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带答案 数学北师大版选修2-3计数原理原理练习题 第一章 5习题课


习题课
一、基础过关

二项式定理
( )

1 2 2 n n 1 3 5 1. 已知 C0 n+2Cn+2 Cn+…+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn的值等于

A.64

B.32

C.63

D.31 ( )

2. 233 除以 9 的余数是 A.1 B.2 C.4 D.8

3. (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中 x3 项的系数是 A.74 B.121
2 3

(

)

C.-74
n

D.-121

4. 若(1+a)+(1+a) +(1+a) +…+(1+a) =b0+b1a+b2a2+b3a3+…+bnan,且 b0+b1 +b2+…+bn=30,则自然数 n 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 ( )

5. 若(x+3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10 的展开式中二项式系数的和,则 n 的 值为 A.15 B.10 C.8 D.5 ( )

6. (x+2)10(x2-1)的展开式中 x10 的系数为________. 二、能力提升 7. (1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则 a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7 等于( A.32 B.-32 C.-33 D.-31 ( D.4 ) )

8. (1- x)6(1+ x)4 的展开式中 x 的系数是 A.-4 B.-3 C.3

1 ?n 9. 已知(1+x+x2)? 常数项,n∈N*,且 2≤n≤8,则 n=________. .. ?x+x3? 的展开式中没有 10.求证:32n 2-8n-9 (n∈N*)能被 64 整除.


11.已知?

? x+ 2 ?n 3 ? 的展开式的前三项系数的和为 129,试问这个展开式中是否有常数项? x? ?

有理项?如果没有,请说明理由;如果有,求出这一项. 1 ?n 12.在二项式? ?2+2x? 的展开式中, (1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式 系数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数的和等于 79,求展开式中系数最大的项. 三、探究与拓展 13.若等差数列{an}的首项为 a1=C11 5m
-2m

? 5 2 3 2?n m-2 * -A2 ? 展开式中的 11-3m(m∈N ),公差是? - ? 2x 5 x ?

常数项,其中 n 为 7777-15 除以 19 的余数,求数列{an}的通项公式.

答案
1.B 2.D 3.D 8.B 9.5 10.证明 32n 2-8n-9=(8+1)n 1-8n-9
+ +

4.B 5.D 6.179 7.D

n 1 n n 1 =C0 +C1 n+18 n+18 +…+Cn+1-8n-9
+ +

n 1 n n 1 2 =C0 +C1 8 +8(n+1)+1-8n-9 n+18 n+18 +…+Cn+1·
+ -

n 1 n n 1 2 =C0 +C1 n+18 n+18 +…+Cn+18 ,
+ -

该式每一项都含因式 82,故能被 64 整除. n-r r 3n-5r r 11.解 ∵通项 Tr+1=Cr x · 2· x- =Cr 2r· x , n· n· 2 3 6
1 2 2 据题意,得 C0 2+Cn · 2 =129,解得 n=8, n+Cn·

24-5r ∴Tr+1=Cr 2r· x ,且 0≤r≤8. 8· 6 24-5r 由于 =0 无整数解,所以该展开式中不存在常数项. 6 又 24-5r 5r =4- , 6 6

24-5r ∴当 r=0,r=6 时, ∈Z, 6 即展开式中存在有理项,它们是: 1 792 - T1=x4,T7=26· C6 x 1= . 8· x
6 5 12.解 (1)由题意得 C4 n+Cn=2Cn,

∴n2-21n+98=0,∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5,

?1?4 3 35, ∴T4 的系数为 C3 7 2 2 = ? ? 2 ?1?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70. ? ?
35 故展开式中二项式系数最大的项的系数为 、70. 2 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,

?1?7 7 ∴T8 的系数为 C7 14 2 2 =3 432. ? ?
故展开式中二项式系数最大的项的系数为 3 432.
1 2 (2)由题意知 C0 n+Cn+Cn=79,解得 n=12.

设展开式中第 k+1 项系数最大,

1 12 ?12 ?1?12 因为? ?2+2x? =?2? (1+4x) ,
k 1 k 1 ? 4k≥Ck 4 , ?C12· 12 · 则? k k +1 k+1 ?C12· 4 ≥Ck 4 . ? 12 ·
- -

∴9.4≤k≤10.4. ∵k∈{0,1,2,…,12},∴k=10. 1?12 10 10 10 ∴系数最大的项为 T11,且 T11=? ?2? C12(4x) =16 896x .
?5m≥11-2m, ? 11 13 13.解 由题意得? ? ≤m≤ .∵m∈N*,∴m=2. 7 5 ? 11 - 3 m ≥ 2 m - 2 ?
2 ∴a1=C7 10-A5=120-20=100.

而 7777-15=(1+19×4)77-15
1 2 2 77 77 =C0 77+C77(19×4)+C77(19×4) +…+C77(19×4) -15 2 77 76 =(19×4)[C1 77+C77(19×4)+…+C77(19×4) ]+1-15 2 77 76 =(19×4)[C1 77+C77(19×4)+…+C77(19×4) ]-19+5.

∴7777-15 除以 19 余 5,即 n=5. 2 3 2 ?r ? 5 ?5-r? ∴Tr+1=Cr ? 5 2x ? ? ? ?-5 x ?
r 5r-15 ?5?5-2r· =Cr ( - 1) · x . 5·2 ? ? 3

令 5r-15=0,得 r=3,
3 ?5?-1· 得 T4=C3 5·2 ? ? (-1) =-4.

∴d=T4=-4. ∴an=a1+(n-1)d=100+(n-1)· (-4)=104-4n.


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