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高中数学 第八章 与圆锥曲线有关的几种典型题教学案 苏教版


与圆锥曲线有关的几种典型题 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关 的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等. (二)能力训练点 通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学,培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力. (三)学科渗透点 通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教学,使学生掌握一些相关学科中的类似问题的 处理方法. 二、教材分析 1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关 的证明问题. (解决办法:先介绍基础知识,再讲解应用.) 2.难点:双圆锥曲线的相交问题. (解决办法:要提醒学生注意,除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.) 3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题. (解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以 及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.) 三、活动设计 演板、讲解、练习、分析、提问. 四、教学过程 (一)引入 与圆锥曲线有关的几种典型题, 如圆锥曲线的弦长求法、 与圆锥曲线有关的最值(极值) 问题、 与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等, 在圆锥曲线 的综合应用中经常见到, 为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解, 今天来讲一下 “与圆锥曲线有关的几种典型题”. (二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1.圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦 长|AB|为: (2)若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. A、B 两点,旦|AB|=8,求倾斜角α . 分析一:由弦长公式易解. 由学生演板完成.解答为: ∵ 抛物线方程为 x2=-4y, ∴焦点为(0,-1). 设直线 l 的方程为 y-(-1)=k(x-0),即 y=kx-1. 将此式代入 x2=-4y 中得:x2+4kx-4=0. ∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k. ∴ k=±1. ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p. 由上述解法易求得结果, 由学生课外完成. 2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求 出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围. 已知 x2+4(y-1)2=4,求: 例2 (1)x2+y2 的最大值与最小值; (2)x+y 的最大值与最小值. 解(1): 将 x2+4(y-1)2=4 代入得: x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y 由点(x,y)满足 x2+4(y-1)2=4 知: 4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1. ∴0≤y≤2. 当 y=0 时,(x2+y2)min=0. 解(2): 分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令 u=x+y,则将此代入 x2+4(y-1)2=4 中得关于 y 的一元二次方程,借助于判别式可求得最值. 令 x+y=u, 则有 x=u-y. 代入 x2+4(y-1)2=4 得: 5y2-(2u+8)y+u2=0. 又∵0≤y≤2,(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0. 3.与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平

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