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高中数学必修1-5习题


第一章

集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组

1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为________. 2.若? {x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是________.

3.已知集合 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 B={x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关系是 ________. 4.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图 是________.

5.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要 条件,则实数 a 的取值范围是________. 6.已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又 C={x|x =4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合?

B组
a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q ={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N M,那么 a 的值是________. 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、 6 2 3 2 6 B、C 之间的关系是________. 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 8.设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为________. 9.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的 一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤 立元”的集合共有________个. 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围.

第二节

集合的基本运算 A组

1.设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=____.
1

2.设集合 A= {4,5,7,9},B= {3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合 ? U(A∩B)中的元素共有 ________个. 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=________. 4.设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x≤2},B= {y|y≥0},则 A?B=________. 5.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 6.已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围.

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 3.(济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则 M∩(? UN)=________. 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 5. (高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素. 若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 6.(高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的 倍数},则?U(A∪B)=________. x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A y ?B)?C 的所有元素之和为________. 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4= x,y)|y=3x+b},则 b=________. 9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 6 11.已知函数 f(x)= -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为 x+1 集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}.

第二章

函数

第一节

对函数的进一步认识

A组

-x2-3x+4 1.函数 y= 的定义域为________. x 2.如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标 1 分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( )的值等于________. f(3) x ? 3 , x ≤ 1 , ? 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1. ? 4.函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有 ________个. 5.由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)
2

=(b1,b2,b3),则 f(2,1,-1)=________.

? ?1+x 6.已知函数 f(x)=? x +1 ? ?2x+3
2

1

(x>1), (-1≤x≤1), (x<-1). (1)求 f(1-

1 ),f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x 2-1

3 -1);(3)若 f(a)= , 求 a. 2 B组 1 1.函数 y= +lg(2x-1)的定义域是________. 3x-2 -2x+1,(x<-1), ? ? 2.函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2), ? ?2x-1,(x>2), 3 则 f(f(f( )+5))=_. 2

3. 定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则 f(x)的解析式为________. 4. 设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1, 则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________ 个. ?2 (x>0) ? 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)的解析式为 ?x +bx+c (x≤0) ? f(x)=________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个. 1 6. 设函数 f(x)=logax(a>0, a≠1), 函数 g(x)=-x2+bx+c, 若 f(2+ 2)-f( 2+1)= , g(x) 2 的图象过点 A(4, -5)及 B(-2, -5), 则 a=__________, 函数 f[g(x)]的定义域为__________. 2 ? x - 4 x + 6 , x ≥ 0 ? 7.设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. ?x+6,x<0 ?
?log2(4-x), x≤0, ? 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为________. ? ?f(x-1)-f(x-2), x>0,

9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分 钟内只进水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间 函数的函数关系是________.

10.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 11. 已知 f(x+2)=f(x)(x∈R), 并且当 x∈[-1,1]时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z) 时、f(x)的解析式. 12.在 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了包括美国 在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的总任务, 已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型
3

装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所 需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?

第二节

函数的单调性

A组 1.(高考福建卷改编下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是________. 1 ①f(x)= x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)

2.函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1) 的单调减区间是________. 3.函数 y= x-4+ 15-3x 的值域是________. a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的 e 取值范围__. 5.(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下 界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________. 1 (x>0) ? ? ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=e ;④f(x)=?0 (x=0) ? ?-1 (x<-1)
x

6.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. B组 1.下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

2 .若函数 f(x) = log2(x2 - ax + 3a) 在区间 [2 ,+∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 f(x2)-f(x1) 4.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则下列 x2-x1 结论正确的是________. ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2)
?ax (x<0), ? f(x1)-f(x2) 5.已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a x1-x2 ? ( a - 3) x + 4 a ( x ≥ 0) ?

的取值范围是________.
4

6.函数 f(x)的图象是如下图所示的折线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2), 点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大值为 ________. 7.已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y= f(cos x)的值域是________. 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是 ________. 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间 2 为__________. 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 x1 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2 (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三 x 个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在,求 出 a、b;若不存在,说明理由.

