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数学专题14三角形中的数列问题(研究性学习)


高中数学高考总复习
一、范例研究:

专题十四

三角形中的数列问题(研究性学习)

设在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 范例 1:已知 a,b,c 成等差数列

(1)证明:



(2)证明: (3)求角 B 的范围.



范例 2:已知 a,b,c 成等比数列 (1)证明:cos(A-C)+cosB+cos2B=1;

(2)证明: (3)求角 B 的范围.



1、探索:运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸. (1)第一次探索 a,b,c 成等差数列





③ 注:范例 1(3)求角 B 的范围请同学们自己思考 (2)第二次探索
1

a,b,c 成等比数列

(第一阶段的转化与延伸)

(第二阶段转化与延伸的开始) (第二阶段的转化与延伸)

∴ 注:范例 2 的(2)、(3)小问请同学们练习 2、小结 小结 1:在△ABC 中,若 a,b,c 成等差数列,则有 (1)2b=a+c;

(2)



(3)

.

小结 2:在△ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,则有 (1) ;

(2)



(3)

.

二、联想 联想是探索的先驱,人们在学习与研究中,总是在实践中获取真知,在认知中产生联想,进而由联想引发新的探索, 由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差,他们的性质大多有惊人的相似之处. 由此我们联想到,上面已经认知的等差(或等比)数列条件下的三角等式两边,在等比(或等差)数列的条件下会是何 种关系呢? 循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系,我们可以断言:一般情况下,等差(或等比)数列条件下的三角“等式”两 边,在等比(或等差)数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是,如此变更条件之后,上述等式两边是否具 有确定的大小关系?上述不等式两边,是否具有相等关系?
2

注意到等差数列与等比数列的密切联系,我们由等差(比)数列的命题联想等比(差)数列的情形.

三、再探索 立足于前面对范例 1、范例 2 的证明与讨论,对联想中所提出的问题进行探索. 1、第三次探索:解决联想 1 提出的问题 在△ABC 中,若 a,b,c 成等比数列 得:



由第一次探索过程改造而成



3

由第二次探索过程改造而成

2、第四次探索:解决联想 2 提出的问题 在△ABC 中,若 a,b,c 成等差数列 2b=a+c

(1)2b=a+c



(2)



由第二次探索过程改造而成

(3)

可由命题 1 的证明改造而成

4

四、再认知 有比较才能鉴别(毛泽东语),有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结,我们对 a,b,c 成等差数 列和 a,b,c 成等比数列的不同条件下的结论进行比较,从中品悟三角形三边成等差数列(或等比数列)的特性,以及在 不同条件(a,b,c 成等差数列或 a,b,c 成等比数列)下有关量之间的联系. 1、比较、品悟 在△ABC 中,若 a,b,c 成 等差数列,则有 (1)2b=a+c 在△ABC 中,若 a,b,c 成 等比数列,则有 a+c

(2)

2、点评:对于上面每一组对应的命题,等号或不等号的两边,在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等” (一般情况下)的个性,凸现着对偶范畴间既相互对立,又相互依存和相互联系的辩证关系. 五、总结与自我训练 1、总结 (1)联想: 亲缘联想:联想“已知”或“目标”的亲密一方; 对立联想:联想“已知”或“目标”的对立一方. (2)收获(思维、经验、认知等) 2、练习: 设在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, Ⅰ、自选习题 (1)若 a,b,c 依次成等差数列 试求 ① ② (2)若 A,B,C 依次成等差数列 试求 ①
5

(学生自选、自解) (学生自选、自解)

(学生自选、自解)

② (3)若 A,B,C 依次成等比数列 试求 ① ② Ⅱ、规定问题 1、若 a,b,c 依次成等比数列 试求: (1)角 B 的取值范围; (2)设 t=sinB+cosB,求 t 的取值范围;

(学生自选、自解)

(学生自选、自解) (学生自选、自解)

(3)设

,求 y 的取值范围.

2、若 a,b,c 成等比数列,且

3、若 A,B,C 成等差数列 (1) 的取值范围;

(2)若最大边长与最小边长的比值为 m,求 m 的取值范围. 参考答案: 1、解:由题意得 (1)由余弦定理得 ∴由①②得 又 ∴由③④得 ① ② ③ ④



注意到



即所求 B 的取值范围为

.

6

(2)



,∴

∴ ∴ 即所求 t 的取值范围为 (3)设 t=sinB+cosB,则 .









( ∵ ∴







即所求 y 的取值范围为

.

点评:在已知条件下求出角 B 的取值范围,由此为求 t 及 y 的取值范围奠定了必要基础. 2、解: (1)由 a,b,c 成等比数列得 又

7



在△ABC 中由余弦定理得



(2)

解法一(运用正弦定理)在△ABC 中由正弦定理得









∴由①②得

解法二(运用三角形面积公式):在△ABC 中由三角面积公式得



∵ ∴由③得



点评:当已知式或目标式为三角形边角混合式时,通常首选正弦定理.但是,在条件适宜时利用三角形及其面积公式 推理,也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例. 3、解:由 A,B,C 成等差数列得 2B=A+C 又



(1)
8





(运用和差化积公式)















∴由①得

即所求

的取值范围为

(2)不妨设 A<B<C,

则 ∵ 且 A<C



∴cosC

cosA 即

cosA



cosA

9

∴ 于是由正弦定理得:











∴由②得

∴由③得 ∴m>1 ∴所求 m 的取值范围为(1,+∞).

点评:已知 A,B,C 成等差数列,既要想到利用由此导出的等量关系:

;又要想到由此导出的

不等关系

,这里在 A,B,C 成等差数列的条件下,寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.

10


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