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山东省滨州市2017届高三上学期期末联考文数试题 Word版含答案


高三数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? 1 ,则集合 A ? B ? ( A.? x 0 ? x ? 1? 2.若复数 z ? A. 2 B. x x ? 0或x ? ?1

?

?

) D. ? x 0 ? x ? 2?

?

?

C. ? x 1 ? x ? 2? ) D. 10 )

4 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( 1? i

B. 3

C. 5

3 ? ?? x ,x ? 0 3.已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ? ? f ? ?1? ? ??( ? ?2 ,x ? 0

A.

1 2

B.2

C.1 )

D. ?1

4.下列说法中,不正确的是( A. “ sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件 2

B.命题 p : ?n0 ? N , 2n0 ? 1000 ,则 ?p : ?n ? N , 2n ? 1000 C.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” D.命题“若 ?x ? ? 0 ,? ? ? ,则 2 x ? 3x ”是真命题
? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知平面向量 a , b , a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? 1 ,则向量 a , b 的夹角为(



A.

?
6

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
2

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 x 值为 31,则 a 的值为(



1

A.2

B.3

C.4

D.5

7.已知三棱锥 S ? ABC ,其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则该三棱锥 的体积为( )

16 3 32 3 C. D. 16 3 3 3 ?? ? 8.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? , 则函数 f ? x ? 的单调递增区间为 6? ?

A.

8 3 3

B.





? 5? ? ? A. ? k? ? ,k? ? ?k ? Z ? 3 6 ? ? ? ? ?? ? C. ? k? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? 3 6? ?

? ?? ? B. ? 2k? ? ,2k? ? ? ? k ? Z ? 6 3? ? ? ?? ? D. ? k? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? 6 3? ?

1 9.圆心在直线 y ? x 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得的弦长为 4 2 , 则圆 C 3

的标准方程为(
2 2

) B. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9
2 2

A. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9 C. ? x ? 4 ?
2

4? ? ? ? y ? ? ? 16 3? ?

2

D. ? x ? 6 ? ? ? y ? 2 ? ? 9
2 2

10.设 f ? x ? 是定义在 R 上周期为 2 的函数,且对任意的实数 x ,恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,当

x ? ?0 , 1? 时, f ? x ? ? ? 1 ? x 2 ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? ? e x ? 1 在区间 ? ?2017 ,2017 ? 上零点的
个数为( A.2016 ) B.2017 C.4032 D.4034

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.函数 f ? x ? ?

log 1 ? 4 x ? 3?
2

x ?1

的定义域为



2

?? 1 ? ? 12.在区间 ? ? , ? 上随机地取一个数 x ,则事件“ sin x ? ”发生的概率为 2? 2 ? 6



13.如图,茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的 5 次比赛成绩(单位:环) ,若两位运动员 的平均成绩相同,则成绩较为稳定的运动员成绩的方差为 .

?2 x ? y ? 2 ? 14.设变量 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? x ?



15.已知抛物线 C1 : y 2 ? 8 x 的焦点为 F , P 是抛物线 C1 上位于第一象限内的点, PF ? 4 ,
P 到双曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ,b ? 0 ? 的一条渐近线的距离为 2,则双曲线 C2 的离心率 a 2 b2





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16. (本小题满分 12 分) 今年我国许多省市雾霾频发, 为增强市民的环境保护意识, 某市面向全市学校征召 100 名教 师做义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组,现把该组的成员按年龄分成 5 组:第一组

? 20 ,25? ,第 2 组 ? 25 ,30 ? ,第 3 组 ?30 ,35? ,第 4 组 ?35 ,40 ? ,第 5 组 ? 40 ,45? ,得
到的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区的宣传活动,应从 第 3,4,5 组各选出多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机选 2 名志愿者介绍宣传经验,

3

求第 4 组至少有 1 名志愿者被选中的概率. 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,已知
b ? 3.

sin ? A ? B ? a?b

?

sin A ? sin B , a?c

(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 cos A ?
6 ,求 △ ABC 的面积. 3

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? AP , CD ? 2 AB , CD ? 平面 APD , AB ∥ CD , E 为
PD 的中点.

(Ⅰ)求证: AE ∥ 平面 PBC ; (Ⅱ)求证:平面 PBC ? 平面 PCD . 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

n 2 ? 3n . 4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? 4an ?
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an an ?1

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 5 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的短轴长为 2, 离心率为 , 抛物线 G : y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 2 a b 5

的焦点 F 与椭圆 E 的右焦点重合,若斜率为 k 的直线 l 过抛物线 G 的焦点 F 与椭圆 E 相交 于 A ,B 两点,与抛物线 G 相交于 C ,D 两点. (Ⅰ)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得 理由.
4

1 ? 为常数?若存在,求出 ? 的值,若不存在,请说明 ? AB CD

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 2ax ?
1 ? ? a ? 2 ? ln x ? a ? 0 ? . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 1 时,若对于任意的 x1 ,x2 ? ?1 ,4? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 求实数 m 的取值范围.
27 ? 2m ln 2 成立, 4

5

高三数学(文科)试题参考答案 一、选择题
1-5:CDBAC 6-10:BBDAB

二、填空题
?3 ? 11. ? , 1? 4 ? ?