第三节

函数的性质

A组 1 .设偶函数 f(x)= loga|x - b|在 ( -∞,0) 上单调递增,则 f(a+ 1)与 f(b+ 2)的大小关系为 ________. 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数, 则 f(1)+f(4)+f(7)等于___. 3. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则 f(-25)、 f(11)、f(80)的大小关系为________. 1 4. 已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是________. 3 5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 对 x∈R, f(2+x)=f(2-x), 当 f(-3)=-2 时, f(2011) 的值为________. 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函 数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值 -5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析 式. B组 1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是______. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1) 2 +f(2)+?+f(2009)+f(2010)=________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得 到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)=________. 4.(湖南郴州质检)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)= 0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 5.(高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2) =f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________.
5

6. (江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数, 并且对于定义域内任意的 x, 满足 f(x+2)=-

1 , f(x)

若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. 7. (安徽黄山质检)定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞, a]上是增函数, 函数 y=f(x+a)是偶函数, 当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小关系为________. 8. 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x(x+1). 若 f(a)=-2, 则实数 a=________. 9.(高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 =________. 10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如 1 + 果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 的 2 2 个数.

第三章

指数函数和对数函数
- -

第一节

指数函数

A组

1.若 a>1,b<0,且 ab+a b=2 2,则 ab-a b 的值等于________. 2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范 围是________. 5.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等 于________. -2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. B组 x 1.如果函数 f(x)=a +b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限, 那么一定有________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 - 2. (保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范 围是________. 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1); f ( - 1) f(1) 5 ②g(x)≠0;若 + = ,则 a 等于________. g(1) g(-1) 2 - - 1 4. 已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), 其反函数为 f 1(x). 若 f(2)=9, 则 f 1( )+f(1)的值是_____. 3 1x 5.已知 f(x)=( ) ,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表 3 达式为________. - ex+e x 6.函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

6

1 7. 已知函数 f(x)满足: 当 x≥4 时, f(x)=( )x; 当 x<4 时, f(x)=f(x+1), 则 f(2+log23)=______. 2 8 . 设 函数 y = f(x) 在 ( -∞ , +∞) 内 有 定义 , 对于 给 定 的正 数 K , 定义函 数 fK(x) = ?f(x),f(x)≤K, ? 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2 ? K , f ( x )> K . ? 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是 ________.

10.已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的 值. -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1 (2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. - - 12.(高考江苏)若 f1(x)=3|x p1|,f2(x)=2· 3|x p2|,x∈R,p1、p2 为常数,且 ? ?f1(x),f1(x)≤f2(x), f(x)=? (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 ?f2(x),f1(x)>f2(x). ? p1、p2 表示);(2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证: b-a 函数 f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n- 2 m).

第二节
x

对数函数

A组 1.若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x)= ________. 2.设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________.

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
4. 如图所示, 若函数 f(x)=ax
-1

1 的图象经过点(4,2), 则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

7

1 5.已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 2 6.若 f(x)=x -x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相 应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. B组 x+3 1.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点________. 10 2.对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) ②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2);③ >0;④f( )< .上述结论中正确结论的序号 2 2 x1-x2 是________. 3.对任意实数 a、b,定义运算“*”如下: ? ?a(a≤b) a*b=? ,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) ? 2 4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 若 g(a)=1,则实数 a 的值为________. 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| x 6.若 x1 满足 2x+2 =5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方程 f(x)=log2x 根的个数是________. 8.已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.

9. 已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),则 x12+x22 的值为________. kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1+x 11.已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围.

第三节

幂函数与二次函数的性质

A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________. 2.下列图象中,表示 y=x 的是________.
2 3

8

3.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________.
1 1 1 1

①2x>x 2 >lgx ②2x>lgx>x 2 ③x 2 >2x>lgx 2 4.函数 f(x)=|4x-x |-a 恰有三个零点,则 a=__________.
1

④lgx>x 2 >2x

5.方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________. 6.设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. B组 1 1.幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值是_________. 8 2.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: 1 x 1 2 2 f(x) 1 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 1 ? ?x(x>0), 3. 设 k∈R, 函数 f(x)=? F(x)=f(x)+kx, x∈R.当 k=1 时, F(x)的值域为______.

?ex(x≤0), ?

