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2015届高三数学附加题专项练习(7)数学归纳法


2015 届高三数学附加题专项练习(7) 数学归纳法
1.用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除.


2.已知正项数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项的和,且 2Sn ? an ?

(1)计算出 a1 , a2 , a3 ,然后猜想数列 ?an ? 的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.

1 ? ,n? N . an

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3.已知 ( x ? 1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a3 ( x ?1)3 ? (1)求 a0 及 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? (其中 n ? N ) ? an ( x ?1)n ,

? an ;

(2)试比较 Sn 与 (n ? 2)2n ? 2n2 的大小,并说明理由.

2an 4.已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1
(1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.

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5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n , 1 , f ( n) ? ? , n?2 n ?S2 n ? Sn?1 ,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

6.(1)设函数 f ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (2)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1, 求证 p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? p3 ln p3 ?

? p2n ln p2n ? ?n.

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7.已知数列 {an } 中, 1 ? a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ? an ? (1)求证: a3 ? (

1 2 an (n ? N *) . 2

1 11 3 , ); (2)求证:当 n ? 3 时, | an ? 2 |? n . 2 8 2

8. 如 图 , P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y 2 ) 、 … 、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是 曲 线 C : 点 Ai (ai ,0)( i ? 1,2,3? n ) 在 x 轴的正半轴上, 且 ?Ai ?1 Ai Pi y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点, 是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的 横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.

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参考答案 1.证明 (1)当 n=1 时,f(1)=3 -8-9=64, 命题显然成立. (2)假设当 n=k (k≥1,k∈N*)时, + f(k)=32k 2-8k-9 能被 64 整除.则当 n=k+1 时, + 2(k+1)+2 3 -8(k+1)-9=9(32k 2-8k-9)+9· 8k+9· 9-8(k+1)-9 2k+2 =9(3 -8k-9)+64(k+1) 即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1) ∴n=k+1 时命题也成立. 综合(1)(2)可知,对任意的 n∈N*,命题都成立. 2.略
4

3.解:(1)取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?
n

? an ? 3n ,
------4 分

? an ? 3n ? 2n ;
n

(2)要比较 Sn 与 (n ? 2)2n ? 2n2 的大小,即比较: 3 与 (n ? 1)2n ? 2n2 的大小, 当 n ? 1 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n 2

当 n ? 2,3 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n n 2

当 n ? 4,5 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n n 2

------5 分
2

猜想:当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明:
n n

由上述过程可知, n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k ,(k ? 4) 时结论成立,即 3k ? (k ?1)2k ? 2k 2 , 两边同乘以 3 得: 3
k ?1 k 2 k ?1 2 k 2 ? 3? ?(k ? 1)2 ? 2k ? ? ? k 2 ? 2(k ? 1) ? [(k ? 3)2 ? 4k ? 4k ? 2]

而 (k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 3)2k ? 4(k ? 2)(k ?1) ? 6 ? 0 ∴ 3k ?1 ? ((k ? 1) ?1)2k ?1 ? 2(k ? 1)2 即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n 成立。 综上得,
n n 2

------9 分

当 n ? 1 时, Sn ? (n ? 2)2n ? 2n2 ; 当 n ? 2,3 时, Sn ? (n ? 2)2 ? 2n ;
n 2

当 n ? 4, n ? N 时, Sn ? (n ? 2)2 ? 2n
n

?

2

------10 分

a ? 4 . ……………………………………………2 分 4.(1)解:由题意,得 a2 ? 2 , 3 3 5

(2)证明:①当 n ? 1 时,由(1) ,知 0 ? a1 ? a2 ,不等式成立.………………4 分 ②设当 n ? k (k ? N* ) 时, 0 ? ak ? ak ?1 成立,……………………6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 . 而 ak ? 2 ? ak ?1 ?
2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2a 2(ak ?1 ? ak ) ? k ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 ,
第5页 共7页

即当 n ? k ? 1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 成立.………10 分 5. (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 3 1 1 1 13 ? , f (2) ? S4 ? S1 ? ? ? ? , 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 19 ; ……3 分 f (3) ? S6 ? S2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(1)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . (1)由(1)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ; ……5 分 (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即 1 1 1 1 1 1 1 1 f (k ) ? ? ? ? ? 1 ,那么 f (k ? 1) ? ? ? ? ? ? k k ?1 2k k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 1 ? ? 1 1 ? 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ? 1 ?1? ? ? ??? ? ? ?1? ? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) ? 2k ? 1 2k ? ? 2k ? 2 2k ? 1 1 ?1? ? ? 1 ,所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立.……8 分 2k (2k ? 1) k (2k ? 2) 由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ……10 分
? ln x ? ln(1 ? x).

6. (1)解:对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x ln x)? ? [(1 ? x) ln(1 ? x)]? 于是 f ?( ) ? 0.

1 2

1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? , f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2
所以 f ( x)在x ?

1 1 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2

(2)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(1)知命题成立. (ii) 假定当 n ? k 时命题成立, 即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 , 则 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k. 当 n ? k ? 1 时,若正数 p1 , p2 ,?, p2k ?1 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1,

pk p1 p , q 2 ? 2 , ?, q 2 k ? 2 . x x x 则 q1 , q2 ,?, q2k 为正数,且 q1 ? q2 ? ? ? q2k ? 1.
令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2k , q1 ? 由归纳假定知 q1 ln p1 ? p2 ln p2 ?

? q2k ln q2k ? ?k.
第6页 共7页

p1 ln p1 ? p2 ln p2 ?

? p2k ln p2k ? x(q1 ln q1 ? q2 ln q2 ?

? q2k ln q2k ? ln x) ? x(?k ) ? x ln x,



同理,由 p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 可得 p2k ?1 ln p2k ?1 ?
? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x)n(1 ? x).

? p2k ?1 ln p2k ?1



综合①、②两式 p1 ln p1 ? p2 ln p2 ?

? p2k ?1 ln p2k ?1

? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? ?(k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 7.解: (1)因为 1 ? a1 ? 2 ,所以 a2 ? 1 ? a1 ?

8.解: (Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; ……………….6 分 (2)依题意,得 x n ?

1 2 1 3 3 a1 ? ? (a1 ? 1) 2 ? ? (1, ) …… 2 分 2 2 2 2 1 2 1 3 11 3 2 故 a3 ? 1 ? a2 ? a2 ? ? (a2 ? 1) ? ? ( , ) ……………………… 4 分 2 2 2 8 2 11 3 11 1 3 1 (2)当 n ? 3 时, a3 ? 2 ? ( ? 2, ? 2) ,又 ? 2 ? ? , ? 2 ? , 8 2 8 8 2 8 1 1 1 所以 ? ? a3 ? 2 ? ,即 | a3 ? 2 |? …………………… 6 分 8 8 8 1 假设当 n ? k (k ? 3) 时, | ak ? 2 |? k 2 1 则当 n ? k ? 1 时, | ak ?1 ? 2 |? ? | ak ? 2 | ? | ak ? 2 ? 2 | ……………… 8 分 2 1 1 1 1 ? ? k | k ? 2 2 ? 2 | ? k ?1 ……………10 分 2 2 2 2 1 即 n ? k ? 1 时结论成立,综上所述,当 n ? 3 时, | an ? 2 |? n . 2

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) ,即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 2 2 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) . ( 3?
下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 , 解之得 ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) ,
即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) 、 (2)知:命题成立
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