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2011届高考数学第一轮复习测试题40


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·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 (五 ) 第五单元 [向量]作运算,图形见奇观
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(2005 年全国Ⅱ高考题)已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0).设∠BAC 的平分 → → 线 AE 与 BC 相交于 E,那么有BC =λCE,其中 λ 等于 A.2 1 B. 2 C.-3 D.- 1 3

→ OB=OB· → → OC=OC· → → OA,则 O 点一定是△ABC 的 → 2.已知 O 是△ABC 内一点,且满足OA· A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 3.在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2 b , ? ? 4 a ? b , ? ? 5 a ? 3 b , 其中 a 、 b 不共线, BC CD 则四边形 ABCD 是 A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
? ? ? ? ? ?

?

?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.在边长为 1 的正△ABC 中,若 A B ? a , B C ? b , C A ? c ,则 a · + b · + c · = b c a

3 A. 2

3 B.- 2

C.3

D.0 )

5.已知 a , b , c 为非零的平面向量. 甲: a ? b ? a ? c , 乙 : b ? c , 则 甲是乙的( A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.非充分条件非必要条件

6.已知三角形的三条边成公差为 2 的等差数列,且它的最大角的正弦值为 角形的面积是 15 A. 4
?

3 ,则这个三 2

15 3 B. 4

C.

21 3 4

35 3 D. 4
?

7.把点(3,4)按向量 a 平移后的坐标为(-2,1),则 y=2x 的图象按向量 a 平移后的图象 的函数表达式为 - - + + A.y=2x 5+3 B.y=2x 5-3 C.y=2x 5+3 D.y=2x 5 -3 8.(2005 年全国Ⅱ高考题)点 P 在平面上作匀数直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10, 10),则 5 秒后点 P 的坐标为 A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10)
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9.已知向量 O B =( 2,0), O C =( 2, 2), C A =(cosα,sinα)( α∈R),则 O A 与
??? ? O B 夹角的取值范围是

??? ?

????

??? ?

??? ?

p A.[0, ] 4

p 5p B.[ , ] 4 12

p 5p C.[ , ] 12 12

5p p D.[ , ] 12 2

10.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45° ,若这样的△ABC 有两个,则实数 x 的取值范围 是 A.(2,+∞) B.(0,2) C.(2,2 2) D.( 2,2)

答题卡 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.(2005 年湖南高考题)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、B 两点, 且|AB|= 3,则 O A · O B =
??? ? ??? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



12.(2005 年全国Ⅰ高考题)△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,
OH ? m ( OA ? OB ? OC ) ,则实数 m =



13.(2005 年天津高考题)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC =
??? ? ??? ? ????



14.(2005 年全国Ⅲ高考题)已知向量 O A ? ( k ,12), O B ? (4, 5), O C ? ( ? k ,10) ,且 A、B、 C 三点共线,则 k= .

? ? ? 15.设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

① (a ? b ) ? c ? (c ? a ) ? b ? 0 ; ②a ? b ? a?b ; ③ ( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 不与 c 垂直; ④ (3 a ? 2 b ) ? (3 a ? 2 b ) = 9 a
? ? ? ?
?
2

? ?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

?

? ? 4b

2

中是真命题的有



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. C 16.(本题满分 l2 分) Q 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A
a

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A

B

P

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为中点,问 PQ 与 BC

的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

17.(本题满分 12 分)
?? A A A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c.若 m =(-cos ,sin ), 2 2 ? ?? ? A A 1 n =(cos ,sin ),且 m · n = .

2

2

2

(1)求 A; (2)若 a=2 3,三角形面积 S= 3,求 b+c 的值.

18.(本题满分 14 分) 如图, △AOE 和△BOE 都是边长为 1 的等边三角形, 延长 OB 到 C 使|BC|=t(t>0), 连 AC 交 BE 于 D 点. ⑴用 t 表示向量 O C 和 O D 的坐标; ⑵(理)求向量 O D 和 E C 的夹角的大小.
???? ??? ? ???? ????

y

A

O
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E x B D

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C

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? ??? ? ???? 3 ??? ???? (文)当 O C = O B 时,求向量 O D 和 E C 的夹角的大小. 2

19.(本题满分 14 分) 已知 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? )( 0 ? ? ? ? ? ? ) . ⑴求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; ⑵若 k a ? b 与 a ? k b 大小相等,求 ? ? ? (其中 k 为非零实数).
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?

20.(本题满分 14 分) 设△ABC 的外心为 O,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D,再以 OC、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H. ⑴若 OA ? a , ? b , ? c , a 、 b 、 c 表示 OH ; 用 OB OC ⑵求证:AH⊥BC; → ⑶设△ABC 中,∠A=60° ,∠B=45° ,外接圆半径为 R,用 R 表示|OH|.
? ? ?
? ? ?

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21.(本题满分 14 分) 已知圆 O 的半径为 R, 它的内接△ABC 中,2 R (sin 立,求三角形 ABC 面积 S 的最大值.
2

A ? sin

2

C ) ? ( 2 a ? b ) sin B 成

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[向量]作运算,图形见奇观参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 D

1 10 3 10 2 二、填空题 11.- ;12.1;13.(- , );14.- ;15.②④ 2 5 5 3 三、解答题 16. 解 :? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0 . ? AP ? ? AQ , BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC
? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC ) ? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a
? ?a
2
2

? AP ? AC ? AB ? AP
2

? AP ? ( AB ? AC ) ? ? a

2

?

