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复习讲义7 直线与圆锥曲线的位置关系(1)


绵阳中学实验学校高 2012 级高二(上)期数学期末复习讲义 7

直线与圆锥曲线的位置关系(一)
一、知识梳理 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 (1)直线 y ? kx ? m 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系判断方法 a 2 b2

? y ? kx ? m ? 2 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 得到一个一元二次方程 Ax ? Bx ? C ? 0 ,则有 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 位置关系 解的个数 ? 的取值 相交 解 ? 0 相切 解 ? 0 相离 解 ? 0 2 2 x y (2)直线 y ? kx ? m 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的位置关系的判断方法 a b ? y ? kx ? m............① ? 联立 ? x 2 y 2 把①代入②得到 (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2a2mkx ? a2m2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 1...........② ?a b b 2 2 2 当 b ? a k ? 0 ,即 k ? ? 时,直线与双曲线的 平行,直线与双曲线 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 b ? a k ? 0 ,即 k ? ? 时, ? ? (?2a mk ) ? 4(b ? a k ) ? ? a m ? a b ? a ? 的取值 位置关系 解的个数 ? 相交 解 0 ? 相切 解 0 ? 相离 解 0 2 (3)直线 y ? kx ? m 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的位置关系的判断方法 ? y ? kx ? m 2 2 2 联立 ? 2 ,消去 y 得到一个关于 x 的方程 k x ? (2km ? 2 p) x ? m ? 0 ? y ? 2 px 当 k ? 0 时,直线与抛物线 ,直线与抛物线的 平行 2 2 2 当 k ? 0 时, ? ? (2km ? 2 p) ? 4k m ? 的取值 位置关系 解的个数 ? 相交 解 0 ? 相切 解 0 ? 相离 解 0
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为 k 的直 线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ?

?
直线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,与抛物线交于 A、B 两点, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2

由抛物线的定义知, AF ?

, BF ?

, AB ?

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3.点差法 将圆锥曲线上的两点 A 、 B 的坐标代入圆锥曲线的方程,然后将两式作差并进行变形,可 得到弦 AB 的斜率、弦中点的坐标以及方程中参数的等量关系. 二、典型例题 1.直线与圆锥曲线的位置关系 例 1. (1)过点 P( 7 ,5) 与双曲线 它们的方程。 (2)直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1相交于 A 、 B 两点,当 k 为何值时, A 、 B 在双曲线的同一支上?当 k 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?

x2 y2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出 7 25

练习 1:过 (0,1) 作直线,使它与 y ? 3x 有且只有一个公共点,这样的直线有________条
2

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2.弦长问题

1 x2 y2 ? ? 1 和点 P(4,2) ,直线 l 经过点 P 且斜率为 与椭圆交于 A 、B 例 2.(1)已知椭圆 2 36 9 两点,求线段 AB 的长度。
(2)椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于 P 、 2 2 a b Q ,且 PQ ? 10 ,求椭圆方程。

练习 2. 已知抛物线顶点在原点, x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 截得的弦长为 6,求抛物线的方程。

? 的直线 l 被抛物线所 4

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3.中点弦问题 例 3.(1)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 和点 P(4,2) ,过点 p 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,当 P 点 36 9
.

恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程。 (2)直线 y ? x ? 1 被抛物线 y 2 ? 4 x 截得线段的中点坐标是_____

练习 3.中心在原点,一个焦点为 F1 0,5 2 的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标 为

?

?

1 ,求椭圆的方程 2


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