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江西省南昌市三校南昌一中南昌十中南铁一中2017届高三数学12月联考试题理


南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三第三次联考试卷 数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中) 1.已知复数 z 满足(z+1) ·i =1-i, 则 z=( A. -2+i B. 2+i ) B. a ? b ? 0 的充要条件是 C. -2-i ) D. 2-i

2.下列命题中,真命题是( A..存在 x ? R, e x ? 0 C.任意 x ? R, 2x ? x2

a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1的充分条件 )

3.在各项都为正数的等差数列{an}中,若 a1+a2+?+a10=30,则 a5·a6 的最大值等于( A.3 B.6 C.9 D.36 )

4.设 m= 6 ? 5 ,n= 7 ? 6 , p ? 8 ? 7 , 则 m, n, p 的大小顺序为( A. m>p>n B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p ( )

5. 下列命题正确的是 π? ? ? π π? A.函数 y=sin?2x+ ?在区间?- , ?内单调递增 3 ? ? ? 3 6? B.函数 y=cos x-sin x 的最小正周期为 2π
4 4

? π? ?π ? C.函数 y=cos?x+ ?的图象是关于点? ,0?成中心对称的图形 3? ? ?6 ?
π ? π? D.函数 y=tan?x+ ?的图象是关于直线 x= 成轴对称的图形 3? 6 ? 6.直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直, 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( B.2 8 C. 3 16 2 D. 3 )
2

)

4 A. 3

7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(

1

A.21+ 3 C.21

B.18+ 3 D.18

π 8.在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点, 3 → → |BM| |CN| → → 且满足 = ,则AM·AN的取值范围是( → → |BC| |CD| A.[2,5] C.[1,5) ) B.(1,5) D.(2,5]

9、已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, ( )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存 在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD”,“AD 与

BC”均不垂直
→ → 10.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值 3
2

y2

为(

) A.-2 81 B.- 16 C.1 D.0

11.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 A B 的 中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A. + =1 45 36 C. + =1 27 18 ) B. D. + =1 36 27 + =1 18 9

x2 y2 a b

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2

y2

2

12.已知函数 f ( x) ? m2x ? x2 ? nx ,若 {x / f ( x) ? 0} ? {x / f ( f ( x)) ? 0} ? ? ,则 m ? n 的取值范 围是( A.(0, 4) ) B.[0, 4) C.(0, 5] D.[0, 5]

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入 答题卷中。)

y≤x, ? ? 13. 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k,
14.曲线 f ( x) ?

且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k=______

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2



15.设 P(x,y)为函数 y ? x 2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ? 当 m 最小时,点 P 的坐标为 .

3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ? ,则 x ?1 y?2

16.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为________. 三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程) 17.(本题 10 分) 已知: A、 B、 C 是 ?ABC 的内角,a, b, c 分别是其对边长, 向量 m ?

? 3, cos A ?1?,

n ? ?sin A,?1? , m ? n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

3 , 求 b 的长. 3

18. (本题 12 分)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9·2 (1)求数列{an}的通项公式;

n-1

,n∈N+.

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N+恒成立, 求实数 k 的取值范围.

? 1? 19. (本题 12 分)设函数 f(x)=?1- ?(x>0). ?
x?
(1). 写出函数的单调区间和极值。
3

1 1 (2). 当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值;

a b

20. (本题 12 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ? 平面 CDE ,已知

AE ? DE ? 3 , F 为线段 DE 上的动点. (Ⅰ)若 F 为 DE 的中点,求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)
若二面角 E ? BC ? F 与二面角 F ? BC ? D 的大小相等,求 DF 长.

(第 20 题图)

x2 y2 21. (本题 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a b
三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
4

(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设 P 为椭圆 C 上一点, 若过点 M(2, 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T, 满足OS+OT=

tOP(O 为坐标原点 ),求实数 t 的取值范围.



22. (本题 12 分)已知函数 f(x)=aln x-x+1,g(x)=-x +(a+1)x+1. (1)若对任意的 x∈[1,e],不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 h(x)在其定义域内存在实数 x0,使得 h(x0+k)=h(x0)+h(k)(k≠0 且为常数)成立,则称 函数 h(x)为保 k 阶函数,已知 H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1 为保 a 阶函数,求实数 a 的取值范围.

