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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷及答案(山东卷)


2015 年全国高考山东卷(文科)数学模拟

2015 年山东高考数学模拟试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .... 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号 ... 所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题(共 10 小题) 1. (2015?烟台一模)设 i 是虚数单位,a∈R,若 A. B.﹣1
2

是一个纯虚数,则实数 a 的值为( C. D.1 },则 A∩?RB=( )



2. (2015?济宁二模)已知集合 A={x|x ≥1},B={x|y=

A. (2,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.[﹣1,0]∪[2,+∞) 3. (2013?安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均 等,则甲或乙被录用的概率为( ) A. B.
0.5 e

C.

D.

4. (2015?德州一模)若 a=2 ,b=ln2,c=0.5 (e 是自然对数的底) ,则( ) A. a<b<c B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c

5. (2015?烟台一模)已知点 M(x,y)的坐标满足

,N 点的坐标为(1,﹣3) ,点 O 为坐

标原点,则

的最小值是(



A. 12 B.5 C.﹣6 D.﹣21 6. (2015?怀化二模) 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3, 则正视图中的 x 的值是 (



第1页

A. 2

B.

C.

D.3 )
2

7. (2015?菏泽二模)如图程序框图中,若输入 m=4,n=10,则输出 a,i 的值分别是( A. 12,4 B. 16,5 C.20,5 D.24,6
2

8. (2015?烟台一模)已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的一 条切线,A 是切点,若 PA 长度最小值为 2,则 k 的值为( ) A. 3 B.
|x|

C.2

D.2 )

9. (2015?青岛一模)函数 y=4cosx﹣e (e 为自然对数的底数)的图象可能是(

A.

B.

C.

D.
2

10. (2014?东营二模)偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= A. 3 二.填空题(共 5 小题) 11. (2015?烟台一模)函数 的定义域为 . B.4 在[﹣2,3]上的根的个数是( C.5 ) D.6

12. (2015?湖北模拟)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1 则| +2 |= 13. (2015?潍坊一模)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值是 . 14. (2015?烟台一模)已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 与 x 轴的焦点为 K,点 A 在抛物线上,且|AK|=
2





=1 的右焦点重合,抛物线的准线 .

|AF|,则△AFK 的面积为

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15. (2015?青岛一模)若 X 是一个集合,τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于 τ ,?属于 τ ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ .则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合 τ : ①τ ={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ ={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 三.解答题(共 6 小题) 16. (2015?威海一模)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, =cosC. (Ⅰ)求 A,B,C; (Ⅱ)若 S△ABC=3+ ,求 a,c. ,sin(B﹣A) .

17. (2015?海南模拟)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、 乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲停车付

费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

第3页

18. (2015?泰安一模)如图正方形 ABCD 的边长为 ABCD 的边长为 2 与 AC 交于点 G,O 为 GC 的中点,FO= ,且 FO⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AE∥平面 BCF; (Ⅱ)求证 CF⊥平面 AEF.

,四边形 BDEF 是平行四边形,BD

19. (2015?烟台一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,an.Sn 满足(t﹣1)Sn=t(an﹣2) (t 为常数,t≠0 且 t≠1) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(﹣an)?log3(1﹣Sn) ,当 t= 时,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

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20. (2015?潍坊一模)椭圆

=1 的左右焦点分别为 F1,F2,直线 l:x+my=

恒过椭圆的右焦点

F2,且与椭圆交于 P,Q 两点,已知△F1PQ 的周长为 8,点 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+t 与椭圆 C 交于 M,N 两点,以线段 OM,ON 为邻边作平行四边形 OMGN 其中 G 在椭圆 C 上,当 ≤|t|≤1 时,求|OG|的取值范围.

