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广东省揭阳一中2013-2014学年高一下学期第二次阶段考数学试题 Word版含答案


揭阳一中 2013—2014 学年度第二学期高一级第 2 次阶段考 试 数学科试卷
一、选择题 (共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在四个备选项中, 只有一项符合题目要求) 1. (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

) ?(
C.

)

A. ?

3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2

正视图

侧视图

2.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( ) A.

? 4

B.

5? 4

C. ?

D. )

3? 2

俯视图

3.函数 f ( x) ? ln x ? A. ?1, 2 ?

2 的零点所在的大致区间是( x
B. ? 2,3? C. ? 1, ?

? 1? ? e?

D. ? e, ?? ?

4.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题: ①

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?
m ??? ? ?? ? ? m // ? ?




? ? ?? ??m? ? m // ? ?
m // n ? ? ? m // ? n ???
C. ①③ D. ②④ ) D. ( ?2,?4)





其中,真命题是( A.①④

B.②③

2) , b ? (?2,m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? ( 5.已知平面向量 a ? (1, A. (?5,?10) B. ( ?4,?8) C. ( ?3,?6)

6.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为( A. ? 2 B. 3 C. 4 7.若 sin A ? 2sin B cos C , 那么 ?ABC 是( A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )

) D. 8

频率 组距
0.04 0.03 0.02 0.01 分 数 60 70 80 90 100 110 车速 5

8.为了了解某地参加计算机水平测试的 1000 名学生的成绩, 从中随机抽取 200 名学生进行统计分析,分析的结果用右图的频率分布直方图表示,则 估计在这 1000 名学生中成绩小于 80 分的人数约有( )

A.100 人

B.200 人

C.300 人

D.400 人

9.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 9 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.相切



D.不确定

10.已知 f ( x) ? a x , g ( x) ? log a x(a > 0且a ? 1) ,若 f (1) ? g (2) ? 0 ,那么 f ( x) 与 g ( x) 在同一坐标系内的图像可能是( )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们所有 甲 6 9 8 比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示, 则甲、乙两名运动员 5 7 9 3 4 6 得分的中位数分别为 和 . 2 1 12.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,设 AB ? c, BC ? a, CA ? b ,则 乙 8 5 13 0 0

0 1 2 3 4

7 1 2 1 0

a ?b ? b?c ? c ?a ?
13. 已 知 函 数 y ? a
1? x

.

(a ? 0,a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 与 点 B(m,0) 、

C (0, n)( m ? n, mn ? 0) 在同一直线上,则
14.给出下列命题:

1 1 ? 的值为 m n
3 2

.

①存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 1 ; ②函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数; ③x?

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

5 ? ) 的一条对称轴的方程; 4

④若 ? 、 ? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin? ? sin ? . 其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? x(? ? 0) 的最小正周

期为

2? 3

(1)求 ? 的值;

(2)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x ) 的图像向右平移 单调增区间.
w.w.w.k.s.

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的 2

16. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l 经过点 D(?2,0) , (1)求以线段 CD 为直径的圆 E 的方程; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,且 ?ABC 为等腰直角三角形,求直线 l 的方程. 17.(本小题满分 14 分)如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, C1 B1 A1

AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点.
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 // 平面CDB1 (3)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积.

C B A D

18.(本小题满分 14 分) “世界睡眠日”定在每年的 3 月 21 日,2009 年的世界睡眠日主题 是 “科学管理睡眠” , 以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某网站于 2009 年 3 月 13 日到 3 月 20 日持续一周网上调查公众日平均睡眠的时间(单位:小时),共有 2000 人参加调查,现将数据整理分组后如题中表格所示. (1)求出表中空白处的数据,并将表格补充完整; (2)画出频率分布直方图; (3)为了对数据举行分析,采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图,求输 出的 S 值。

序号

(i)
1 2 3

分组睡 眠时间

组中值

(mi )
4.5 5.5 6.5

频数 (人数) 80 520 600

频率

开始 S=0

( fi )
( 0.26 0.30 )

[4,5) [5, 6) [6, 7)

i =1 输入mi,fi

S=S+mi×f i 否

i =i+1

i >=6? 是 输出S 结束

4 5 6

[7,8)

7.5 8.5 9.5

( 200 40

)

( 0.10 0.02

)

[8,9)
[9,10]

19. (本小题满分 14 分)已知向量 a ? (sin(? ? ?x), cos ?x) , b ? (1,? 3 ) ,且 f ( x) ? a ? b 的最 小正周期为 ? .( ? ? 0 ) (1)求 ? 的值; (2)若 x ? (0, ) ,解方程 f ( x ) ? 1 ;

?

