命题. 3.会分析四种命题的 相互关系. 教学建议 1.通过生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式 的客观存在, 使学生进一步认识到研究四种命题的必 要性,体会逻辑用语在表述和论证中的作用. 2.通过适量的实例阐述命题的概念,所举的实例应 能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论. 3.对“命题的逆命题、否命题、与逆否命题”只要求 作一般性的了解, 应以学生熟悉的、 与数学有关的命 题为重点载体进行训练,引导学生写出它的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断它们的真假,而不应进行 形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成 “若 p, 则 q” 形式的命题的四种命题, 对于不是 “若 p,则 q”形式的命题,没有必要讨论它的四种命题. 4.通过实例的分析, 总结出四种命题之间的基本关系 图, 帮助学生弄清原命题与逆否命题、 逆命题与否命 题是同真假的,让学生体验规律的探索、发现过程.

命题及 其关系

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内容 标准

学习要求 1.理解必要条件、充 分条件与充要条件的 意义. 2.会结合具体命题, 分析四种命题的相互 关系;会利用互为逆 否命题的两个命题之 间的等价关系来判断 命题的真假及证明简 单的数学问题. 3.通过“充要条件” 的学习进一步提高辨 证思维的能力.

教学建议 1.在“若?则?”形式的命题为真命题的基础上引 入充分条件、 必要条件的概念; 以学生熟知的具体实 例为载体, 分析条件之间的关系, 逐步加深对必要条 件、充分条件与充要条件的意义的理解.教学时,可 以运用 Venn 图来直观描述充分条件、必要条件的关 系,帮助学生对概念的理解. 2.对充分条件、必要条件与充要条件知识,只要求 掌握 “若 p 则 q”形式的命题.这里的 p 与 q 都是 不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的,不要随意拔 高要求. 3.应通过实例让学生明白寻求充分条件、必要条件 和充要条件来解决问题是一种常用的方法, 理解充分 条件、 必要条件和充要条件在解决和思考数学问题中 的作用. 4.通过实例的教学, 引导学生学会利用 “互为逆否命 题的两个命题之间的等价关系” 来判断具体命题的真 假并证明简单的数学问题. 1.在教学中可以用逻辑联结词“且”与“或”连结 一些条件,形成新的条件,构造新命题.但对简单命 题,复合命题的概念不要涉及. 2.教学中应引导学生利用逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非” 构造新命题, 通过分析所构造的新命题的真假, 理解“或” 、 “且” 、 “非”的含义.可以适当联系集合 与不等式的相关知识进行讲授, 让学生在探究新旧知 识关系的同时,提升对数学知识理解. 3.任何一个命题都有否定形式,但命题的否定与否 命题是不同的. 1.应结合具体的命题来理解全称量词与存在量词的 意义.对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求 它们形式化的定义. 要注意全称量词与存在量词在日 常生活和数学中的表达形式. 2.对于一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的 属性也不同: 冠以全称量词得到的是全称命题; 冠以 存在量词得到的是特称命题. 教学中应引导学生正确 区分这两种命题. 对于含有两个量词的命题, 不要求 学生掌握. 3.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词 在数学与生活中的作用, 自觉提高利用全称量词与存 在量词准确、简洁地表述数学内容的能力. 1.利用日常用语和学生熟悉的数学命题介绍对含有 一个量词的命题进行否定的意义, 进一步展现全称量 词和存在量词在描述问题中的作用.

充分条 件与必 要条件

简单的 逻辑联 结词

1.通过数学实例,了 解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义. 2.能正确利用“或” 、 “且” 、 “非”表述相 关的数学命题. 3.能准确区分命题的 否定与否命题.

全称量 词与存 在量词

1.理解全称量词与存 在量词的意义。 2.能正确利用全称量 词与存在量词叙述数 学问题. 3.体会量词在数学与 生活中的作用。

含有一 个量词 的命题

1.通过生活和数学中 的实例,理解含有一 个量词的命题的否定

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内容 标准 的否定

学习要求 的意义. 2.能正确地对含有一 个量词的命题进行否 定.

教学建议 2.教学过程中,要在实践的基础上,教会学生形式 化地把握这种否定的特征, 加强学生对含有一个量词 的命题的否定的理解. 3.对于命题的否定,只要求学生能够对含有一个量 词的命题进行否定.

圆锥曲线与方程
内容 标准 学习要求 1. 经历从具体情景中抽 象出椭圆的过程,掌握 椭圆的定义. 2. 会推导椭圆的标准方 程并能够利用给定条件 求椭圆的标准方程. 3. 会利用椭圆的标准方 程及几何图形研究椭圆 的简单几何性质,能掌 握椭圆的简单几何性质 (范围、 对称性、 顶点、 离心率) . 4.经历由轨迹特征抽象 成数量关系、形成方程 的探究过程,在实施数 形转化解决问题的过程 中,培养自身的抽象概 括能力和逻辑思维能 力,养成善于独立思考 的良好品质. 教学建议 1. 通过生活实例或利用多媒体演示卫星的运行轨 迹、平面截圆锥得到圆锥曲线,让学生经历从具体 情境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究 揭示椭圆的几何特征,理解并掌握椭圆的定义. 2.推导椭圆标准方程的过程,也是求曲线方程的过 程.要引导学生模仿求直线与圆的方程时所采用的 解题步骤,推导椭圆标准方程.在推导过程中,方程 为两个根式的和等于一个非零常数,要注意说明这 类方程化简的必要性和方法,培养学生的运算求解 能力,体会数学美在解决问题中的价值功能. 3.对于给定某些条件的椭圆,可引导学生利用待 定系数法根据条件求出 a、b 的值,确定相应的标 准方程. 4.通过对实例的教学,使学生学会从椭圆的光学 性质、各行星的运行轨道等具体情景,抽象出椭圆 的几何性质,感受圆锥曲线在揭示客观世界的规律 和解决问题中的作用. 5. 利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以 下两点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变 量的几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的 讨论,领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线 性质的.由于是第一次系统地用代数的方法研究曲 线的性质,所以教学进度应适当放慢. 1.让学生在学习椭圆的基础上,通过类比、直观操 作、观察模型等了解双曲线的定义. 2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,在推导 双曲线的标准方程时,应尽可能让他们自已推导. 3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质, 引导学生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究 双曲线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近 线,可以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的 特征. 4.通过对具体实例的分析,帮助学生领会运用双

椭圆

双曲线

1.了解双曲线的定义、 几何图形. 2. 会推导双曲线的标准 方程. 3. 知道双曲线的简单的 几何性质(范围、对称 性、顶点、离心率、渐 近线) .