?-2 (x>0), ? 4. 设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0), f(-2)=0, 则关于 x 的不等式 f(x)≤1 ?x +bx+c (x≤0), ? 的解集为__________. ?x2+4x, x≥0, ? 5.(高考天津卷改编)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值 2 ?4x-x , x<0. ? 范围是__________. 6.设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t)) (s,t∈D)构成一个正方形区域,则 a 的值为__________. ?-2+x,x>0, ? 7.已知函数 f(x)=? 2 若 f(0)=-2f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点 ? ?-x +bx+c,x≤0. 的个数为__________. 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实 根.其中正确的命题是__________. 9. 对于区间[a, b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x), 如果对于区间[a, b]中的任意数 x 均有|f(x) -g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x) =x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”, 则它的一个密切区间可能是___. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]

9

10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. a b 3 11.设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证:(1)a>0 且-3< <- ;(2)函 2 a 4 57 数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设 x1、 x2 是函数 f(x)的两个零点, 则 2≤|x1-x2|< . 4 2 12.已知函数 f(x)=ax +4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2, 方程 f(x)=x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式;(2)若 a、b 均为负整数, 且|α-β|=1,求 f(x)的解析式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 第四节 函数的图像特征 A组 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙: 函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. x x 2.函数 y= · a (a>1)的图象的基本形状是_____. |x|

1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为 5 __________(正负情况). 4.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____.

5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y=2x 的图象如图所示,则当 x≤0 时,不等 式 2x· x2≥1 的解集是__________.

?3-x 2, x ∈[- 1,2] , 6.已知函数 f(x)= ? . ?x-3, x ∈(2,5]
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. B组
10

1-x 1.函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+ x

2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快 实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运 输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中,运 输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y =4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________. 4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x) =log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运输机的余油量为 Q1(吨),加油机加油 箱内余油 Q2(吨),加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图.若运输 机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地,问运输机的油料是否够用?________. 6. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), 且 x∈(-1,1]时, f(x)=|x|, 则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为__________.
m

7. 函数 y=x n (m, n∈Z, m≠0, |m|, |n|互质)图象如图所示, 则下列结论正确的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调 性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1 ? ?2x+1,x≥0 ③y=? 3 ?x +1,x<0 ?
11

x ? ?e ,x≥0 ④y=? -x ?e ,x<0 ?

9.已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称,且图象 C′关于点 (2,-3)对称,则 a 的值为__________. 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对 2 2 a+ a 称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的 a 2 2 x ax-1 图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于 直线 y=x 对称.

第四章

函数应用

A组

?x(x+4),x<0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ? ?x(x-4),x≥0. 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.

x ex x+2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数是__________. 4.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价 表如下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位:元/千 (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:千瓦时) 瓦时) 时) 0.568 0.288 50 及以下的部分 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 0.598 0.318 超过 50 至 200 的部分 分 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 5.已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为_______.

? ?0.1+15lna-x,x≤6, 6.有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? ? x-4 ,x>6,
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示 对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] ,
12

a

(127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. B组 1.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ________ 1 1 ①y=2x-2 ②y=( )x ③y=log2x ④y= (x2-1) 2 2 2.函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部分数 据如下: t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟. 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该 1 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将 2 会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 6. 某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每 千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元, 则此次出租车行驶了________km. 7.(绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案, 他分别以 A、 B、 C、 3 D 为圆心,以 b(0<b≤ )为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方 2 形边上的连线)构成了丰富多彩的图形, 则这些图形中实线部分总长度的最小值为________. 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg,火箭(除燃 料外 ) 的质量 m kg 的函数关系是 v = 2000· ln(1 + M/m) .当燃料质量是火箭质量的 ________倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s. 1 ? ?|x-1|, x≠1 1 9. 定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 2 ? ?1, x=1 个不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于________. 10.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾客在该商场内 消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:, [200, [400,500) [500,700) [700,900) 消费金额(元)的范围 ? 400) 30 60 100 130 获得奖券的金额(元) ? 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的 商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).设购买商品的优惠 购买商品获得的优惠额 率= .试问: 商品的标价 (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
13

1 (2)对于标价在[500,800)(元)的商品, 顾客购买标价为多少元的商品时, 可得到不小于 的 3 优惠率? 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危 机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工 待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗 员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企业 81 多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 100x 12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 13 万元/辆, 年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应 增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年 3 利润最大?最大利润为多少?