2

5

南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三第三次联考 数学答案(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中。) 1. C 8. 2. D 3. C 4. D 5.C 6. C 7. A

A 9. B 10. A 11. D

12. B

二、填空题(本大题 共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入 答题卷中。) 13.k=-2 14. 错误!未找到引用源。 .15. (2.3) 16. 6 6

三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程) 17. 解:(Ⅰ)? m ? n

?m ? n ?

? 3, cos A ? 1?? ?sin A,?1? ?

3 sin A ? ?cos A ? 1?? ?? 1? ? 0

? 3 sin A ? cos A ? 1 ??4 分

?? 1 ? ? sin? A ? ? ? ??6 分 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ,? A ? ? , ??7 分 6 6 6

?A?

?
3

.??8 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
由正弦定理知:

1 6 ? ??9 分 3 3

a b ? , ??10 分 sin A sin B

a sin B =? ?b ? sin A

2?

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ??12 分 3 3 3 2

18.解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9·2
n-1

,n∈N+,∴a2+a1=9,a3+a2=18,
6

∴q=

a3+a2 18 = =2,∴2a1+a1=9,∴a1=3. a2+a1 9
n-1

∴an=3·2

,n∈N+?????..6 分

a1?1-qn? 3?1-2n? n (2)由(1)知 Sn= = =3(2 -1), 1-q 1-2
∴不等式化为 3(2 -1)>k·3·2
n n-1

-2,

1 即 k<2- n-1对一切 n∈N+恒成立. 3·2 1 令 f(n)=2- n-1,易知 f(n)随 n 的增大而增大, 3·2 1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = ,∴k< . 3 3 3 5 ∴实数 k 的取值范围为(-∞, ).???????..12 分 3 19.解析:(1)f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时有极小值 0??????6 分

(2)由)f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数 1 1 由 0<a<b 且 f(a)=f(b),取 0<a<1<b,且 -1=1- ,

a

b

1 1 ∴ + =2?????..12 分

a b

20. 证明:(Ⅰ)连结 AC, BD 交于 O ,连 OF ,

B

? F 为 DE 中点, O 为 BD 中点,? OF // BE ,

OF ? 平面 ACF , BE ? 平面 ACF ,
? BE // 平面 ACF .??????6 分
(Ⅱ)如图 2,过 E 作 EH ? AD 于 H ,过 H 作 MH ? BC C 于 M ,连结 ME ,同理过 F 作 FG ? AD 于 G ,过 G 作
N

A M H G E F D

NG ? BC 于 N ,连结 NF ,
? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,
? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE ,

第 20 题图 2

? CD ? 平面 DAE , EH ? 平面 DAE ,? CD ? EH ,

7

CD ? AD ? D, CD, AD ? 平面 ABCD , EH ? 平面 ABCD , ? HE ? BC ,? BC ? 平面 MHE , ? ?HME 为二面角 E ? BC ? D 的平面角,
同理, ?GNF 为二面角 F ? BC ? D 的平面角,

? MH // AB ,? MH ? 3 2 ,又 HE ?

3 2 , 2

? tan ?HME ?

1 ,而 ?HME ? 2?GNF , 2 GF ? 5 ? 2 , GF ? 3 10 ? 6 2 ,又 GF // HE , ? tan?GNF ? 5 ? 2 ,? GN DF GF ? ? , ? DF ? 6 5 ? 12 .?????????12 分 DE EH
解法二(Ⅱ)? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,

? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE ,如图 3 建立坐标系,
则 E (3,0,0) , F (a,0,0) , C(0,3 2 ,0) , A(3,0,3) ,

D(0,0,0) 由 DC ? AB 得 B(3,3 2,3) ,

设 n1 ? 平面 ABCD ,且 n1 ? ( x, y, z) ,由 ? 设 n2 ? 平面 BCF ,且 n2 ? ( x, y, z) , 由?

? ?n1 ? DC ? 0

?y ? 0 20 3 ?? ? n1 ? (1,第 0,? 1) 题图 ?1 分 x ? z ? 0 ? ? ?n1 ? DA ? 0

? ?n2 ? BC ? 0

?x ? z ? 0 ?? ? n2 ? (3 2 , a,?3 2 ) ax ? 3 2 y ? 0 ? n ? CF ? 0 ? ? 2

设 n3 ? 平面 BCE ,且 n3 ? ( x, y, z ) , 由?