1 2

PQ ? BC ? ? a ? a cos ? .
2

故当 cos ? ? 1, 即 ? ? 0 ( PQ 与 BC 方向相同 )时 , BP ? CQ 最大 .其最大值为

0.

?? ? ?? ? A A A A 1 17.解:(1)∵ m =(-cos ,sin ), n =(cos ,sin ),且 m · n = , 2 2 2 2 2

A A 1 ∴-cos2 +sin2 = ,………………………………………………2 分 2 2 2 1 2 即-cosA= ,又 A∈(0,?),∴A= ?………………………………5 分 2 3 1 1 2 (2)S△ABC= bc· sinA= b· sin ?= 3,∴bc=4 …………………7 分 c· 2 2 3 又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc· cos120° 2+c2+bc ………………10 分 =b ∴16=(b+c)2,故 b+c=4.……………………………………………12 分 1 3 18.解:⑴ OC =( (t+1),- (t+1)),………………………………………………2 分 2 2
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1 1 3 ∵ BC =t AE ,∴ DC =t AD , AD = ,又 OA =( , ), 1+t AC 2 2 - AC = OC - OA =( t, 5分 2t+1 3 ∴ OD ? OA ? AD =( ,- )………………………………………………7 2(t+1) 2(t+1) 分 t-1 3(t+1) ⑵(理)∵ EC ? OC ? OE =( ,- ), 2 2 2t+1 t-1 3 3(t+1) t2+t+1 ∴ OD · = · + · = ……………………………… EC 2(t+1) 2 2(t+1) 2 2(t+1) 9分 又 ∵ |
OD

1 2

3 t 3(t+2) (t+2)); AD =( ∴ , - ), ……………… 2 2(t+1) 2(t+1)

| · |

EC

| =

(2t+1)2+1 · 2(t+1)

(t-1)2+3(t+1)2 = 2

t2+t+1 …………………………11 分 t+1
OD · EC 1 ∴cos< OD , EC >= = ,∴向量 OD 与 EC 的夹角为 60°.……14 | OD |·| EC | 2

分 1 2 3 1 3 3 (文)由已知 t= ,∴ OD =( ,- ), EC =(- ,- ) 2 3 3 4 4 1 3 7 ∴ OD · EC =- + = ……………………………………………………………9 分 6 4 12 又∵| OD |= 7 2 7 7 ,| EC |= = ………………………………………………11 分 3 4 2

7 12 1 ∴cos< OD , EC >= = ,∴向量 OD 与 EC 的夹角为 60°.………………14 分 7 2 6
? ?

19.解:⑴由 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ),
? ? ? ?

得 a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) , a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ),
? ? ? ?

又 ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (cos ? ? cos ? )(cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? )(sin ? ? sin ? )

? cos

2

? ? cos

2

? ? sin ? ? sin
2

2

? ? 0.
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? ? ? ? ? ( a ? b ) ? ( a ? b ). ?

(2)? k a ? b ? ( k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ),
? ? ? ka ? b ? ? ?

?

k

2

? 2 k cos( ? ? ? ) ? 1 ,

同理? a ? k b ?

1 ? 2 k cos( ? ? ? ) ? k ,
2

由 k a ? b ? a ? k b 得 2 k cos( ? ? ? ) ? ? 2 k cos( ? ? ? ) 又 k ? 0 , 所以 cos( ? ? ? ) ? 0 , 因 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?
? ?

?

?

?

?

?
2

.

20.解:⑴ OD ? OA ? OB ? a ? b , OH ? OC ? OD ? a ? b ? c .
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

⑵ AH ? OH ? OA ? ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c , BC ? OC ? OB ? c ? b .
? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? AH ? BC ? ( c ? b ) ? ( c ? b ) ? c ? b ? c ? 2 ? b . ∴O 为△ABC 的外心.

2

即 ? ? OA ? OB ? OC , a ? b ? c , AH ? BC ? 0 .故 AH ? BC . ⑶在△ABC 中, ∠A=60°, ∠B=45°, 为△ABC 的外心, O 则∠BOC=2∠A=120°, ∠AOC=2∠B=90°,∴∠AOB=150°。
2

?

?

?

OH

? OH ? OH

? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c ) ? (a ? b ? c ) ? a

2

? ? b

2

? ? c

2

? ? ? ? ? ? ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a

=a

?

2

? ? b

2

? ? c

2

? ? ? 2 a ? b cos 150

0

? ? ? 2 b ? c cos 120

0

? ? ? 2 c ? a cos 90

0

? R

2

? R

2

? R

2

?

3R

2

?R

2

? 0 ? (2 ?
6 ? 2

3)R .
2

2

? OH

?

2?

3R ?

R.

21. 由已知得 ( 2 R ) 2 (sin 解:

2

A ? sin

2

即 C ) ? 2 R sin B ( 2 a ? b ) , a

2

?c

2

?

2 ab ? b .
2

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? cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

?

2 2

,? C ?

?
4



2 ab

S ?

1 2

ab sin C ?

2 4

ab ?

2 4

? 4 R sin A sin B ?
2

2 R sin A sin(

2

3? 4

? A)

?

2 R sin A (

2

2 2

cos A ?

2 2

sin A ) ? R (sin A cos A ? sin
2

2

A)

? R (
2

1 2

sin 2 A ?

1 ? cos 2 A 2

) ? R [
2

2 2

sin( 2 A ?

?
4

)?

1 2

]?

1? 2

2

R

2

?当A ?

3? 8

时 ,面积 S 有最大值

1? 2

2

R .

2

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