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福建省福州市2012—2013学年第一学期福州市高三期末质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分意见[1]


福建省福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(理)试题
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 参考公式:

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

?

?x y
i ?1 n i

n

i 2

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

, a ? y ? bx

i

第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、 选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 把 正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 A.x+y-2 =0 C.x+y+1 =0 2.如图设全集 U 为整数集,集合 集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 3.在 2012 年第 30 届伦敦奥运会上,中国队教练想从 5 名女运动员中选出 3 名参加乒乓球女子团体比赛,不同 选法有 A.35 种 B.53 种 C.

2?i 在复平面上的对应点所在直线的方程是 1? i
B.x-y+2 =0 D.x-y-1=0

A ? {x ? N |1 ? x ? 8}, B ? {0,1, 2} 则下图中阴影部分表示的集合的真子

A53 种

D. C5 种

3

4.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80

根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 计值为 A. 210 B.210.5

y ? 10.5 x ? a ,据此模型来预测当 x= 20 时,y 的估
C.211.5 D.212.5

?

?

5.函数

? log x, x ? 0 f ( x) ? ? x 2 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ?? 2 ? a , x ? 0
2012-2013 高三数学(理科)答案 —1— (共 11 页)

A. a ? 0

B. 0 ? a ?

1 2

C.

1 ? a ?1 2

D. a ? 0或a ? 1

6.若运行如右图所示的程序,则输出 S 的值是

2012 2011 2012 C. 2013
A. 7.已知函数

2011 2012 2013 D. 2012
B.

f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0,| ? |?
f ( x) 的解析式为

?
2

半个周期内的图象如图所示,则函数

A. B. C.

f ( x) ? 2sin( x ? ) 6

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6

?

f ( x) ? 2sin( x ? ) 6

?

D.

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6
f ( x) ? a x ?2 , g ( x) ? 1og | x | (a ? 0, a ? 1), 且 f (3) · g (?3) ? 0 则函数 f ( x) 、 g ( x) 在同

?

8.若函数

一坐标系内的大致图象是

9.设向量 a , b 是非零向量,若函数 最值,则必有 A. a ⊥ b C. a , b 苫不垂直且 | a | ? | b |

?

?

? ? ? ? f ( x) ? ( xa ? b) · (a ? xb)( x ? R) 的图象不是直线,且在 x=0 处取得

?

?

B. a ∥ b

?

?

?

?

???

???

D. a , b ,不垂直且 | a | ? | b |

?

?

???

???

10.能够把圆 O:x2 +y2= 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不 是圆 O 的“和谐函数”的是 A.

f ( x) ? 4 x 3 ? x

B.

f ( x) ? 1n

5? x 5? x

2012-2013 高三数学(理科)答案 —2— (共 11 页)

C.

f ( x) ? tan

x 2

D.

f ( x) ? e x ? e ? x

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上。 ) 11 .设不等式组 ?

?0 ? x ? 1, ?0 ? y ? 1

表示平面区域为 M ,在区域 M 内随机取一个点( x , y) ,则此点满足不等式

2 x ? y ? 1 ? 0 的概率是



12 . 已 知 双 曲 线 为 13.若 n

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 y 2 ? 8 x 的 焦 点 重 合 , 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 2 a


2 a . ? ? (2 x ? 1)dx ,且 ( x ? ) n 的展开式中 x2 的系数是 15,则 a 的值为 0 x 14.△ ABC 中,若 sin B 既是 sin A , sin C 的等差中项,又是 sin A , sin C 的等比中项,则∠B 的大小是

____. 15.已知点

A( x1 , a x1 ), B( x2 , a x2 ) 是函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段
x1 ? x2 2

AB

a x1 ? a x2 ?a 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 2
成立.

成立.运用类比思想方法可知,

若点 A(x1,sinxl) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sin x ( x ∈(0,? ) )的图象上的不同两点,则类似地有____ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 13 分)

中a1 已知数列 {an }

? 1, 点(an , an ?1 )在函数y ? 3x ? 2的图象上(n ? N * ).

(I)证明:数列 {an

? 1}

是等比数列;

(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和.

