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人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质》教学课件2_图文

2.2.2 双曲线的简单几何性质 一、复习回顾: 1.双曲线的标准方程: 形式一: x2 ? y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) a2 b2 (焦点在x轴上,F(1 -c,0)、F(2 c,0)) 形式二: y2 x2 a2 ? b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) (焦点在y轴上,F(1 0,-c)、F(2 0,c)) 其中 c2 ? a2 ? b2 2.椭圆的图像与性质: 标准 方程 x2 y2 a2 ? b2 ? 1 范 围 |x|?a,|y|≤b 对称性 关于X,Y轴, 原点对称 顶点 (±a,0),(0,±b) A1 焦 点 (±c,0) F1 对称轴 离心率 A1A2 ; B1B2 e? c a Y B2 o B1 A2 F2 X 二、讲授新课: 一、研究双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 1、范围 ? x2 a2 ? 1,即x2 ? a2 ?x ? a, x ? ?a (-x,y) y (x,y) -a o a x 2、对称性 (-x,-y) (x,-y) 关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 顶点是A1(?a,0)、A2 (a,0) (2)如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 (3)实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 x2 ? y2 ? m(m ? 0) y b B2 A1 -a o a A2 x -b B1 4、离心率 (1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e ? c ,叫做 a 双曲线的 离心率。 (2)e的范围: ? c>a>0 ? e >1 (3)e的含义: e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大! b? c2 ? a2 ? ( c )2 ?1 ? e2 ?1 a a a ?当e ?(1,? ?)时,b ? (0,? ?),且e增大, b 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴的夹角增大 双曲线 x2 ? y2 ? 1 16 9 y (1)范围: x ? ?4或x ? 4, y ? R (2)顶点坐标: A1(?4,0), A2 (4,0) F1? ? A1 O A2? ?F2 x (3)焦点坐标: F1(?5,0), F2 (5,0) (4)离心率: e ? c ? 5 a4 思考:y ? 1 的图像是什么? 图像无限靠近x轴和y轴 x x轴, y轴叫做y ? 1 的渐进线. x 5、渐近线 双曲线 x2 ? y2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a2 b2 y??b a x2 ? a2 ? ? b | x | a a2 1? x2 ??bx a 1 ? a2 x2 y 当x ? ?时, a2 x2 ? 0. 说明: O 当x ? ?时,双曲线上点的纵坐标 与y ? ? b x的纵坐标很接近. a 即y ? ? b x a 1? a2 x2 与y1 ? ? b a x中,当x ? ?时, y ? y1. y?bx a x y ??b x a 双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1, (a ? 0,b ? 0) 直线y ? ? b x叫做双曲线的渐进线. a x2 ? y2 ? 1的渐进线为: y ? ? 3 x 43 2 x2 ? y2 ? 1的渐进线为: y ? ?x 22 等轴双曲线 e ? 2 y y?bx a O x y ??b x a 焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程: x 2 a2 ? y2 b2 ?1 1、范围:x≥a或x≤-a Y 2、对称性:关于x轴,y轴,原点对称。 B2 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0) A1 4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程:y ? ? b x 6、离心率:e= c a a X A2 B1 图形 方程 范围 y . .B2 F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 x ? a 或 x ? ?a,y ? R .. y A2 F2 B2 B1 A1 O F1 F2(0,c) x F1(0,-c) y2 ? x2 ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a2 b2 y ? a 或 y ? ?a,x ? R 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线 A1(- a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) e ? c (e ? 1) a e ? c (e ? 1) a 如y ?何?记b x忆双曲线的渐进线方y ?程? ?a x a b 例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2-9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2-4y2=100. 5x±2y=0 例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为20m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m). C′ A′ y 13 C 12 0 Ax B′ 20 B