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【K12小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-1习题:第三章空间向量与立体几何 3.2.2

k12 小初高学习小初高学习 第 2 课时 用向量方法解决垂直问题 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 已知 a=(sin θ,cos θ, ),b= ,且 a⊥b,则 θ 等于( ) A.- B. C.2kπ- (k∈Z) D.kπ- (k∈Z) 解析: ∵a⊥b,∴a· b=sin θcos θ+cos θsin θ+1=0, 即 sin 2θ+1=0,∴θ=kπ- (k∈Z). 答案: D 2 已知平面 α 的一个法向量为 n=(2,-1,0),则下列向量中与 α 垂直的是( ) A.(-1,1,1) B. C. D.(4,-2,2) 解析: 与平面 α 垂直的向量与 α 的法向量平行,只有 C 项符合. 答案: C 3 下列说法不正确的是( ) A.平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直 D.如果 a,b 与平面 α 共面,且 n⊥a,n⊥b,那么 n 就是平面 α 的一个法向量 解析: 选项 D 中,若 a,b 共线,则 n 就不是平面 α 的一个法向量. 答案: D 4 设直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若 l1⊥l2,则 m 等于( A.-2 答案: D B.2 C.6 D.10 ) 5 若平面 α,β 垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是( A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 答案: A ) 6 已知直线 l1 的方向向量为 a=(2,-2,x),直线 l2 的方向向量是 b=(2,y,2),且|a|=3,l1⊥l2,则 y-x 的值为 ( A.2 C.4 答案: A ) B.-4 或-1 D.0 7 已知 A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点 P(x,0,z),若 解析: 由题意得 由 =(-x,1,-z), ,得 =(-1,-1,-1), =(2,0,1), ,则点 P 的坐标为 . =x-1+z=0, 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 由 ,得 =-2x-z=0, 解得 答案: (-1,0,2) 故 P(-1,0,2). 8 如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F 分别为 AC,DC 的中点. 求证:EF⊥BC. 证明 由题意,以点 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴, 在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 易得 B(0,0,0),A(0,-1, ),D( ,-1,0),C(0,2,0). 因为 E ,F , 所以 所以 所以 =0. =(0,2,0). .所以 EF⊥BC. 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 9 如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M,N 分别为 PC,AB 的中点,求证:MN⊥平面 PCD. 分析 设 =a, =b, =c,则{a,b,c}为基底,利用 a,b,c 把 表示出来,证明 , 即可证明 MN⊥平面 PCD. 证明 设 =a, =b, =c, 则{a,b,c}为空间的一个基底, 则 因为 PA⊥矩形 ABCD, 所以 PA⊥AB,PA⊥AD,且 AB⊥AD. 所以 a· b=0,b· c=0,c· a=0. )= b- (a+b+c)=- (a+c). 所以 =- (a+c)· b=0, =- (a+c)· (c-a) =- (|c|2-|a|2) =- (| |2-| |2)=0. 所以 MN⊥DC,MN⊥PD.又 DC∩PD=D, 所以 MN⊥平面 PCD. 能力提升 1 四边形 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,则下列等式① =0 中成立的等式个数为( ) =0;② =0;③ =0;④ 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 A.1 C.3 答案: C B.2 D.4 2 已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平面 α 内的是 ( ) A.(1,-1,1) B. C. D. ⊥n. 解析: ∵A∈α,且 A(2,-1,2),n=(3,1,2)为 α 的法向量,∴ 选项 B 中, 答案: B · n=3-4+1=0,则 ⊥n.故选 B. 3 平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知( A.直角三角形 B.等腰三角形 -2 )· ( )=0,则△ABC 的形状是( ) C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析: ( 则| |=| -2 )· ( )=( )· ( )=( )· ( )=| |2-| |2=0, |,故选 B. 答案: B 4 已知直线 l1 的方向向量 a=(2,4,x),直线 l2 的方向向量 b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y=( A.-3 或 1 解析: ∵|a|= B.3 或-1 =6, C.-3 D.1 ) ∴x2=16,∴x=±4. 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 ∵a⊥b,∴a· b=4+4y+2x=0, 当 x=4 时,y=-3;当 x=-4 时,y=1. ∴x+y=1 或 x+y=-3. 答案: A 5 已知空间向量 a,b 是非零向量,且满足(a