kl800.com省心范文网

3.1.1 空间向量及其线性运算


空间向量及其线性运算

复习回顾:平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示

字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

?a ?a
向量的数乘

(? >0) (?<0)

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
a?b ? b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律:

? (a ? b) ? ? a+? b

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A1
A2

An?1

An

A3

A4

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0

F2

F1=10N
F2=15N

F3
F1

F3=15N

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘: ? a,? 为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

空间向量
具有大小和方向的量

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

思考:空间任意两个向量是否可能都移到同一个平面中?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a

CA ? OA ? OC

?a
?a

? ( >0)
(?<0)

空间向量的加减法 空间向量的数乘

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a, ?为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:? a, ?为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

加法结合律:

(a + b) + c =a + (b + c);

a b c

a b
c

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a,? 为正数,负数,零 数乘:? a,? 为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A1
A2

An?1

An

A3

A4

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
A D B C A1 D1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解:) AB ? BC AC; (1 =

(2) AB ? AD ? AA ? AC ? AA ? AC ? CC1 ? AC1 1 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

共线向量(平行向量)
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量 或平行向量。
我们规定,零向量与任意向量共线。

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

例3 M,N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点, 求证: 1

MN ?

2

( AD ? BC )

A

证明:显然

MN ? MA ? AD ? DN

① ②

M D

MN ? MB ? BC ? CN
由已知得

N
B C



+② ∴

MA ? ?MB,

DN ? ?CN

2MN ? AD ? BC
MN ? 1 ( AD ? BC ) 2

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

B

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:? a,? 为正数,负数,零 数乘:? a,? 为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

?(a ? b) ? ? a+?b

?(a ? b) ? ? a+?b

作业

思考题:考虑空间三个向量共面的充要条件.


赞助商链接

专题+空间向量及其线性运算--讲义

专题+空间向量及其线性运算--讲义_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量...3.1.1空间向量及其线性运... 20页 5下载券 空间向量及其线性运算课... 29...

空间向量的线性运算

空间向量的线性运算 - 昌邑市文华学校 3.1.1 空间向量的线性运算 【学习目标】 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法减法和数乘运算. 2.会用图形说明空间...

空间向量及其运算教学设计(王祎)

空间向量及其运算教学设计(王祎) - 课题:空间向量及其线性运算(人教 A 版 3.1.1+3.1.2 部分内容) ? 教学内容解析: 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准...

向量及其线性运算1

向量及其线性运算1 - 第六章 空间解析几何与向量代数 空间解析几何的产生是数学史上个划时代的成就. 法国数学家笛卡尔和费马均于十 七世纪上半叶对此作出了...

...2.2第1课时空间向量的线性运算练习 北师大版选修2-1...

2015-2016学年高中数学 2.2第1课时空间向量的线性运算练习 北师大版选修2-1_初中教育_教育专区。第二章 、选择题 1.在下列命题中: 2.2 第 1 课时空间...

...(空间向量与立体几何):专题一 空间向量的线性运算

【推荐】高中数学同步导学(2017新课标)(空间向量与立体几何):专题一 空间向量的线性运算 - 【基础知识】 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小...

已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共...

填空题 数学 空间向量的线性运算及其坐标表示 已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ=___. 正确答案及相关解析 正...

设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,AD=AB,BE=DC,若=λ...

填空题 数学 空间向量的线性运算及其坐标表示 设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,AD=AB,BE=DC,若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2=___. 正...

已知i,j ,k 是三个不共面向量,已知向量a=i-j+k,b=5i-2j...

填空题 数学 空间向量的线性运算及其坐标表示 已知i,j ,k 是三个不共面向量,已知向量a=i-j+k,b=5i-2j-k,则4a-3b= 正确答案及相关解析 正确答案 ...

已知三个向量,且A、B、C三点共线,则_答案_百度高考

填空题 数学 空间向量的线性运算及其坐标表示 已知三个向量,且A、B、C三点...理科数学 北京海淀区2016年高三第次模拟考试 理科数学 北京2015年高三试卷 理科...