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平面向量的线性运算复习课课件


2.2 平面向量的线性运算(复习课)

学案导学

合作共享

案例剖析
总结规律

反馈矫正
形成能力

课堂小结
布置作业

自主建构

交流提升

复习目标:
? 1、掌握向量加、减法的运算,并理解其几何 意义. ? 2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义, 以及两个向量共线的含义. ? 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.

重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义. 难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的
问题.

一、学案导学 自主建构
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b
a a

b
O. B

o.
a+b A B
A

a+b
C

向量加法的运算法则
? ⑴. 对于零向量和任一向量 a ,有
⑵对于相反向量,有

? ? ? ? ? a ?0 ? 0?a ? a
C

? ? ? ? ? a ? (?a) ? (?a) ? a ? 0 ? ? ? ? ⑶加法交换律 a ? b ? b ? a
向量加法的平行四边形法则 ⑷加法结合律

? b

? ? a?b
? a

? a

Bb ? a
? b

O

A
? c

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? ? ? ? ? b?c B a?b?c ? ? ? b ?a ? b O a A

C

复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b

a

-b

a

b

o.
A B A

o.
a-b

B

复习3:向量的数乘
如图,已知向量 a,作向量3a和-3a.

a O a -a B -a -a -a P
PB= (-a)+(-a) )+(-a) =-3a

a

a

A

OA= a+a+a =3a

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)(? a ) ? ( ?? )a; ?

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) ? ? ?a a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

复习4:平面向量共线定理
?向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且只有一 个实数λ,使得b=λa .

向量表 示:

a∥b

a=λb (λ∈R且b≠0)

二、合作共享 交流提升

1、填空题:

(1) AD ? CA ?

CD

(2) AB ? CB ? DC ?

AD

(3) AB ? AC ? BD ? CD ? 0
则?BAD ? ___

??? ???? ??? ???? ? ? (4)在平行四边形ABCD中,若 AB ? AD ? AB ? AD

90°

2、判断题:
(1)相反向量就是方向相反的向量 (2) (3)

? (4) 在△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ? (5)若 AB ? BC ? CA ? 0,
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。

? AB ? BA ? 0 AB ? OA ? OB

(错)

(对 )
(错 ) (对 )

(错)

??? ? ??? ? ??? ? 3、若OA ? 3OB ? 2OC, 则A, B, C三点是否共线 ??? ? ??? ? BA ? 2CB

三、案例剖析 总结规律

例1:根据条件判断下列四边形的形状

1 梯形 (1) AD ? BC 平行四边形ABCD (2) AD ? BC ABCD 3 (3) AD ? BC, 且 AB ? AD
(4)OA ? OC ? OB ? OD; (O是四边形所在平面内一 点)

(5) AC ? AB ? AD
(6)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 并且AO ? OC, DO ? OB

例2、 如图,在 ?OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA ? a, ? b, 请用

a, b表示向量 , . OC DC

B

?D b ?E A 的联系,为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a, b

a

解:因为A是BC的中点,所以

O

C

2 2 5 DC ? OC ? OD ? OC ? OB ? 2a ? b ? b ? 2a ? b 3 3 3

1 OA ? (OB ? OC ), 即OC ? 2OA ? OB ? 2a ? b. 2

例3、如图,设?ABCD一边AB的四等分点 中最靠近B的一点为E,对角线BD的五等 分点中靠近B的一点为F,求证:E、F、C 三点在一条直线上.

图1

证明:在?ABCD 中,已知 E 为 BA 的靠近 B 的四等 分点,F 为 BD 的靠近 B 的五等分点. → =1BA,BF=1BD. → → → 所以BE 4 5 → → → → → 而BD=BC+CD=BC+BA, → =BF-BE=1(BC+BA)-1BA,所以EF= 1 BC → → → 又EF → → 5 → → 4 5 1→ -20BA. → =BC-BE=BC-1BA. → 同时,EC → → → 4 → =1(BC-1BA)=1EC. 于是EF 5 → 4 → 5 → 所以 E、F、C 三点在一条直线上.

四、反馈矫正 形成能力

跟踪训练:
? 1、有一边长为1的正方形ABCD,设 AB ? a, ? ? BC ? b , AC ? c

求: ?1? a ? b ? c


?2? a ? b ? c


?3? a ? b ? c
E

? b


? c

? c
O

? a

G



DB
F

2、已知A、B、C是不共线的三点,O是
??? ??? ??? ? ? ? △ABC内的一点,若 OA ? OB ? OC

= 0,

则O 是△ABC的——————
OA ? OB ? OC

(6)已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是 △ ABC 内的一点,若 则 O 是△ ABC 的

(填内心、重心、垂心、外心等). = 0,

1.外心:三角形三条垂直平分线的交点 (填内心、重心、垂心、外心等). 2.内心:三角形三条角平分线的交点 3.垂心:三角形三条高线的交点 4. 重心:三角形三条中线的交点

3、

五、课堂小结 布置作业
一、概念与定理 ① 向量加、减、数乘的定义、几何意义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线

二、知识应用: 1、求向量加、减、数乘运算 2.共线向量定理的应用: (1)证明 向量共线; (2)证明 三点共线: AB=λBC (3)证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合

A,B,C三点共线; 直线AB∥直线CD

课下作业:
1. 是非零向量,? 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 ? ? a 的方向相反 C. ? a ? a
2

? 设a

的方向相同 D. ? a ? ? a B. a与? a 2. 下列四个说法正确的个数有( C ).
? 对于实数 和向量a、 m b ,恒有m(a ? b ? ma ? mb; ) ? 对于实数 、n和向量a m ,恒有 m ? n)a ? ma ? na; ( ? 若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; ? 若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

???? ???? 3.矩形ABCD中,| AB |? 3,| BC |? 4 .则 ???? ???? 5 . | AB ? AD |?

向北偏东60?方向走10km 表示______________________ a?b ???? ???? | 5.在矩形ABCD中, AB |? 3 , BC |? 1 。则 | ???? ???? ???? 向量 AB ? AD ? AC 的长度等于 (D ) 则 A.2 B. 2 3 C.3 D.4

? ? 4.已知 a ? ? 表示向东走5 3 km, 表示向北走 5km, b

???? ???? ??? ? 6.在 ABCD中, ? DC ? BA等于 BC ???? ???? ???? ???? A. BC B. DA C. AB D. AC

( A)

7.如图D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中 点,则下列等式正确的是 ( D)
???? ???? ???? ???? ???? ???? ? A. FD ? DA ? AF B. FD ? DE ? FE ? 0 ???? ???? ???? ???? ???? ???? C. DE ? DA ? EB D. DE ? DA ? DF

C F D E

A

B

? ? ? ? ? ? ? 8. ?a , , ? b 为非零向量,且 a ? b 平分a b a 与 b 的夹角,则……………………( B ) ? ? ? ? A. a = b B. | a |=| b | ? ? C. a ⊥b D.以上都不对

9、O是平面内一定点,A、B、C是平面内
不共线的三个点,动点P满足 ??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC ??? ? ???? ), λ ?[0, ??) ? OP ? OA ? λ(| AB | | AC |

则P的轨迹一定通过△ABC的——心.

内心

10: 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

D

C

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2

N A M B


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