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内容 标准

学习要求

教学建议 曲线的知识解决实际问题的实质.

抛物线

1.掌握抛物线的定义、 几何图形. 2. 会推导抛物线的标准 方程,能够利用给定条 件求抛物线的标准方 程. 3.利用抛物线的标准方 程及几何图形研究抛物 线的简单几何性质,掌 握抛物线的简单几何性 质.

1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照 灯的镜面) ,使学生了解抛物线的背景与应用,引 导学生掌握抛物线的定义;借助计算机,向学生展 示用平面截圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对 抛物线定义的理解,掌握抛物线的定义. 2. 让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过 程,掌握求抛物线标准方程的方法;对于在已知条 件下求抛物线的方程,要引导学生考虑到抛物线标 准方程的四种形式,培养其思维的严谨性. 3.通过对具体的实例的教学,引导学生学会利用定 义解题,加深对抛物线定义的理解. 4.通过对具体的生活实例的教学,使学生感受到抛 物线在解决实际问题中的作用. 1. 通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线 的交点坐标就是曲线方程的公共实数解,可以通过 求解曲线方程组得到两曲线的交点. 2.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知 识研究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的 简单问题. 3.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨 迹,卫星的运行轨迹等) ,引导学生利用坐标法解 决生活中实际问题,培养学生抽象概括能力和推理 论证能力,形成善于独立思考的良好品质. 1. 曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主,注 重使学生体会曲线与方程的对应关系,通过实例教 学让学生感受数形结合思想. 2.通过具体的实例,引导学生掌握坐标法的基本思 想,归纳总结求曲线方程的基本步骤,体会坐标法 在研究几何图形中的作用. 3.通过实例教学,引导学生探索并总结出求曲线方 程的常用方法. 4.对曲线与方程的学习,应关注到学生自身的发 展与需要,让不同层次的学生有不同的收获.对于 感兴趣的学生,教师可以引导学生了解圆锥曲线的 统一方程. 有条件的学校应充分发挥现代教育技 术的作用,通过一些软件向学生演示方程中参数的 变化对方程所表示的曲线的影响,使学生进一步理 解曲线与方程的关系.

圆锥曲 线的 简单应 用

1. 掌握直线与圆锥曲线 的位置关系. 2. 能解决圆锥曲线在实 际中的一些简单应用, 进一步提升 “应用数学” 的意识,提高解决问题 的能力. 3.由曲线(形)到方程 (数) , 又由方程研究曲 线,感受数形结合思想 的应用. 1. 理解曲线的方程与方 程的曲线的意义. 2. 结合已学过的曲线及 其方程的实例,了解曲 线与方程的对应关系. 3.掌握坐标法,会求曲 线方程. 4. 通过曲线与方程的关 系的探究,进一步体会 数形结合的思想.

曲线与 方程

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空间向量与立体几何
内容 标准 学习要求 1. 了解空间向量的概 念,了解空间向量的 基本定理及其意义. 2. 掌握空间向量的正 交分解及其坐标表 示;掌握空间向量的 线性运算及其坐标表 示. 3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂 直. 4.经历向量由平面向 空间推广的过程,体 会类比与归纳的数学 思想方法,体验数学 在结构上的和谐性. 教学建议 1.通过对平面向量的回顾,经历向量及其运算由平面 向空间推广的过程, 体验维数增加所带来的影响, 将 平面向量的有关性质、运算与关系推广到空间向量. 2.通过类比平面向量的正交分解及其坐标表示,引导 学生掌握空间向量的正交分解及其坐标表示, 并认识 到除了由于维数增加所带来的影响外, 它们的坐标运 算法则是完全相同的. 3.教学中应特别关注将空间向量的运算与向量的坐 标表示结合起来, 通过向量运算及推理, 研究几何元 素的位置关系. 4.引导学生正确理解 “向量方法” 与 “坐标方法” . 对 这两个方法的教学, 关键是让学生感悟到: 它们的共 同点是用基底来表达问题中的有关向量, 再用向量的 运算来解决问题; 不同之处在于前者是化归为图形中 已有的向量, 后者则选择一组正交的单位基底, 将向 量运算更彻底地转化为坐标运算. 教学中要引导学生 根据问题的具体情况,选择适当的方式. 5.应引导学生认识到向量不仅仅是一个计算的工具, 它还是连接代数与几何的桥梁, 是数形结合思想的一 个具体体现:一方面,向量的运算可以解决几何中的 问题;另一方面,对于代数问题,可以通过向量给予 几何的解释. 1.对于直线的方向向量与平面的法向量,应引导学 生从空间图形基本要素的向量化来理解. 首先, 方向 是直线和平面的一个重要要素, 它可以用来确定和度 量图形中的角; 其次, 法向量很好地反映了直线与平 面的位置关系. 2.在教学中应帮助学生理解几何问题中蕴含的几何 要素 (如二面角问题中蕴含的几何要素就是这两个平 面的法向量) ,会用向量来表示这些几何要素,进而 用向量的运算性质处理几何问题. 3.通过具体实例的教学,帮助学生归纳并掌握向量 方法——解决立体几何问题的一般方法.在学习立体 几何初步的基础上, 通过空间向量这个载体, 将立体 几何中的演绎、 证明转化为计算, 进一步体会向量方 法在研究几何问题中的作用. 4.通过适量的训练,引导学生归纳出立体几何问题 的主要题型: ①空间位置关系 (平行和垂直位置关系) 的论证;②空间量的计算,如求空间角及距离. 5.通过具体实例的教学,帮助学生掌握用向量方法 解决立体几何问题的基本步骤: ①把几何问题转化为

空间向 量及其 运算

空间向 量的应 用

1. 理解直线的方向向 量与平面的法向量. 2. 能用向量语言表述 直线与直线、直线与 平面、平面与平面的 垂直和平行关系. 3. 能用向量方法证明 有关直线和平面位置 关系的一些重要定理 (包括三垂线定理) 。 4. 能用向量方法解决 直线与直线、直线与 平面、平面与平面的 夹角的计算问题,体 会向量方法在研究几 何问题中的作用. 5. 能灵活选择向量方 法与综合法,从不同 角度解决立体几何问 题. 6.运用空间向量解决 有关直线、平面位置

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内容 标准

学习要求 关系的问题,体会向 量方法在研究几何图 形中的作用,发展空 间想象能力和几何直 观能力.