12.

1 2

13.2

14.10

15.

5 4

三、解答题
16.解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得,第 3,4,5 组的人数分别为:
100 ? 0.04 ? 5 ? 20 ,??????????1 分 100 ? 0.06 ? 5 ? 30 ,????????????2 分 100 ? 0.02 ? 5 ? 10 ,??????????3 分

故第 3,4,5 组共有 60 名志愿者. 所以,从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区的宣传活动,各组应 选出的人数分别为:
6? 6? 6? 20 ? 2 ,????????????4 分 60 30 ? 3 ,??????????????5 分 60 10 ? 1 ,????????????6 分 60

(Ⅱ)记第 3 组 2 名志愿者为 a ,b ;第 4 组 3 名志愿者为 c ,d ,e ;第 5 组 1 名志愿者为
f .

则从这 6 人中随机选 2 人,所构成的基本事件有:

?a ?c

,b? , ?a ,c? , ?a ,d ? , ?a ,e? , ?a ,f ? , ?b ,c? , ?b ,d ? , ?b ,e? , ?b ,f ? , ,d ? , ?c ,e? , ?c ,f ? ,?d ,e? , ?d ,f ? , ?e ,f ? ,共 15 个. ????????

9分 设“从 6 名志愿者人随机选 2 名,第 4 组至少有 1 名志愿者被选中”为事件 A . 则事件 A 包含的基本事件有:

?a ?d

,c? , ?a ,d ? , ?a ,e? , ?b ,c? , ?b ,d ? , ?b ,e? , ?c ,d ? , ?c ,e? , ?c ,f ? ,

,e? , ?d ,f ? , ?e ,f ? ,共 12 个. ??????????11 分
6

所以 P ? A ? ?

12 4 ? . ????????12 分 15 5

17.解: (Ⅰ)因为 A ? B ? C ? ? , 所以 A ? B ? ? ? C ,??????????1 分 所以 sin ? A ? B ? ? sin C ,????????2 分 由正弦定理得:
c a?b ,????????????3 分 ? a?b a?c

整理得 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,??????4 分 由余弦定理得:

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ? ? . ??????5 分 2ac 2ac 2

??, 又 B ? ?0 ,
所以 B ?

?
3

. ????????????6 分

解得 a ? 2 . ????????????8 分 又 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ??????9 分
? ? 3 1 6 3 ? ? ? 3 2 3 2

3?3 2 . ????????????????10 分 6 1 所以 △ ABC 的面积 S ? ab sin C 2 ? ? 1 3?3 2 ??????????11 分 ? 2 ? 3? 2 6 3?3 2 . ??????????12 分 6

18.证明: (Ⅰ)取 PC 的中点 F ,连接 EF ,BF ,????1 分

7

1 因为 E ,F 分别是 PD ,PC 的中点,所以 EF ∥ CD ,且 EF ? CD . ??2 分 2 1 又 AB ∥ CD , AB ? CD , 2

所以 EF ∥ AB ,且 EF ? AB ,??????3 分 即四边形 ABFE 为平行四边形,??????4 分 所以 AE ∥ BF . ????????????5 分 因为 BF ? 平面 PBC ,且 AE ? 平面 PBC ,????6 分 所以 AE ∥ 平面 PBC . ??????????7 分 (Ⅱ)因为 CD ? 平面 APD , AE ? 平面 APD ,所以 CD ? AE ,????8 分 因为 AD ? AP , E 为 PD 的中点, 所以 AE ? PD . ????????????????9 分 又 PD ? CD ? D , 所以 AE ? 平面 PCD ,????????????10 分 由(Ⅰ)知, BF ∥ AE , 所以 BF ? 平面 PCD ,??????????11 分 又 BF ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PCD . ??????????12 分 19.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;????????1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

n 2 ? 3n ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? n ? 1 ? ? ,??2 分 4 4 2
2

因为 a1 ? 1 也适合上式,??????????3 分 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ?
n ?1 , 2 n ?1 . ??????4 分 2

8

所以 bn ? 4

n ?1 2

?

? n ? 1?? n ? 2 ?

1

??????????5 分

1 ? ? 1 ? 2n ?1 ? ? ? ? . ????????????6 分 ? n ?1 n ? 2 ?

则 Tn ? b1 ? b2 ? … ? bn
?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? 22 ? 23 ? … ? 2n ?1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ??8 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 ?? ? ? ? ? ?? ?
22 ? 2n ?1 ? 2 ? 1 1 ? ?? ? ? ????????????10 分 1? 2 ?2 n?2? n 9n ? 16 (或 2n ? 2 ? . ????12 分 ? 2n ? 2 ? 4 ? 2 ? n ? 2? 2 ? n ? 2? ?