2012-2013 高三数学(理科)答案 —3— (共 11 页)

17. (本小题满分 13 分) 2013 年将在沈阳举行第 12 届全运会,乒乓球比赛会产生男子个人、女子个人、男子团体、女子团体共四枚 金牌,保守估计,福建乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为

3 ,福建乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为 4

4 , 5
(I)记福建乒乓球男队获得金牌总数为 X,按此估计,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)按此估计,求福建乒乓球女队比福建乒乓球男队多获得一枚金牌的概率,

18(本小题满分 13 分) 已知函数 为?

cos ? x ? 2 3 cos 2 ? x ? 3 (其中 ? >o) ,且函数 f ( x) 的最小正周期 f ( x) ? 2sin ? x ·

(I)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y= f(x)的图象向右平移

1 ? 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍(纵坐 2 4 ? ? 标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)在 [? , ] 上的单调区间. 6 24

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

y 2 x2 3 ? 2 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2.

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l :

y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A、B 两点,是否存在 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经

过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

2012-2013 高三数学(理科)答案 —4— (共 11 页)

20. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC, 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相 切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 若池边 AE 满足函数 OA 距离为 t (

y ? ? x 2 ? 2(0 ? x ? 2 )的图象,且点 M 到边

2 4 ?t ? ). 3 3 2 (I)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (Ⅱ)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? 1nx ?

b (b 为实数) x

(I)若 b= -1,求函数

f ( x) 的极值;

(Ⅱ)在定义域内的任何一个 x,若满足 M(x)≥N(x)恒成立,则称 M(x)是 N(x)的一个“上界函数”. (i)如果函数

f ( x) 为 g(x)=-1nx 的一个“上界函数”,求 b 的取值范围; f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求证:

(i i)的若 b =0,函数

当 x ? (?2, ??) 时,函数 F(x)是函数

x x f ( ? 1) ? ? 1 的—个“上界函数” 2 2

2012-2013 高三数学(理科)答案 —5— (共 11 页)

福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分意见 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1 .C 2.A 3.D 4. C 5.A 6.C 7.A 8. B 9. C 10.D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. )

11.

1 4

12.

2 3 3

13. ? 1

14.

60 ?

15. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2

2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因点 (an , an ?1 ) 在函数 令 bn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 y ? 3x ? 2 的图象上,? an?1 ? 3an ? 2 ,·

? a n ? 1,故只需证 ?bn ?是等比数列,

bn?1 an?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 3 ? an ? 1? ? ? ? ? 3,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,

?数列 ?bn ?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.
即数列

?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ∴ an

?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,

? 1 ? 2 ? 3n?1 ,? an ? 2 ? 3n?1 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

所以数列

?a n ?的前 n 项和

Sn ? (2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? ??? ? 2 ? 3n?1 ? 1

? 2(1 ? 3 ? ??? ? 3n?1 ) ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

? 2?

1 ? 3n ?n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 1? 3

? 3n ? n ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分
2012-2013 高三数学(理科)答案 —6— (共 11 页)

17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2(单位:枚) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 则有 P( X

1 ? 3? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 0) ? ?1 ? ? ? . · ? 4 ? 16

2

3 3 3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) = , · 4 4 8 3 3 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 P( X ? 2) ? ? = , · 4 4 16
则 X 的概率分布列为:

X P

0

1

2

1 16

3 8

9 16
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? (Ⅱ)设事件

1 3 9 3 . ? 1? ? 2 ? ? (枚) 16 8 16 2

A ={福建乒乓男队获 0 枚金牌,女队获 1 枚金牌}, 事件 B ={福建乒乓男队获 1 枚金牌,女队获 2 枚金牌}, 3 4 4 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? P( A) ? C2 (1 ? )2 ? ? (1 ? ) ? 4 5 5 50 3 4 6 1 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 P( B) ? C2 ? (1 ? )( ) 2 ? · 4 4 5 25
13 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 50

由事件 A 与事件 B 为互斥事件,故有

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) =
18.(本小题满分 13 分) .解: (Ⅰ) 因为 因为 ?

f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ),·

? 0 ,且函数 f ( x) 的周期为π
? 2? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ? ,· 2? ?