第五章三角函数

第一节

角的概念的推广与弧度制

A组

π 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动 弧长到 3 达 Q 点,则 Q 点的坐标为________. 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 3.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 3 5.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα= ,则 a 的值为________. 4 2 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα 的 4 值. B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. θ 4.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,则在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角的集合 3 为__________. 5.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 是第________象限. 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. y 7.若点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为________. x 3π 3π 8.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 4 4 2 9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0, 5 则 k 的值为________. 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及 该弧所在的弓形面积.
14

11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值.

第二节

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A组 3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 4 2.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 5sinx-cosx 4.已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5.若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ),求 cosα,sinα 的值. 169 4 2 B组 2 1.已知 sinx=2cosx,则 sin x+1=________. 10π 2.cos =________. 3 3 π sin2α 3.已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α sinα+cosα 4.若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα π 5.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 8.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________. 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α) 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 内角. 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2) π cos( -α)· sin(π+2α) 2 若 a⊥b,且 m=0,求 的值. cos(π-α)

第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组

π 1.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是. 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2
15

③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 2.函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 π ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 2 π ④最小正周期为 的偶函数 2 π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 π 4 .已知函数 f(x) = asin2x + cos2x(a∈R) 图象的一条对称轴方程为 x = ,则 a 的值为 12 ________. π 5.设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x) 3 图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 3 6.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 π 2.给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有 3 性质 ab 的是________. x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6 π π 3.若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. 4 2 2 4.函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 3 2π 2π 5.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大值为________. 3 3 π π 6. 设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称, 若 x0∈[- , 0], 则 x0=________. 3 2 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是 2 3 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最 2 高点),则正整数 t 的最小值是________. 9.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离 等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x) π π 图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x) 6 3 -m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. 11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6
16

ωx +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函 2 数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB +cos(A-C),求 sinA 的值. 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2

第四节

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组 1.(高考浙江卷改编)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2. (高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后, 得到函数 y=sin(x π - )的图象,则 φ 等于________. 6 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函 数,则 φ 的最小值为________. 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中, 正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________. π 6.(苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 2 π 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . (1)求 ω; 6 π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 6 的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. B组 1. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, -π≤φ<π)的图象如图所示, 则 φ=________. 2.(南京调研)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ= ________. π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 4 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象________.
17

π 2 4. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示, f( )=- , 则 f(0)=________. 2 3 π 5.将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的 3 π 图象关于点(- ,0)中心对称. 12 ?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的图象向 6.(深圳调研)定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? 左平移 m 个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. π π 7.(高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函 4 6 π 数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6 π π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, 3 2 2 3π 5π 5π ]上单调递增;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是 2 4 6 ________. πx 9.(高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 2π 10.(高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1)求 ω 的 3 π 值;(2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单 2 调增区间. π 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上一个最 2 2π 低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 π 12.(高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数.

第六章
第一节
1.已知 sinα=

三角恒等变形
同角三角函数的基本关系
A组

5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) π 4 7π 4.已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 π π 5.定义运算 a b=a2-ab-b2,则 sin =________. 12 12
18

π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 B组 cos2α 1+tanα · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2 π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, sinα), b=(1,2sinα-1), α∈( , π), 若 a· b= , 则 tan(α+ )的值为________. 2 5 4 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 cos20° 10.求值: · cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° . sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 5 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A, B, C, 若 f(A)= , f(B) 13 3 = ,求 f(C)的值. 5 π π 1 4 12.已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 1.

第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 cos10° + 3sin10° 3.计算: =________. 1-cos80° 4.(高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 1 1 2 5.函数 f(x)=(sin2x+ )的最小值是________. 2 )(cos x+ 2010sin x 2010cos2x π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2

19

π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 1 2.若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 2 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 2cos5° -sin25° 7.(无锡质检) 的值为________. cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 1-cos2α 1 9.已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 sin2α+cos2(π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆 3 4 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角形,若点 A 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α sinA+sinB 12.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= ,sin(B-A) cosA+cosB =cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c.

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