教学建议 向量问题, ②进行向量运算, ③由向量运算解释几何 问题;从中体会“向量方法”与“坐标方法”在解决 立体几何题中的作用, 提高空间想象能力及推理论证 能力.

选修 2-2
本模块包含导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入. 微积分的创立是数学发展中的里程碑,导数概念是微积分的核心概念之一, 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.学生将通过大量实例,经历由平均变化 率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单 调性、极值等性质中的作用;初步了解定积分的概念,体会导数的思想及其丰富 内涵,感受导数在解决实际问题中的作用;了解微积分的文化价值,为以后进一 步学习微积分打下基础. “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的 思维方式.学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及 二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法;感受 逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,复数的引入是中学阶段数系 的又一次扩充.学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要 性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

导数及其应用
内容 标准 学习要求 1.了解平均变化率与 瞬时变化率的概念; 了 解导数概念的实际背 景,了解导数概念,体 会导数的思想及其内 涵. 2.理解导数的几何意 义, 体验建立数学模型 刻画客观世界的 “数学 教学建议 1.教学中应重视产生导数概念的实际背景,通过具体 应用实例(如平均速度、膨胀率、效率、增长率等) , 抽象出平均变化率的概念. 2.借助图形直观,通过割线斜率向切线斜率逼近过程 的研究, 通过物体运动的平均速度向瞬时速度的过渡, 抽象出瞬时变化率的概念,了解导数的几何意义和物 理背景,让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过 程,进而领会运动、变化的数学思想,体会导数的内 涵,感受“导数是对事物瞬时变化率的描述” .

导数 概念 及其 几何 意义

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内容 标准

学习要求 化”过程. 3.通过导数概念的学 习, 体会数形结合的思 想方法,领会“量变到 质变”的哲学原理.

教学建议 3.利用教具或多媒体动画演示,加深对导数概念及其 几何意义的理解和掌握. 4.要注重极限思想的运用以及导数概念产生的背景, 用形象直观的“逼近”方法定义导数.对导数的概念, 仅要求从感性认识的角度了解,其形式化的表述要避 开,对极限的定义不宜补充,应让学生有更充裕的时 间学习导数的思想方法,体会及其在现实生活中的应 用. 1. 在教学过程中应引导学生经历用定义法求函数 y=c、 y=x、y=x2、y=x3、y= 1 、 y ? x

1.能根据导数定义求 函数 y=c、y=x、y=x2、 基 初 函 的 数 式 本 等 数 导 公 y=x3、 y= 1 、y ? x

x 的导数的过程,领会

x 的 定义法求简单函数的导数的方法,了解导数概念,领
会无限逼近(极限)的思想方法. 2.在用定义法求函数 y ? x 的导数的过程中帮助学 生领会利用有理化解决问题的方法. 3.引导学生合理选用导数公式求简单函数的导数. 4.在讲解导数的几何意义时,要注意强调“曲线在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的切线”的区别:光滑 曲线在其上一点处的切线只有一条,而过其上一点的 切线可以不止一条,曲线的切线与曲线可以有不止一 个公共点. 1. 通过具体函数的导数计算, 引导学生从中归纳出导 数的四则运算法则. 2. 引导学生根据导数公式表和导数的运算法则, 求简 单函数的导数(导数的运算法则要求记忆和应用,但 不要求推导) ,通过适度的练习,促进学生基本运算技 能的形成. 3.教学中可先介绍复合函数的概念,然后通过具体函 数的求导数计算,引出复合函数的求导法则,帮助学 生学会求简单的复合函数(仅限于求形如 f(ax+b))的 导数. 1.结合具体函数的图象,引导学生分析函数的单调性 和导数符号的关系,帮助他们归纳利用导数符号判断 函数单调性的方法和步骤. 2.应用导数法求函数的单调区间(多项式函数的次数 不超过三次) .

导数. 2.能利用基本初等函 数的导数公式求简单 函数的导数. 3.会用导数公式求瞬 时变化率, 进而强化导 数概念以及对导数几 何意义的理解.

导 的 则 算 则

数 四 运 法

1.能根据导数的四则 运算法则, 求简单函数 的导数. 2.会求简单的复合函 数(仅限于求形如 f(ax+b))的导数,提高 计算能力.

函数 的单 调性

1.了解函数单调性和 导数的关系. 2.能利用导数研究函 数的单调性, 会求函数 的单调区间 (其中多项 式函数的次数不超过 三次) .

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内容 标准

学习要求 1.了解函数极大(小) 值和最大(小)值的概 念. 2.了解函数在某点取 得极大(小)值的充分 条件和必要条件. 3.会利用导数求函数 的极大(小)值(其中 多项式函数的次数不 超过三次) . 4.会利用导数求函数 在给定闭区间上的最 大(小)值(其中多项 式函数的次数不超过 三次) . 5.通过对函数极(最) 值的研究, 体会局部与 整体的关系, 6.通过对比初等方法 在研究函数性质过程 中的作用, 体会运用导 数方法在研究函数性 质中的一般性和有效 性. 1.会从实际问题中归 纳出数学模型, 并利用 导数知识加以解决. 2.通过生活中优化问 题的解决, 培养数学应 用意识, 提高应用数学 的能力.