所以 T 所以 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 1; ·

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

? ? ? 1 y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 2 4 3 6
标不变,得到函数 g ( x)

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3

?

将函数

y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

? 4

个单位后得到函数 倍,纵坐

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2sin(4 x ? ) . · 6

?

2012-2013 高三数学(理科)答案 —7— (共 11 页)

k? ? k? ? · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ?x? ? (k ? Z ) · 2 6 2 2 12 2 6 ? ? 3? k? ? k? 5? 由 ? 2k? ? 4 x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ? 2k? (k ? Z ); 得 ? ?x? ? (k ? Z ) · 2 6 2 2 6 2 12 ? ? ? ? ? ? ? ? 故函数 g ( x ) 在 ? , 上的递增区间为 ? , ? ? ? ? 6 24 ? ? 12 24 ? ? ?? ? ? 递减区间为 ? , ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? ? 6 12 ? ?
方法一:由 ?

?

? 2k? ? 4 x ?

?

?

?

? 2k? (k ? Z ); 得

方法二:? ? 由?

?
6

?x?

?
24

??

?

2 6 12 24 5? ? ? ? ? 由? ? 4 x ? ? ,得 ? ? x ? ? 6 6 2 6 12 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ?函数 g ( x) 在 ? ? , ? 上的递增区间为 ? ? , ? ,递减区间为 ? ? , ? ? · ? 6 24 ? ? 12 24 ? ? 6 12 ?
19.(本小题满分 13 分)

? 4x ?

?

? 0 ,得 ?

?

5? ? ? 4x ? ? 0 6 6

?x?

?

? a?2 ? (Ⅰ)设椭圆的焦半距为 c ,则由题设得 ? c · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 ,· ? ? 2 ?a
解得 ?

? ? a?2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ?c ? 3
2

所以 b

? a2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

故所求 C 的方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

(Ⅱ) 存在 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 理由如下: 设点

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,
y ? kx ? 3 代入

将直线 l 的方程

y2 ? x 2 ? 1 并整理得 (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 . 4

(*) · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

2012-2013 高三数学(理科)答案 —8— (共 11 页)

则 x1 ?

x2 ? ?

2 3k 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ,x1 x2 ? ? 2 2 k ?4 k ?4

AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O , ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
因为以线段 又

y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,
1? k 2 6k 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ? 3 ? 0,· k2 ? 4 k2 ? 4
?? 11 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2

于是 ?

解得 k

经检验知:此时(*)式 ?

? 0 ,适合题意.

即(*)式 ?

? 0 恒成立.

所以当 k

??

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ 当t

y ? ? x 2 ? 2 ,∴ y? ? ?2 x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

?

2 4 2 14 时,则点 M ( , ) ,过点 M 切线的斜率为 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 9 3 3
y? 14 4 2 ? ? (x ? ) , 9 3 3

所以过点 M 的切线 l 的方程为: 即

4 22 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 y?? x? 3 9 2 (Ⅱ)∵ y ? ? x ? 2 ,∴ y? ? ?2 x ,
∴过点 M

(t , ?t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ?2t ,

所以过点 M 的切线方程为 即

y ? (?t 2 ? 2) ? ?2t ( x ? t ) ,

y ? ?2tx ? t 2 ? 2 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 t t 令 y ? 2 ,得 x ? .故切线 l 与线段 AB 交点为 ( , 2) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 t 1 令 y ? 0 ,得 x ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 t 1 1 t2 ? 2 2 4 所以 x?(t ) ? ? 2 ? ( ?t ? ) 2 2 t 2t 3 3 2 4 2 4 当 ? t ? 时, x?(t ) ? 0 ,∴函数 x(t ) 在区间[ , ]上单调递减; 3 3 3 3
2012-2013 高三数学(理科)答案 —9— (共 11 页)

所以

17 t 1 11 ? ? ? ? 2, 12 2 t 6

t 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? ,0) ,· 2 t ∴地块 OABC 在切线 l 右上部分的区域为一直角梯形,设其面积为 f (t ) , 2 4 1 t 1 t 1 ∴ f (t ) ? [(2 ? ? ) ? (2 ? )] ? 2 ? 4 ? t ? , ( ? t ? ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2 t 2 t 3 3
∴切线 l 与线段 OC 交点为 ( ∵t

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ? 2 ,当且仅当 t=1 时取等号.· t
f (t ) 的最大值为 f(1)=4-2=2.