2

(3)在 ?OAB 中, O 为原点, A( x,2) , B ( ?3,5) ,且 ?AOB 为锐角,求实数 x 的取值范围.

2 20. (本小题满分 14 分) 已知 a, b 为常数,a ? 0 , 函数 f ( x) ? ax ? bx( x ? R) , f (2) ? 0

且方程 f ( x) ? x 有等根.

(1)求 f ?x ? 的解析式及值域; (2)设集合 A ? ?x | f ( x) ? k ? 0?, B ? ?x | ?2 ? x ? 3?,若 A ? B ,求实数 k 的取值范 围; (3)是否存在实数 m, n?m ? n? ,使 f ?x ? 的定义域和值域分别为 ?m, n ? 和 ?2m,2n? ?若存 在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由.

揭阳一中 2013—2014 学年度第二学期高一级第 2 次阶段考 试 数学科答案
一、选择题 二、填空题 11. 19、13 (只对一个给 3 分); 12. DCBCB ACCBC

-3 ;

13. 1 ;

14. ②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? sin2 ?x ? cos 2 ?x ? 2 sin?x cos ?x ? 1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? 2 sin(2?x ? ) ? 2 4
分 依题意得 分 (2)依题意得 g ( x) ? 2 sin[3( x ? 分 由 2k? ?

?

????4

3 2? 2 ? ? ,故 ? ? . 2 2? 3

????6

?

? 5 ) ? ] ? 2 ? 2 sin(3x ? ? ) ? 2 . 2 4 4

????9

?
2

? 3x ?

5? ? ? 2k? ? (k ? Z ) , 4 2
????11

解得 k? ? 分 故

2 3

?

2 7? ? x ? k? ? (k ? Z ) . 4 3 12

g ( x)















? 2 7? ? ?2 k ? ? , k ? ? (k ? Z ) . ? 4 3 12 ? ?3 ?
16.(本小题满分 12 分)

????12 分

解: (1)将圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , 则 此 圆 的 圆 心 为

C (0,4)









2.

????2 分 所以 CD 的中点 E ( ?1,2) ,可得 CD ? 22 ? 42 ? 2 5 ,

?r ? 5







E

的 ????6 分







( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ;
(2)设 直 线

l





程 ????7 分





y ? 0 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 0 ,

? CA ? 2





?A

B 为 C

















? AB ? 2 CA ? 2 2 ,
因 此 圆 心

????8 分

C





线

l







d?

0 ? 4 ? 2k k ?1
2

?

2 CA ? 2 2

????9 分 ????12

解之得 k ?1 或 k ? 7 ,所求直线 l 的方程为: x ? y ? 2 ? 0 或 7 x ? y ? 14 ? 0 . 分

17.(本小题满分 14 分) 证明: (1)在 ?ABC 中,∵ AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ ?ABC 为直角三角形,∴

AC ? BC
又∵ CC1 ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AC , CC1 ∴ AC ? 平面 BCC1 ,∴

????2 分

BC ? C ,

AC ? BC1 .

????5 分

(2)设 B1C 与 BC1 交于点 E , 则 E 为 BC1 的中点, 连结 DE , 则在△ ABC1 中,DE // AC1 , 又

DE ? 面CDB1
C . D



AC1 ? 面CDB1
????10 分





AC1 //





B1

(3)在 ?ABC 中,过 C 作 CF ? AB , F 为垂足, ∵平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ,且平面 ABB1 A 1 而 平面 ABC ? AB ,∴ CF ? 平面 ABB1 A1 , ∵

CF ?