教学建议

函数 的极 值与 最值

1.通过具体函数图象,引导学生了解函数极大(小) 值、最大(小)值的概念,在对比中领会它们的区别, 使学生知道前者是一个局部的概念,后者是一个全局 的概念. 2.应结合具体函数,通过应用导数方法求函数的极 大(小)值及最大(小)值(其中多项式函数的次数 不超过三次) ,归纳出求函数极(最)值的解题方法和步 骤. 3.求具体函数在给定区间的极(最)值时,要求学 生了解函数在某点是否取得极大 (小) 值以及最大 (小) 值的判定方法.了解导函数的零点(驻点)与极值点 之间的关系(此结论仅要求结合图象直观了解,不要 求严格证明) . 4.在利用导数方法研究函数性质的教学中,应引导学 生通过对比初等方法研究函数性质,从中体会运用导 数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 5.在具体的教学过程中,注意先易后难、先简单后综 合,着重在于帮助学生掌握一般计算方法和原则,领 会导数方法是研究函数性质的另一个重要方法.

生活 中的 优化 问题 举例

1.在“利润最大、用料最省、效率最高”等最优化问 题的解决过程中,应注意引导学生关注如何从实际问 题中选择适当的自变量,确定目标函数,进而从实际 问题中提炼出具体的数学问题,并用导数方法加以解 决,从中了解实际问题数学化的一般步骤. 2.通过对生活中具体实例的教学,体会导数在解决实 际问题中的作用,培养应用意识. 1.通过实例(如求曲边梯形面积、变力做功等)的教

定积 分的 概念

1.了解定积分的实际 背景; 体会定积分的基 本思想. 2.初步了解定积分概 念. 3.了解“无限逼近” 思想.

学,直观地了解定积分的实际背景. 2.通过对曲边梯形面积和变力做功的教学,在实际问 题的“数学化”过程中,进一步体会建立数学模型是 刻画客观世界中数学结构的重要方法和手段,加深对 变量数学思想方法的理解,从中了解定积分概念. 3.结合具体实例,在对区间 n 等分的情况下,通过 n 取某些具体的数值进行梯形面积的求和计算, 了解 “化 曲为直” 、无限逼近的思想方法,结合误差计算与误差

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内容 标准

学习要求

教学建议 估计(仅要求从几何直观或利用计算机等工具进行近 似计算,不要求公式求和意义上的严格证明) ,初步认 识定积分的基本思想.

微积 分基 本定 理

1.了解微积分基本定 理的产生背景. 2.直观了解微积分基 本定理的含义, 会求某 些常见简单函数的定 积分. 3.了解数学与生活、 数学与物理等的联系, 体会数学的应用价值.

1.通过适量的实例,了解微积分基本定理,并能利用 牛顿—莱布尼兹公式, 求一些常见简单函数的定积分. 2.通过实例教学,引导学生对比、发现导数方法与积 分方法的联系,理解并掌握导数公式表和积分基本定 理的应用,通过具体的曲边梯形面积的计算,初步掌 握定积分的应用,体会数学的应用价值.

推理与证明
内容 标准 学习要求 1.了解合情推理的含义. 2.了解归纳推理的一般步 骤, 能利用归纳进行简单的 推理,做出数学猜想. 3.了解类比推理的思维过 程, 能利用类比等进行简单 的推理. 4.结合典型案例,体会并 认识合情推理在数学发现 中的作用, 激发探究意识和 创新精神. 教学建议 1.结合具体实例的推理过程的分析,引导 学生了解合情推理的描述性定义,体会归 纳、类比的思维方法.通过对比教学,使学 生理解类比推理和归纳推理的联系和差异. 2.结合已学过的数学或生活中的实例,通 过归纳、类比等方法完成简单的推理. 3.以对数学发现过程的典型案例分析为载 体, 帮助学生体会并认识合情推理具有猜测 和发现新结论以及探索和提供解决问题的 思路和方法的作用. 4.应结合教材提供的具体实例组织教学, 补充的实例也应是 “已经学过的数学实例和 生活中的实例” ,不宜拔高要求. 1.通过科学理论中的一些实例的讲解,使 学生体会演绎推理具有证明结论、 整理和构 建知识体系的作用, 是公理体系中的基本推 理方法,广泛应用于自然科学、社会科学领 域. 2.结合已学过的数学或生活中的实例,让 学生认识到“三段论”是演绎推理的一般模 式,学会运用“三段论”证明数学问题. 3.教学中应通过实例,引导学生运用合情 推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎 推理证明所得结论的正确性, 或者用反例推 翻错误的猜想. 教学的重点在于通过具体实 例理解合情推理与演绎推理, 让学生在获得 数学结论时经历合情推理到演绎推理的过 程. 4.应结合教材提供的具体实例组织教学,

合情推理

演绎推理

1.了解演绎推理的概念, 体会演绎推理的重要性. 2.掌握演绎推理的基本模 式, 并能运用它们进行一些 简单推理. 3.能够运用“三段论”的 思维模式解决问题. 4.了解合情推理和演绎推 理之间的联系和差异, 通过 具体实例的学习, 提高演绎 推理能力.

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内容 标准

学习要求

教学建议 补充的实例也应是 “已经学过的数学实例和 生活中的实例” ,不宜拓宽、加深,拔高要 求.

直接证明

间接证明

1.了解直接证明的两种基 本方法:分析法和综合法. 2.了解分析法和综合法的 思考过程、特点. 3.能根据题目灵活选择适 当的证明方法解决简单的 证明问题, 感受直接证明在 数学以及日常生活中的作 用,养成言之有理、论证有 据的习惯. 1.了解间接证明的一种基 本方法:反证法. 2. 了解反证法的思考过程、 特点. 3.能根据题目灵活选择适 当的证明方法解决简单的 证明问题, 并提高逆向思维 能力, 感受间接证明在数学 以及日常生活中的作用, 养 成言之有理、 论证有据的习 惯.

1.分析法和综合法是学生已学过的基本证 明方法, 教学中对证明的技巧不宜作过高的 要求,应重在通过实例的剖析,引导学生体 会分析法和综合法的思考过程和证明特点. 2.通过经历解决有关问题的过程,培养学 生分析问题、解决问题的能力.培养学生推 理论证能力和抽象概括能力.