21. (2015?菏泽二模)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+ (Ⅲ)若 g(x)=﹣ 的取值范围. ,求函数 h(x)的单调区间;

,在[1,e](e=2.71828?)上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成立,求 a

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2015 年山东省高考数学(文科)模拟试卷
参考答案
一.选择题(共 10 小题) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 D 6 D 7 C 8 D 9 A 10 C

二.填空题(共 5 小题) 题号 答案 11 {x|x>2 且 x≠3} 12 2 13 8 14 32 15 ②④

三.解答题(共 6 小题) 16.解: (Ⅰ)∵ ,∴ ,

∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB, 得 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) . ∴C﹣A=B﹣C,或 C﹣A=π ﹣(B﹣C) (不成立) . 即 2C=A+B,得 ∴ ∵ 则 ∴ ,或 , , (舍去) . ,

(Ⅱ)∵ 又∵ 即 , ,





17.解: (Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A, 则 .

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . (Ⅱ)设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30.
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则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6) , (6,14) , (6,22) , (6,30) , (14,6) , (14,14) , (14,22) , (14,30) , (22,6) , (22,14) , (22,22) , (22,30) , (30,6) , (30,14) , (30,22) , (30,30) ,共 16 种情形. 其中, (6,30) , (14,22) , (22,14) , (30,6)这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 .

18. (Ⅰ)证明:取 BC 中点 H,连结 OH,则 OH∥BD, 又四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD, ∴OH⊥AC,∴以 O 为原点,建立如图所示的直角坐标系, 则 A(3,0,0) ,E(1,﹣2,0) ,C(﹣1,0,0) , D(1,﹣2,0) ,F(0,0, =(﹣2,﹣2,0) , =(﹣1,﹣2, ) , ) , ) ,

=(1,0,

设平面 BCF 的法向量为 =(x,y,z) ,



,取 z=1,得 =(﹣



,1) ,

又四边形 BDEF 为平行四边形, ∴ ∴ ∴ = = =(﹣1,﹣2, + = ﹣4 + + ) , )=(﹣3,﹣3, ) ,

=(﹣2,﹣2,0)+(﹣1,﹣2, =0,

? =3

∴AE ,又 AE?平面 BCF,∴AE∥平面 BCF. (Ⅱ)证明: ∴ ∴ ? ⊥ =(﹣3,0, ? , ) ,

=﹣3+3=0, , ⊥

=﹣3+3=0,

又 AE∩AF=A,∴CF⊥平面 AEF.

19.解: (1)由(t﹣1)Sn=t(an﹣2) ,及(t﹣1)Sn+1=t(an+1﹣2) ,作差得 an+1=tan, 即数列{an}成等比数列, , . ,

当 n=1 时, (t﹣1)S1=t(a1﹣2) ,解得 a1=2t,故 (2)当 时, , ,

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, , 作差得 所以 . ,

20.解: (1)∵直线 l:x+my= ∴椭圆的右焦点 F2

恒过定点 .∴ .



∴△F1PQ 的周长为 8,∴4a=8,解得 a=2, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =1, ∴椭圆 C 的方程为 =1;

(2)联立

,化为(1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0,

2

2

2

由△=64k t ﹣4(1+4k ) (4t ﹣4)>0,可得 4k +1>t . 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G(x0,y0) ,则 ,

2 2

2

2

2

2

∵四边形 OMGN 是平行四边形,∴

,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2t=kx0+2t=



可得 G



∵G 在椭圆 C 上,∴ ∴4t =4k +1, ∴|OG| =
2 2 2

+

=1,化为 4t (4k +1)=(4k +1) ,

2

2

2

2

=

=

=

=4﹣



∵ ≤|t|≤1,∴ ∴ ∴|OG|的取值范围是

, , .

21.解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1) , ∴ ,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,

∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣2=0.
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2015 年全国高考山东卷(文科)数学模拟

(Ⅱ)

,定义域为(0,+∞) ,

, ①当 a+1>0,即 a>﹣1 时,令 h′(x)>0, ∵x>0,∴x>1+a 令 h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a. ②当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,h′(x)>0 恒成立, 综上:当 a>﹣1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增. 当 a≤﹣1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增. (Ⅲ)由题意可知,在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成立, 即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h(x0)≤0, 即函数 在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.

由第(Ⅱ)问,①当 a+1≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, ∴ ,∴ ,



,∴



②当 a+1≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, ∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0, ∴a≤﹣2, ③当 1<a+1<e,即 0<a<e﹣1 时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0, ∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2 此时不存在 x0 使 h(x0)≤0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: 或 a≤﹣2.

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