?2b ? 2 ? ?c 2 5 20.解: (Ⅰ)由题意,设 F ? c ,0 ? ,则得 ? ? ,??????1 分 5 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

?a ? 5 ? 解得 ?b ? 1 . ??????????????3 分 ?c ? 2 ?
所以椭圆 E 的方程为 由题意得

x2 ? y 2 ? 1 ,????????4 分 5

p ? c ,所以 p ? 4 . 2

故抛物线 G 的方程为 y 2 ? 8 x . ????????5 分 (Ⅱ)设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? , C ? x3 ,y3 ? , D ? x4 ,y4 ? , 由题意,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? ,
? x2 2 ? ? y ?1 由? 5 消去 y ,整理得 1 ? 5k 2 x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ,??6 分 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

?1 ? 400k 4 ? 4 ? 20k 2 ? 5 ??1 ? 5k 2 ? ? 20 ? k 2 ? 1? ? 0 . ??????7 分
AB ? 1 ? k x2 ? x1 ? 1 ? k ?
2 2

?1 1 ? 5k 2

?

2 5 ? k 2 ? 1? 1 ? 5k 2

. ????8 分

? y 2 ? 8x ? 由? 消去 y ,整理得 k 2 x 2 ? ? 4k 2 ? 8 ? x ? 4k 2 ? 0 ,????9 分 y ? k x ? 2 ? ? ? ?
9

? 2 ? ? 4k 2 ? 8 ? ? 4k 2 ? 4k 2 ? 64 ? k 2 ? 1? ? 0 ,
2

则 x3 ? x4 ?

4k 2 ? 8 , k2
8 ? k 2 ? 1? k2

由抛物线定义得 CD ? x3 ? x4 ? 4 ?

,??????????10 分

20 ? 5? k 2 ? 4 1 ? 1 ? 5k 2 ?k 2 ? ? ? ? 所以 ,??????11 分 AB CD 2 5 ? k 2 ? 1? 8 ? k 2 ? 1? 8 5 ? k 2 ? 1?
要使
1 ? 为常数,则须有 20 ? 5? ? 4 , ? AB CD

?

?

解得 ? ? ?

16 5 . ??????????????12 分 5 16 5 1 ? ,使 为常数. ????13 分 ? 5 AB CD

所以存在 ? ? ?

21.解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ? ? ,
1 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? ? 2 ln x , x f '? x? ? 1 2 1 ? 2x . ??????????1 分 ? ? x2 x x2

1? 1 ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? 上单调递增;??????2 分 2? 2 ? 1 ?1 ? 当 x ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? ,? ? ? 上单调递减;??????3 分 2 ?2 ?

当0? x ?

所以,当 x ? 分

1 时,函数 f ? x ? 取得极大值为 2

?1? f ? ? ? 2 ln 2 ? 2 ;不存在极小值. ????4 ?2?

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 2a ? 由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ①当

2 1 2 ? a 2ax ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? 2 x ? 1?? ax ? 1? . ??5 分 ? ? ? x2 x x2 x2

1 1 或 x ? . ????????????6 分 2 a

1 1 1 1 ? ,即 a ? 2 时,由 f ' ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ; a 2 a 2 1 1 ?x? , a 2

由 f ' ? x ? ? 0 ,得

1? ?1 ? ? ?1 1? 所以函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? ,? ,? ? ? 上单调递增, 在区间 ? , ? 上单调递减; ??7 a 2 ? ? ? ? ?a 2?

分 ②当
1 1 ? ,即 a ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 在 ? 0 ,? ? ? 恒成立,所以函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,? ? ? 上 a 2

10

单调递增;?8 分 ③当
1 1 1 1 1 1 ? ,即 0 ? a ? 2 时,由 f ' ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ;由 f ' ? x ? ? 0 ,得 ? x ? , a 2 2 a 2 a

1? ?1 ? ? ?1 1? 所以函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? , ? ,? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递 2? ?a ? ? ?2 a?

减. ????9 分
1? ?1 ? ? ?1 1? 综上所述,当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? ,? ,? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? a 2 ? ? ? ? ?a 2?

上单调递减;当 a ? 2 时,函数函数 f ? x ? 在区间 ? 0 ,? ? ? 上单调递增;当 0 ? a ? 2 时,函
1? ?1 ? ? ?1 1? 数 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? , ? ,? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递 2? ?a ? ? ?2 a?

减.??????10 分 (Ⅲ)当 a ? 1 时,由(Ⅱ)知,函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,4? 上是增函数, 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? 4 ? ? f ?1? ?
27 ? 6 ln 2 ,????????11 分 4 27 ? 2m ln 2 成立, 4

因为对于任意的 x1 ,x2 ? ?1 ,4? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 所以

27 27 ? 6 ln 2 ? ? 2m ln 2 恒成立,??????????12 分 4 4

解得 m ? 3 ,????????????13 分 故 m 的取值范围为 ? ?? ,3? . ???? ??14 分

11


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