1.通过案例剖析指明反证法的适用情形和 使用的逻辑规则, 明确反证法的思考过程和 特点. 2.学生在使用反证法证明问题上存在逻辑 上的困难,教学中应突出过程分析和方法、 步骤的归纳. 对补充例题的选择应适合学生 的数学实际水平,不宜太难.

数学归纳法

1.了解归纳法与数学归纳 法的原理. 2.能用不完全归纳法进行 归纳分析. 3.了解数学归纳法的使用 范围, 能用数学归纳法证明 一些简单的数学命题. 4.理解“归纳——猜想— —证明” 这一探索发现的思 维方法, 认识有限与无限的 辩证关系, 形成严谨务实的 科学态度和理性精神.

1.通过具体例子的教学,掌握不完全归纳 法的解题思想及数学归纳法原理, 引导学生 掌握应用数学归纳法证明命题的一般方法 与步骤, 进而解决一些简单的数学命题的证 明. 2.数学归纳法是重要的数学思想方法, 是证 明关于自然数的有关命题的重要方法. 教师 应通过对一些简单问题的分析, 帮助学生掌 握这种思想方法, 懂得数学归纳法有两个构 成步骤,第一个步骤是奠基,是命题递推的 基础,不可省略;第二个步骤是命题推理的 根据,是数学归纳法的核心. 3.在利用数学归纳法解决问题时, 常常需要 进行一些代数恒等变换, 不要选择那些代数 恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或 习题,以免冲淡了对数学归纳法思想的理 解. 4.体会并认识归纳推理在数学发现中的作 用, 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的 作用,养成言之有理、论证有据的习惯. 通过对“欧几里得《几何原本》 ”等实例的

数学文化

了解公理化思想, 感受数学

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内容 标准

学习要求 文化的价值.

教学建议 介绍,引导学生体会公理化思想,通过介绍 计算机在自动推理领域和数学证明中的作 用, 让学生了解数学科学与人类社会发展之 间的相互作用,体会数学的科学价值、应用 价值、人文价值.

数系扩充与复数的引入

内容 标准

学习要求 1.了解数系的扩充过程, 知道引入复数的必要性. 2.体会实际需求与数学内 部的矛盾在数系扩充过程 中的作用, 认识人在事物发 展变化中所应体现的价值 和作用.

教学建议

数系 的扩 充

复数 的概 念及 复数 相等 的充 要条 件

复数 的表 示法 及几 何意 义

复数 的运

1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会到数集 的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身的 需要. 2.介绍数的概念发展过程,使学生对数的发展历 史以及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整 的认识, 从而激发学生积极主动地建构新的数系. 3.通过虚数单位的引入,产生复数集.在这个过 程中蕴含了创新精神和实践能力,对培养学生的 情感、养成科学的态度、形成正确的价值观有积 极意义,教学中应注意体现. 1.理解复数的基本概念, 1.复数的概念是教学的难点和关键.教学时可与 能利用复数的有关概念对 前几次数系的扩充进行类比,让学生了解在数系 复数进行分类. 扩充中,加法、乘法的交换律、结合律及乘法对 2.理解复数相等的充要条 加法的分配律成立. 件, 会用复数相等条件解决 2. 理解复数的基本概念并运用它去解题也是本节 有关问题. 的重要学习内容,教学中可多举些例子帮助学生 3.体会分类讨论、等价转 加深理解复数的概念. 化等数学思想和方法, 初步 3. 让学生明确不全是实数的两个复数只有相等或 学会运用矛盾转化、分与 不相等关系,没有大小关系,不能比较大小.明 合、 实与虚等辩证唯物主义 确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思 观点看待和处理问题. 想方法. 1. 了解复数的代数表示法. 1.应注重向学生渗透类比、联想的思想方法,启 2.了解复数集、复平面内 发学生以复平面为载体,研究复数集、复平面内 的点的集合、 复平面内以原 点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之 点为起点的向量集合之间 间的一一对应关系, 并由此获得复数的几何表示、 的一一对应关系, 并会在复 向量表示. 平面内画出它们相应的图 2.在认识复数的代数表示法时,应充分运用数形 示位置. 结合的思想方法,强化对复数几何意义的认识, 3.了解复数的几何意义, 有利于学生体验数学的思维特色, 提高数学素养. 体会数形结合思想, 提高直 观思维能力. 1.能进行复数代数形式的 1.教学中可以通过引入复数的向量表示,以向量 四则运算. 为主线,把代数、几何联系起来,由向量加减法

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内容 标准 算

学习要求 2. 了解复数代数形式的加、 减运算的几何意义. 3.感受形与数之间的和谐 与统一, 提高实践动手操作 能力,激发创新精神.

教学建议 运算的几何意义得到复数加减法运算的几何意 义. 2.复数运算是教学重点,教学中可以类比多项式 的运算法则,研究复数的加法、减法、乘法的运 算法则.在除法运算教学中,把复数的分母“实 数化”转化为乘法运算,应重视算理,不要让学 生记忆运算公式,减轻学生记忆负担. 3.在复数代数形式的四则运算的教学中,应注意 避免繁琐的计算和技巧训练,将教学重点放在帮 助学生理解算理,体验复数问题实数化的过程与 方法、提高运算求解能力.

选修 2-3
本模块包含计数原理、统计案例、概率. 计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,它们为解决很多实际问 题提供了思想和工具.学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其 应用,了解计数与现实生活的联系,会解决简单的计数问题。 在统计案例中,学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨 论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的 基本思想,认识统计方法在决策中的作用. 在概率中,学生将在必修课程学习概率的基础上,学习某些离散型随机变量 分布列及其均值、方差等内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某 些随机现象的方法,并能用所学知识解决一些简单的实际问题,进一步体会概率 模型的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的 意识. 计数原理
内容 标准 分 加 计 原 与 步 法 数 理 类 法 数 理 分 乘 计 原 学习要求 1.掌握分类加法计数原理与 分步乘法计数原理. 2.正确理解“完成一件事” 的含义,能根据实际问题的特 征,正确区分“分类”或“分 步”. 3.能根据具体问题的特征选 择两个基本计数原理解决一 些简单的实际问题. 教学建议 1.通过学生熟悉的典型实例,让学生探索并总 结两个基本计数原理的内容. 2. 按照从简单到综合的方式, 安排适量的例题, 逐步引导学生体会两个基本计数原理的基本思 想,学会正确运用这两个原理分析、解决问题. 3.两个基本计数原理的教学可以安排在同一课 时中进行,以便进行适当的对比.同时引导学生 认识它们的异同以及为什么分类要做到“不重 不漏” ,分步要做到步骤完整.