AC ? BC 3 ? 4 12 ? ? AB 5 5



VA1 ?

?BV 1

?

C

D, 1

而 C 1

A

D

S


DA1B1

?

1 1 A1 B1 ? AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 , 2 2

1 12 VA1 ? B1CD ? ?10 ? ? 8 . 3 5
??14 分 频率/组距 18. (本题满分 14 分) 解:(1) 0.04 ; 560 ; 0.28 . (2)频率分布直方图如右图所示. (3)首先要理解直到型循环结构图的含义. 输入 m1 , f1 的值后,由赋值语句: S ? S ? mi ? fi 可知, 流程图进入一个求和状态: 令 ai ? mi ? fi (i ? 1, 2, 即 : ????3 分 ????9 分
0.32 0.30 0.26 0.22 0.18 0.14 0.10 0.06 0.02 O

??

,6) ,前 i 项的和为 Ti ,

4 5 6 7 8 9 10 时间

T6 ? 4.5 ? 0.04 ? 5.5 ? 0.26 ? 6.5 ? 0.30 ? 7.5 ? 0.28
S
????14 分

?8.5 ? 0.10 ? 9.5 ? 0.02 ? 6.70
则 输 出 的 为

6.70 .
19.(本题满分 14 分)

( 1 ) f ( x) ? sin(? ? ?x) ? 3 cos ?x ? sin?x ? 3 cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
3

) , ?? ?

2?

?



?? ? 2 , ??4 分
( 2 ) 由

f ( x) ? 2 s

? ?ix ? n) ? 1(
3





2x ?

?
3

?

?
6

? 2k? , k ? Z



2x ?

?
3

?

5? ? 2k? , k ? Z . 6

??6 分



x ? (0, ) 2
. ????9 分

?



?x ?

?
4

(3) OA ? ( x,2) , OB ? (?3,5) , ??AOB 为 锐 角 , ?0 ? OA ? OB ? ?3x ? 10 ,

10 , ????11 分 3 6 又 x?? 时 , OA 和 OB 同 向 , ? ? ? ? 13 5 6 ????14 分 x?? . 5 ?x ?

分 , ?x ?

10 3



20.(本题满分 14 分) 解 : ( 1 )

? f ( x) ? ax2 ? bx, 且 f (2) ? 0
????1 分



? 4a ? 2b ? 0
又方程 f ( x) ? x ,即 ax ? bx ? x ,即 ax
2
2

? (b ?1) x ? 0 有等根,

? ? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? a ? 0 ? 0 ,即 b ? 1 ,从而

1 a?? , 2

????2 分 ?

1 ? f ( x) ? ? x 2 ? x . 2
???3 分 又

1 1 1 1 f ( x) ? ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? ? 2 2 2 2
????4 分









1? ? ?y | y ? ? 2? ?
(2) A ? ? x | ? ① 当
A??

? ?

1 2 ? x ? x ? k ? 0? ,? A ? B 2 ?
时 ,

A? B







1 ? ? ? 1 ? 4( ? ) k ? 0 2







k??

1 2

????5 分

② 当 A ? ? 时 , 设 g ( x) ? ?

1 2 x ? x? k , 对 称 轴 x ?1 , 要 A? B , 只 需 2

?? ? ? 0 ? ? g (?2) ? 0 ,????7 分 ? g (3) ? 0 ?





1 ? ?k ? ? 2 ? ?k ? 4 ? 3 ?k ? 2 ?
????8 分



??


1 3 ?k? 2 2
合 ① ②



得 ????9 分

k?

3 . 2

(3)? f ( x) ? 又 数 对 称

1 1 1 , 则有 2n ? ,n ? 2 2 4


x ?1



? f ?x ?



[ m, n ]







????10 分

1 ? ?m ? n ? 4 ? ? ? f (m) ? 2m ? f ( n) ? 2n ? ?
???12 分 解
n?0.

?



m ? ?2

, ????13 分

∴ 存 在 m ? ?2 , n ? 0 使

f ? x ? 的 定 义 域 和 值 域 分 别 为 [ m, n ] 和

[ 2 m, 2 n ] .

????14 分


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