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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练35 一元二次不等式 文


计时双基练三十五
x ? ? ,x≥0, 1.已知 f(x)=?2 ? ?-x2+3x,x<0,
A.{x|x≥4} C.{x|-3<x<0} 4 解析 f(4)= =2,不等式即为 f(x)<2。 2 当 x≥0 时,由 <2,得 0≤x<4; 2

一元二次不等式

A 组 基础必做

则不等式 f(x)<f(4)的解集为(

)

B.{x|x<4} D.{x|x<-3}

x

当 x<0 时,由-x +3x<2,得 x<1 或 x>2,因此 x<0。 综上,x<4。故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}。 答案 B 2.(2016·汉中模拟)不等式 A.(-∞,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析 1 1 x ≥-1? +1≥0? ≥0, x-1 x-1 x-1 ? x≤0 或 x>1。 1

2

x-1

≥-1 的解集为(

)

所以?

? ?x?x-1?≥0, ?x-1≠0 ?

答案 A 3.函数 f(x)= 1 的定义域是( 2 ln?-x +4x-3? )

A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3) 解析
? ?-x +4x-3>0, 由题意知? 2 ?-x +4x-3≠1, ?
2

? ?1<x<3, 即? ?x≠2, ?

故函数 f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)。 答案 D
1

4. 关于 x 的不等式 x -(a+1)x+a<0 的解集中, 恰有 3 个整数, 则 a 的取值范围是( A.(4,5) C.(4,5] 解析 B.(-3,-2)∪(4,5) D.[-3,-2)∪(4,5]

2

)

原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当 a>1 时,得 1<x<a,此时解集中的整数为

2,3,4,则 4<a≤5,当 a<1 时,得 a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0,则-3≤a<-2, 故 a∈[-3,-2)∪(4,5]。 答案 D 5.已知函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3,或 x>1},则函数 y =f(-x)的图像可以为( )
2

A.

B.

C.

D.

解析 由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3,或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图像与 x 轴交点为(- 3,0),(1,0),所以 f(-x)图像开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0)。 答案 B 6.若函数 f(x)=(a +4a-5)x -4(a-1)x+3 的图像恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围 是( ) A.[1,19] C.[1,19)
2 2 2

B.(1,19) D.(1,19]
2

解析 函数图像恒在 x 轴上方, 即不等式(a +4a-5)x -4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈R 恒成立。 (1)当 a +4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1。若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足 题意;若 a=1,不等式化为 3>0,满足题意。 (2)当 a +4a-5≠0 时,应有
? ?a +4a-5>0, ? 2 2 ?16?a-1? -12?a +4a-5?<0, ?
2 2 2

解得 1<a<19。

综上可知,a 的取值范围是 1≤a<19。 答案 C
2

7.(2015·江苏卷)不等式 2x -x<4 的解集为________。 解析 2x -x<4,即 2x -x<2 ,所以 x -x<2,即 x -x-2<0,所以(x-2)(x+1)<0。 解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2))。 答案 {x|-1<x<2}(或(-1,2)) 8.若不等式 解析
2 2 2 2 2

2

k-3 >1 的解集为{x|1<x<3},则实数 k=________。 x-3

k-3 k-3 x-k >1,得 1- <0,即 <0, x-3 x-3 x-3

(x-k)(x-3)<0,由题意得 k=1。 答案 1 9 .若关于 x 的不等式 4 - 2 ________。 解析 ∵4 -2 ∴4 -2
x x+1 x x+1 x x+1

- a≥0 在 [1,2] 上恒成立,则实数 a 的取值范围为

-a≥0 在[1,2]上恒成立,

≥a 在[1,2]上恒成立。
x+1

令 y=4 -2

x

=(2 ) -2×2 +1-1=(2 -1) -1。
x

x 2

x

x

2

∵1≤x≤2,∴2≤2 ≤4。 由二次函数的性质可知:当 2 =2,即 x=1 时,y 有最小值 0。∴a 的取值范围为(-∞, 0]。 答案 (-∞,0] 10.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}。 (1)求 a,b; (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0。 解 (1)因为不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 所以 x1=1 与 x2=b 是方程
2 2 2

x

ax2-3x+2=0 的两个实数根,且 b>1。
3 ? ?1+b=a, 由根与系数的关系,得? 2 ?1×b=a。 ?
2

解得?

? ?a=1, ?b=2。 ?

(2)由(1)知不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 为 x -(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0。 ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?。 综上所述:当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式的解集为?。
3

2

11.已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取 值范围。 解 解法一:f(x)=(x-a) +2-a ,此二次函数图像的对称轴为 x=a。
2 2

2

①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,

f(x)min=f(-1)=2a+3。要使 f(x)≥a 恒成立,
只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a , 由 2-a ≥a,解得-1≤a≤1。 综上所述,所求 a 的取值范围是[-3,1]。 解法二:令 g(x)=x -2ax+2-a,由已知, 得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, Δ >0, ? ? 即 Δ =4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ?g?-1?≥0。
2 2 2 2 2

解得-3≤a≤1。所求 a 的取值范围是[-3,1]。 B 组 培优演练 1.已知 a∈[-1,1],不等式 x +(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) 解析 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数, 记 f(a)=(x-2)a+(x -4x+4), 则 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立, 易知只需 f(-1)=x -5x+6>0 ①, 且 f(1)=x -3x+2>0 ②即可, 联立①②,解得 x<1 或 x>3。 答案 C 2.若不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则 a 的取值范围是(
2 2 2 2 2

)

)

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ?
C.(1,+∞)
2

? 23 ? B.?- ,1? ? 5 ?
23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

解析 由 Δ =a +8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有

4

23 一正根、一负根。于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0,解得 a>- ,故 a 5

? 23 ? 的取值范围为?- ,+∞?。 ? 5 ?
答案 A 3. 某种产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x ,
2

x∈(0,240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时的最低产量是________台。
解析 由题意知 3 000+20x-0.1x -25x≤0, 即 0.1x +5x-3 000≥0, ∴x +50x-30 000≥0, ∴(x-150)(x+200)≥0。 又 x∈(0,240), ∴150≤x<240, 即生产者不亏本时的最低产量为 150 台。 答案 150 4.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n)。 (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小。
2 2 2 2

a



(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),

当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)·(x-2)>0。 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}。 (2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴x-m<0,1-an+ax>0。

a

∴f(x)-m<0,即 f(x)<m。

5


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