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4.体验数学发现和创造的历 程,增强应用意识.

排列 与组 合

1.理解排列的概念,掌握排列 数计算公式,会用它解决一些 简单的实际问题. 2.理解组合的概念,掌握组合 数计算公式,会用它解决一些 简单的实际问题. 3.掌握组合数的性质,并会 用它解决相关问题. 4. 能在综合性的问题情境中 分清排列和组合问题,会解一 些基本的排列组合综合问题. 5. 提高对数学概念的理解能 力和对公式、原理的应用能 力. 1. 能用计数原理证明二项式 定理,掌握二项式定理. 2.掌握二项展开式的通项公 式. 3.理解二项式系数的含义,了 解二项式系数与二项展开式 项的系数的区别与联系.掌握 二项式系数的性质,能用它计 算和证明一些简单的问题. 4. 会用二项式定理解决与二 项展开式有关的简单问题. 5.体会数学的美学意义,感受 学习数学思想方法的重要性.

4.教学中应引导学生根据计数原理分析、处理 问题,而不应机械地套用公式. 5.在这部分教学中,应避免选择繁琐的、技巧 性过高的计数问题作为例题、习题. 1.通过具体实例,引出排列的概念,并将排列 问题化归为直接应用分步计数原理的问题,推 导排列数公式,由此强调特殊到一般的模型化 过程. 2.以“类比”的形式引出组合概念,在实例分 析中应充分利用树形图或框图进行直观形象的 讲解;在排列组合综合应用中,应注意启发学 生认识:到区分组合问题与排列问题的关键是 “是否有序”. 3.在解排列组合的综合题时,应着重帮助学生 分清哪些是排列问题,哪些是组合问题,并选 择恰当的方法加以解决.

1.教学时可从 (a ? b) 的展开式入手, 直接引导
2

学生用两个计数原理分析 (a ? b) 的展开式的 项的特征,再用问题串的形式,由特殊到一般 地展开教学,帮助他们认识到二项展开式与两
2

二项 式定 理

个计数原理之间的内在联系, 猜想 (a ? b) n 的展 开式,逐步发现二项式定理,并给出证明. 2.通过适量的练习,强化对通项公式的特征的 认识,学会利用通项公式解决有关问题. 3.引导学生从函数角度研究问题,通过画图象, 采用数形结合的方法进行直观分析,发现二项 式系数的某些重要规律;通过计算填表的方式, 引导学生认识二项展开式中各项的二项式系数 内在的联系,发现“杨辉三角”. 4.赋值法是研究二项展开式系数的常用方法, 教学中应让学生体会到赋值法在解题中的应 用.

统计与概率
内容 标准 离散 型随 机变 量及 其分 布列 学习要求 1.理解取有限值的离散型随 机变量的概念. 2.能应用排列、组合及概率 的知识求某些简单的离散型 随机变量的分布列. 3.理解离散型随机变量分布 列的性质 4.在对具体问题的分析中, 教学建议 1. 通过学生熟悉的实例设置情境引入随机变量, 了解如何从定量的角度研究随机现象, 展示随机 现象的刻画过程,从而发展学生的数学思维. 2.通过实例比较,从中体会“离散型随机变量” 与“随机变量”的区别. 3.从实例中发现并阐述离散型随机变量分布列 的两个性质.

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认识分布列对于刻画随机现 象的重要性. 1.理解超几何分布及其导出 过程. 2.能对超几何分布进行简单 的应用. 3.通过实例,体会超几何分 布是应用广泛的重要分布类. 1.了解条件概率的概念,了 解条件概率的公式,并能解决 一些简单的实际问题. 2.了解两个事件相互独立的 概念,并能利用事件的独立性 计算随机事件的概率. 3.理解 n 次独立重复试验的 模型及二项分布,并能解决一 些简单的实际问题. 4.通过学习,渗透数学应用 意识和创新意识,能对现实世 界中蕴涵的一些数学模型作 出判断. 1.通过实例(如彩票抽奖等)导出超几何分布, 让学生观察其规律,并将此规律推广到一般情 况. 2.注意解释超几何分布的引入背景以及随机变 量的取值范围. 3.通过一定的练习,加深对超几何分布的理解, 体会数学模型化思想. 1.通过具体问题创设情境引入新课,用设置问 题串的形式, 引导学生通过探究体会条件概率的 含义,进而抽象概括出条件概率的定义 .例题教 学中,应讲清条件概率的计算方法. 2.先通过实例给出两个事件相互独立的直观解 释,再通过条件概率的实例分析,导出两个事件 相互独立的概念. 3.根据由特殊到一般的思维方式,可通过两次、 三次独立重复试验的实例, 分析归纳 n 次独立重 复试验的模型,进而得出二项分布的概念,导出 服从二项分布的随机变量的概率计算公式. 4.通过实例比较二项分布与超几何分布的异同 点,分清两种分布的本质特征.