∴当 t=1 时,

∵1×100=100,2×10000=20000, ∴当点 M 到边 OA 距离为 100m 时,地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大, 2 最大值为 20000m . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)若 b ? ?1 ,则 因函数 令

f ( x) ? ln x ?

1 1 1 x ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ,所以 f ?( x) ? ? 2 ? 1分 x x x x2

f ( x) ? ln x ?

b 的定义域为 (0, ??) , x

f ?( x) ? 0 得, x ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ·

所以当 0 ? 所以当 x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 1 时,函数 f ( x) 的极小值为 f (1) ? ln1 ? 1 ? 1 .函数 f ( x) 无极大值. ·

(Ⅱ) (ⅰ)因为函数

f ( x) 为 g ( x) ? ? ln x 的一个“上界函数” ,
b ? ? ln x 对 x ? 0 恒成立 x

所以

f ( x) ? g ( x) 对 x ? 0 恒成立, ? ln x ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? b ? 2x ln x 对 x ? 0 恒成立. · 令 h( x) ? 2 x ln x, h '( x) ? 2(ln x ? 1) ,

1 1 ) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ) 为减函数; e e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x ) 在 ( , ?? ) 为增函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 e e 1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 h( x) 的最小值为 h( ) ? ? ,· e e 2 故b ? ? ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 e
当 x ? (0,

2012-2013 高三数学(理科)答案 —10— (共 11 页)

? 0 ,则 f ( x) ? ln x . x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 因为函数 F ( x) 的图象与函数 f ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称,所以 F ( x) ? e ; · 10 分 x x 当 x ? (?2,??) 时,欲证函数 F(x)是函数 f ( ? 1) ? ? 1 的“上界函数” , 2 2 1 1 只需证不等式 F ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 对 x ? (?2,??) 恒成立, 2 2 1 1 ? e x ? ln( x ? 1) ? x ? 1对 x ? (?2,??) 恒成立, 2 2 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? e x ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0 对 x ? (?2,??) 恒成立, · 2 2 1 1 x 方法一:构造函数 H ( x) ? e ? x ? ln( x ? 1) ? 1 , x ? (?2,??) , 2 2 1 1 x 所以 H ?( x) ? e ? ? ,又 H ?(0) ? 0 2 x?2 1 1 1 1 ? x ? (?2,0) 时, e?2 ? e x ? 1, ? ,? H ?( x) ? e x ? ? ? 0, x?2 2 2 x?2 1 1 1 1 ? x ? (0, ??) 时, e x ? 1, 0 ? ? ,? H ?( x) ? e x ? ? ? 0, x?2 2 2 x?2 所以函数 H ( x) 在 (?2,0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? H ( x)min ? H (0) ? 0 . 1 1 x 方法二:构造函数 H ( x) ? e ? x ? ln( x ? 1) ? 1 , x ? (?2,??) , 2 2 1 1 1 1 1 x x 所以 H ?( x) ? e ? ? ,记 K ( x) ? e ? ? ,? K ?( x) ? e x ? ?0 2 x?2 ( x ? 2) 2 2 x?2 ? K ( x) 为增函数,即 H ?( x) 在 x ? (?2, ??) 上为增函数,又 H ?(0) ? 0 ? x ? (?2,0) 时, H ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 时, H ?( x) ? 0 所以函数 H ( x) 在 (?2,0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? H ( x)min ? H (0) ? 0 , 1 1 x 所以当 x ? (?2,??) 时, e ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0 恒成立, 2 2 x x 即当 x ? (?2,??) 时,函数 F(x)是函数 f ( ? 1) ? ? 1 的一个“上界函数” . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 2
(ⅱ) 若 b

2012-2013 高三数学(理科)答案 —11— (共 11 页)


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