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【优化方案】(新课标)高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理课件_图文

第三章 三角函数、解三角形 第7课时 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a b c a2=_________________ ; 2+c2-2bccos A = = b sin A sin B sin C __________________ b2=_________________ ; 2+a2-2cacos B c =2R 内容 2= c 2 2 (R为△ABC外接圆半径) a +b -2abcos C _________________. 定理 正弦定理 余弦定理 变形 形式 2Rsin A , b= a= ________ 2Rsin B , __________ 2Rsin C ; c= ________ a sin A= __________ 2R , b sin B= ________ 2R , c sin C= __________ 2R ; a∶ b∶ c= sin A∶sin B∶sin C ; ______________________ a+ b+ c a = . sin A+sin B+ sin C sin A b2+c2-a2 2bc ; cos A= __________ c2+ a2-b2 2ca ; cos B= __________ a2+b2- c2 cos C= __________. 2ab 2.正弦定理解决的问题有哪两类? 提 (1)已知两角和任一边,求其他边和角; 示 : (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角. ___________________________________________ _____________________________________________ __ (1)已知三边,求各角; 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; 3(2) .余弦定理解决的问题有哪三类? (3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边. 提 示 __________________________________________ _____________________________________________ ___ : 温馨提醒:解斜三角形的类型: (1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为 以下情况,在△ABC中,已知a、b和角A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角 图形 关系式 a=bsin A 解个数 bsin A<a<b a≥b 一解 a>b 一解 一解 两解 上表中A为锐角时,a<bsin A时,无解;A为钝角时,a =b,a<b均无解. (3)已知三边,用余弦定理有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 4.三角形面积 设△ ABC 的三边分别为 a、 b、 c, 所对的三个角分别为 A、 B、 C,其面积为 S. 1 (1)S= ah(h 为 BC 边上的高 ); 2 1 (2)S= absin C. 2 1.(2013· 高考北京卷 )在△ ABC 中, a= 3,b= 5, sin A= 1 ,则 sin B=( B ) 3 1 5 A. B. 5 9 5 C. D. 1 3 a b 解析:在△ ABC 中,由正弦定理 = , sin A sin B 1 5× bsin A 3 5 得 sin B= = = . a 3 9 2.在△ ABC 中,若 a=18,b= 24,A=45°,则此三角 形有( B ) A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定 解析:∵ bsinA= 12 2< a< b.∴三角形的个数有两个. 3. (2014· 兰州调研 )在△ ABC 中, a= 3 2, b= 2 3, cos C 1 = ,则△ ABC 的面积为 ( C ) 3 A. 3 3 C. 4 3 B. 2 3 D. 3 1 2 2 1 1 解析: ∵ cos C= , ∴ sin C= , ∴ S△ ABC= absin C= × 3 3 2 2 2 2 3 2× 2 3× = 4 3. 3 4 .在△ ABC 中, B= 60°, b2 = ac,则△ ABC 的形状为 等边三角形 . ______________ 解析:由余弦定理得 b2= a2+ c2-2accos 60°=ac, 即 a2- 2ac+c2= 0,∴a= c. 又 B= 60°,∴△ ABC 为等边三角形. 5.(2012· 高考湖北卷 )设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 2π 3 别为 a, b, c.若 (a+b-c)(a+b+c)=ab, 则角 C=__________ . 解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 a2+b2-c2=- ab,则 a2+b2- c2 1 cos C= =- . 2 2ab 2π 又因为角 C 为△ ABC 的内角,所以 C= . 3 利用正、余弦定理解三角形 (2013· 高考山东卷) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的 7 边分别为 a,b,c,且 a+ c=6,b=2,cos B= . 9 (1)求 a, c 的值; (2)求 sin(A- B)的值. [解 ](1)由余弦定理 b2= a2+ c2- 2accos B, 得 b2= (a+ c)2- 2ac(1+ cos B), 7 又 b= 2, a+ c= 6, cos B= , 9 所以 ac=9,解得 a= 3, c= 3. 4 2 2 (2)在△ ABC 中, sin B= 1- cos B= , 9 asin B 2 2 由正弦定理得 sin A= = . 3 b 因为 a= c,所以 A 为锐角. 1 所以 cos A= 1- sin2A= . 3 10 2 因此 sin(A- B)