超几 何分 布

二项 分布

离 型 机 量 均 与 差

散 随 变 的 值 方

1.通过实际问题引导学生理解取有限值的离散 型随机变量均值概念, 注意比较随机变量的均值 与样本平均数的联系与区别 .在例题教学中,应 注意分析每道例题的实际背景与含义. 2.通过实例探究,引导学生思考在两个随机变 量均值相同的条件下,如何刻画它们的差异 .引 1.理解取有限值的离散型随 导学生通过类比样本方差的概念, 引入取有限值 机变量的均值、方差的概念. 的离散型随机变量方差的概念. 2.会根据离散型随机变量的 3.教学中可以补充随机变量均值的线性性质: 分布列,求出均值、方差,并 ① E (aX ? b) ? aEX ? b ; 能解决一些实际问题. ②若 X 服从两点分布,则 EX ? p ; ③若 X ~ B(n, p) ,则 EX ? np . 4.教学中可以补充随机变量方差的性质: ① D(aX ? b) ? a 2 DX ; ②若 X 服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p) ; ③若 X ~ B(n, p) ,则 DX ? np(1 ? p) . 1.认识正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义. 2.了解正态分布的主要性质. 3.在解决实际问题的过程中, 体会数形结合思想的作用. 1.通过实例或用计算机模拟试验,引导学生认 识正态分布,了解正态曲线的特点. 2.在教学中可应用数学软件了解正态分布曲线

正态 分布

随着 和 ? 的改变而变化的规律,可以补充介 绍正态密度函数中的参数 ? 和 ? 的含义, 了解标 准正态总体在指定区间内取值的概率. 3.利用指数函数的性质帮助学生初步了解正态

?

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分布密度函数的性质.

独立 性检 验

1.通过对“肺癌与吸烟有关吗”等实例的分析, 总结得出独立性检验的思想, 引导学生体会独立 性检验的基本思路, 会用类比的思想方法得出独 重点是了解独立性检验的 1.了解分类变量,会列两个 立性检验的基本步骤. 独立分类变量(只要求 2×2) 思想方法,对其理论基础不做要求. 2.选择实际的、学生感兴趣的、能反映统计方 的列联表. 组织学生就如何解决案例中的问 2.根据列联表,会用三维柱 法的典型案例, 形图或二维条形图判断两个 题展开讨论,以激发学生的学习兴趣.并在对列 分类变量的相关性. 联表数据处理的过程中, 培养学生数据处理的能 2 3.会根据列联表数据计算 c 力. 的观测值,并能根据观测值判 3.独立性检验的基本思想对学生来说是比较陌 断两个分类变量相关性. 生的,教师不宜采取直接介绍的方法,应通过让 4.了解独立性检验的基本思 学生模仿应用的教学方式, 学生自己设计解决问 想,能用独立性检验的基本思 题的方案, 并通过交流和引导使学生认识到所学 想、方法解决一些实际问题. 方法的基本思想. 4.通过对独立性检验的基本思想、方法的学习, 让学生对统计思维和确定思维的差异有一定的 理解. 1.通过具体的实例,使学生认识到试验和抽样 是检验的重要手段.在案例教学中,应鼓励学生 1.了解实际推断原理的基本 运用试验、理论分析的方法,借助生活经验,初 思想. 步体会实际推断原理的基本思想. 2.了解假设检验的基本思想, 2.列举生活中的事例,使学生体会“小概率” 能用假设检验的基本思想、方 是相对的,需要根据实际情况确定,并认识到统 法解决一些实际问题. 计推断是可能犯错误的. 3.通过案例学习,提高统计 3.由于假设检验思想理解起来比较困难,教学 推断能力,感受统计在现实生 中要尽可能多举些案例(如“质量控制” 、 “新药 活中的应用,体会假设检验的 是否有效”等) ,将假设检验的原理与反证法的 思维方法. 原理进行类比, 让学生在案例的学习中体会假设 检验的思想方法. 对假设检验的理论基础不作要 求. 1.能根据给出的数据画出散 点图,并能根据散点图判断变 量之间的相关关系. 2.根据散点图的分布情况, 会确定回归模型的类型,会求 回归方程. 3.了解使用不同模型回归分 析的拟合效果. 4.能用回归的基本思想、方 法解决一些实际问题. 1.以“人的体重与身高的关系”等典型案例为 教学载体,通过案例的探究,归纳回归分析的基 本思想、方法,避免抽象介绍回归分析的思想、 方法. 2.让学生积极主动地参与案例探究,根据散点 图的分布情况,确定回归模型的类型,探求对相 关程度进行检验的统计量(相关系数) ,从而建 立回归分析的基本算法步骤 (对相关系数可以估 计相关程度的原因只要求从直观上加以感受, 不 必介绍理论依据) .

实 推 原 和 设 验

际 断 理 假 检

回归 分析

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3.让学生经历数据处理过程,增强学生对数据 的直观感觉, 从而了解回归分析的基本思想及其 对决策的作用,对于理论基础不作要求.应避免 学生单纯记忆和机械套用公式, 鼓励学生使用现 代技术手段来处理数据.

选修 4-1

几何证明选讲

本专题从相似图形的性质入手,证明一些反映圆与直线关系的重要定理,并 通过对圆锥曲线性质的进一步探索,提高学生空间想象能力、几何直观能力和运 用综合几何方法解决问题的能力. 在几何证明的过程中,不仅是逻辑演绎的程序,它还包含着大量的观察、探 索、发现的创造性过程.有助于培养学生的逻辑推理能力. 本专题的教学中,要注重知识的系统性与逻辑性.在知识的教学中要渗透数 学思想方法,包括特殊化思想、转化与化归思想、分类与整合思想、运动变化思 想,以及观察、实验、猜想等方法,也涉及直接法、反证法、同一法等逻辑推理 的方法.本专题还要突出知识的探究与发现,使学生在经历知识的产生过程中去 认识对象和建构知识.
内容标准 学习要求 1. 了解平行线等分线 段定理. 2. 了解平行线分线段 成比例定理. 3. 理解相似三角形的 定义和性质. 4. 会证明两个三角形 相似. 教学建议 1.在平行线等分线段定理的教学中,可通过较多 的实例,采用“操作确认”的方法,让学生观察、 测量后发现结论. 2.在引导学生体验相似三角形判定及性质的探究 过程中,让学生充分感受和体会蕴涵在知识与探究 过程中的数学思想(包括特殊与一般思想等) ,感 知合情推理在数学发现中的作用. 3.通过本节课教学,使学生体会数学证明的必要 性和重要性. 4.本节课涉及的定理多,教学中要向学生展示解 决问题的思维过程,让学生体验“研究问题”的过 程,领悟其中的思维方式.

