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07.18函数定义域求法总结

函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 x≠kπ +π /2;y=cotx 中 x≠kπ 等等。 ( 6 ) x0 中 x ? 0 二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (7)分离常数法 (8)判别式法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 (3)函数单调性法 (6)反函数法(逆求法) (9)复合函数法

三、典例解析 1、定义域问题
例 1 求下列函数的定义域:

1 1 ;② f ( x) ? 3x ? 2 ;③ f ( x) ? x ? 1 ? x?2 2? x 1 解:①∵x-2=0,即 x=2 时,分式 无意义, x?2 1 而 x ? 2 时,分式 有意义,∴这个函数的定义域是 ?x | x ? 2? . x?2 2 ②∵3x+2<0,即 x<- 时,根式 3x ? 2 无意义, 3 2 而 3 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ? 时,根式 3x ? 2 才有意义, 3 2 ∴这个函数的定义域是{ x | x ? ? }. 3
① f ( x) ? ③∵当 x ? 1 ? 0且2 ? x ? 0 ,即 x ? ?1 且 x ? 2 时,根式 x ? 1 和分式 ∴这个函数的定义域是{ x | x ? ?1 且 x ? 2 } 另解:要使函数有意义,必须: 例 2 求下列函数的定义域: ① f ( x) ?

1 同时有意义, 2? x

? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ?2 ? x ? 0 ?x?2
x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

4 ? x2 ?1

② f ( x) ?

1

③ f ( x) ?

1 1? 1 1 1? x
1 3x ? 7

④ f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

⑤y?

x?2 ?3 ? 3

解:①要使函数有意义,必须: 4 ? x ? 1
2

即: ? 3 ? x ? 3

∴函数 f ( x) ?

4 ? x 2 ? 1 的定义域为: [ ? 3, 3 ]
? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 4或x ? ?1 ?? ? x ? ?3且x ? 1 ? x ?1 ? 2 ? 0

②要使函数有意义,必须: ?

? x ? ?3或 ? 3 ? x ? ?1或x ? 4 ∴定义域为:{ x| x ? ?3或 ? 3 ? x ? ?1或x ? 4 } ? x?0 ? ? 1 ? ③要使函数有意义,必须: ? 1 ? ? 0 ? x ? ? 1? 1 ? 0 1 ? 1? ? x 1 ∴函数的定义域为: {x | x ? R且x ? 0,?1,? } 2
④要使函数有意义,必须:

? x?0 ? ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? 2

? x ?1 ? 0 ? ?x ?x ? 0

? x ? ?1 ?? ? x?0

∴定义域为: ?x | x ? ?1或 ? 1 ? x ? 0? ⑤要使函数有意义,必须: ? 即 x< ?

?x?2 ?3? 0 ? 3x ? 7 ? 0

? ? x?R 7 ?? x?? ? 3 ?

7 7 或 x> ? 3 3

7 ∴定义域为: {x | x ? ? } 3

例 3 若函数 y ?

ax2 ? ax ?
2

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 a
1 ? 0恒成立, a

王新敞
奎屯

新疆

解:∵定义域是 R,∴ ax ? ax ? ∴ 等价于?

a?0 ? ? 1 ?0?a?2 2 ? ? a ? 4a ? ? 0 ? a ?
1 1 ) ? f ( x ? ) 的定义域 4 4
王新敞
奎屯 新疆

例 4 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ?
2

解:要使函数有意义,必须:

1 ? ? 5 ?? 1 ? x ? 4 ? 1 ?? 4 ? x ? ?? ? 1 3 ?? 1 ? x ? ? 1 ?? ? x ? 4 ? ? 4
∴函数 y ? f ( x ?

3 4 ??3 ? x? 3 5 4 4 4
3? ? 4?

1 1 3 ? ) ? f ( x ? ) 的定义域为: ? x | ? ? x ? 4 4 4 ?

例 5 已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。

分析:法则 f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在 2x-1 上必也要求 2x-1 在 [-1,1] 内取值, 即-1≤2x-1≤1,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域; 或者从位置上思考 f(2x -1)中 2x-1 与 f(x)中的 x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出 x 的取值范围 就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的 x 与 f(2x-1)中的 x 不是同一个 x,即它们意义不同。 ) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x-1≤1,解之 0≤x≤1, ∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。
例 6 已知已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(x )的定义域。
2

答案:-1≤x2≤1 ? x2≤1 ? -1≤x≤1 练习:设 f ( x) 的定义域是[?3, 2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域
解:要使函数有意义,必须: ? 3 ? ∵

王新敞
奎屯

新疆

x ?2? 2

得: ? 1 ?

x ? 2? 2

x ≥0

∴ 0?

x ? 2? 2

0? x ? 6?4 2

∴ 函数 f ( x ? 2) 的定域义为: x | 0 ? x ? 6 ? 4 2 例 7 已知 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域

?

?

因为 2x-1 是 R 上的单调递增函数,因此由 2x-1, x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是 f(x)的定义域。 5 已知 f(3x-1)的定义域为[-1,2) ,求 f(2x+1)的定义域。 ? ? ,2 ) 2 (提示:定义域是自变量 x 的取值范围)

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