? ?n3 ? BC ? 0

?x ? z ? 0 ?? ? n2 ? ( 2 ,1,? 2 ) x ? 2 y ? 0 ? n ? CE ? 0 ? ? 3

设二面角 E ? BC ? F 的大小为 ? ,二面角 D ? BC ? F 的大小为 ? ,

8

? ? ? , | cos ? n1 , n2 ?|?| cos ? n3 , n2 ?| ,?
?6? | 12 ? a | 5

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |

?

| n3 ? n 2 | | n3 | ? | n 2 |

? a ? ?12 ? 6 5 , ? 0 ? a ? 3, ? a ? 6 5 ? 12 .????12 分

21.解 (1)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以长半轴长为半径的圆的方程为 (x-c) +y =a . |c+1| ∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= =a(*) 2 ∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b=c,a = 2b= 2c,代入(*) 式得 b=c=1, 所以 a= 2b= 2,故所求的椭圆 C 的方程为 +y =1????4 分 2 (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x-2),设 P(x0,y0),将直线方程代入椭圆 方程得:(1+2k )x -8k x+8k -2=0, 1 4 2 2 2 2 ∴Δ =64k -4(1+2k )(8k -2)=-16k +8>0,则 k < . 2 8k 8k -2 设 S(x1,y1).T(x2,y2),则 x1+x2= 2,x1x2= 2.....................8 分 1+2k 1+2k → → → 由OS+OT=tOP, ①当 t=0 时,直线 l 为 x 轴,P 点在椭圆上适合题意.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

②当 t≠0 时,得

? ? ? -4k ? ?ty =y +y =k(x +x -4)=1+2k ,
tx0=x1+x2=
0 1 2

8k 2, 1+2k
1

2

2

2

1 8k 1 -4k ∴x0= · , 2,y0= · t 1+2k t 1+2k2 代入椭圆方程,得
2 2

2

32k 16k + =1. t (1+2k2)2 t2(1+2k2)2
2

4

2

16k 1 2 2 从而得 t = 2.由 k < ,知 0<t <4,则 -2<t<2 且 t≠0. 1+2k 2 综上①②知,实数 t 的取值范围为(-2,2).?????..12 分 22.解 (1)因为对任意的 x∈[1,e],不等式 f(x)≥g(x)恒成立, 即 aln x-x+1≥-x +(a+1)x+1 恒成立,a(x-ln x)≤x -2x 恒成立.由于 x∈[1,e],所以 ln x≤ln e =1≤x. 因为等号不能同时成立,所以 ln x<x,即 x-ln x>0.
2 2

9

所以 a≤

x2-2x 恒成立.????..4 分 x-ln x x2-2x ,所以 a≤F(x)min(x∈[1,e],) x-ln x

令 F(x)=

(x-1)(x+2-2ln x) 由于 F′(x)= , 2 (x-ln x) 由于 1≤x≤e,所以 x-1≥0,x+2-2ln x=x+2(1-ln x)>0,所以 F′(x)>0. 所以函数 F(x)=

x2-2x 在区间[1,e]上单调递增. x-ln x
2

1 -2 因此 F(x)≥F(1)= =-1,故 a≤-1. 1-0 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1].?????6 分 (2)因为 H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1=aln x-ax+a(x>0), 根据保 a 阶函数的概念,所以存在 x0>0, 使得 H(x0+a)=H(x0)+H(a), 即 a[ln(x0+a)-(x0+a)+1]=a(ln x0-x0+1)+a(ln a-a+1)=a(ln x0-x0+1+ln a-a+1), 所以 ln(x0+a)-(x0+a)+1=ln x0-x0+1+ln a-a+1 所以 ln(x0+a)=ln x0+ln a+1,则 ln? 所以

?x0+a?=1. ? ? ax0 ?

x0+a 1 =e,从而 a= . ax0 1 e- x0

1 因为 x0>0,所以 a> , e

?1 ? 故实数 a 的取值范围为? ,+∞??????..12 分 ?e ?

10


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