相似三角 形的判定 及性质

直角三角 形的射影 定理

1.可从学生的生活经验出发,让学生借助直观, 会证明并应用直角三 感知射影的概念,但要注意多给出几种图形变式, 角形的射影定理. 消除学生把正射影理解为只是由一点向水平面引垂 直的特殊情形. 2 .教学的重点在于引导学生思考在给定的图形 中,“可以研究哪些问题”和“如何研究这些问题” 上.对于教材中引入部分提出的探究问题,要对如何

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探索“线段的关系”进行引导,使学生明确探索的 方向,然后让学生自行探索,避免由于问题的过度 开放性导致学生探究的盲目性. 圆周角定 理和圆心 角定理 会证明并应用圆周角 定理和圆心角定理. 会证明并应用圆内接 四边形的性质与判定 定理. 在圆周角定理的证明中,要引导学生分析推理思 路,体会分类与整合思想的运用. 1.圆内接四边形的性质可以采用从特殊到一般的 方法,先引导学生观察圆内接四边形是正方形或矩 形的情形,再测量一般情形的圆内接四边形,然后 猜想“圆内接四边形的对角互补” ,再通过严格的 推理论证得到两个性质定理. 2.圆内接四边形判定定理证明的教学中,要突出 分类与整合思想和反证法的运用. 1.可以先复习直线与圆的三种位置关系,以及过 一个定点(点在圆上、点在圆外)作圆的切线的方 法. 2.弦切角定理的引入,可借助于几何画板等现代 信息技术手段引导学生由“圆内接四边形的外角等 于它的内角的对角”去猜想“弦切角等于它所夹的 弧所对的圆周角”. 3.弦切角定理的证明的教学过程中,要突出分类 与整合思想、特殊与一般思想以及化归与转化思 想.

圆内接四 边形的性 质与判定 定理

会证明并应用圆的切 线的性质(包括弦切 角定理) 及判定定理. 圆的切线 的性质及 判定定理

与圆有关 的比例线 段

会证明并应用相交弦 定理、割线定理、切 割线定理、切线长定 理.

平面与圆 柱面的截 线

平面与圆 锥柱面的 截线

1.可借助几何画板等现代信息技术手段引导学生 通过观察图形变化,从而发现有关定理. 2.教学中要揭示有关定理的内在联系,引导学生 注重数学知识的系统性与逻辑性. 3.教学中要突出运动变化思想,引导学生在运动 变化中找“不变性”或“不变量”,感知运动变化 的奇妙,欣赏数学内在的美. 1. 了解平行投影的含 1.教学中可借助于圆柱与平面的位置关系,让学 生体会平行投影. 义. 2. 会证平面与圆柱面 2.教学中要突出由平面图形向立体图形的过渡, 在讲完立体图形的性质后又应当回到平面图形,将 的截线是椭圆(特殊 两者对照,使学生理解两者的关系. 情形是圆). 3.教学中可借助信息技术,使学生充分体验探究 过程. 1.教学中可借助信息技术,动态地展现 Dandelin 1.体会下面定理: 在空间中,取直线 l 两球的方法,帮助学生利用几何直观进行思维,使 学生体会空间想象能力和几何直观能力在解决问 为轴, 直线 l′与 l 相交 题中的作用,提高学生综合运用几何知识解决问题 于 O 点, 其夹角为 α, 的能力. l′围绕 l 旋转得到以 O 2.教学中应鼓励学生独立思考,主动尝试、探索, 为顶点, l′为母线的圆 必要时要给予适当的指导,并应鼓励学生写出课题 锥面,任取平面 π, 报告,尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过 若它与轴 l 交角为 β(π 程.

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与 l 平行,记 β=0), 则: ①β>α,平面 π 与圆锥的交线为椭 圆; ②β=α,平面 π 与圆锥的交线为抛物 线; ③β<α,平面 π 与圆锥的交线为双曲 线. 2.会利用丹迪林 (Dandelin)双球证 明上述定理①的情 形.

选修 4-4
本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深 化. 坐标系是解析几何的基础.在坐标系中,可以用有序实数组确定点的位置, 进而用方程刻画几何图形.极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不 同的坐标系,对于有些几何图形,选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单. 参数方程是以参变量为中介来表示曲线的方程, 是曲线在同一坐标系下的又 一种表示形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,学习参数方 程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变. 极坐标系和参数方程是本专题的重点内容. 学生将掌握极坐标和参数方程的 基本概念, 了解曲线的多种表现形式, 体会从实际问题中抽象出数学问题的过程, 培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识 和实践能力.
内容标 准 学习要求 1 .回顾直角坐标系的 有关概念, 体会坐标系 的作用, 了解建立直角 坐标系的方法和原则. 2 .了解在平面直角坐 标系中伸缩变换作用 下平面图形的变化情 教学建议 1.通过学生熟悉的实例引导他们尝试建立坐标系,进 一步体会在用方程刻画平面图形时选择适当直角坐标 系的意义. 2. 认识建立坐标系是实现几何图形与代数形式互相转 化的基础,通过实例使学生了解建立坐标系的基本原 则,明确点和坐标之间的一一对应关系,体会对应思 想,激发学生的发散思维和创新意识.

平面直 角坐标 系

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况.

3.在学习平面直角坐标系中的伸缩变换时,可通过从 学生已有的知识入手,以平面直角坐标系中的平移变 换作铺垫,再类比归纳出伸缩变换. 4.让学生体会伸缩变换是可逆的,其逆变换也是伸缩 变换.但此内容只要求学生了解,不必提高教学要求.

简单曲 线的极 坐标方 程

1.通过模仿、类比和探索三个阶段来引导学生学习 1 .能在极坐标系中用 简单图形 (如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆) 极坐标刻画点的位置, 的极坐标方程.在引入极坐标系时,可通过学生熟悉的 体会在极坐标系和平 实例,说明引入极坐标的必要性,从中领略知识的发生 面直角坐标系中刻画 与发展过程,解决认知上的困难. 点的位置的区别. 2.在学生理解极坐标概念的基础上,体会不同坐标系 2 .会根据一些简单问 中有序数组(坐标)所体现的不同几何含义,同一几 题的几何特征, 选择适 何图形

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