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北京市东城区2016届高三下学期综合练习(一)数学理试题 Word版含解析


东城区2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学(理科)2016.4
本试卷共5 页,共150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共40 分)
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1.已知复数 i ? (1 ? ai) 为纯虚数,那么实数a的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2

2 2.集合 A ? ?x | x ? a? , B ? x | x ? 5 x ? 0 ,若 A ? B ? B ,则a的取值范围是

?

?

A.a≥5 B.a≥4 C.a < 5 D.a<4 3.某单位共有职工150 名,某中高级职称45 人,中级职称90 人,初级职称15 人,现采 用 分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本,则各职称人数分别为 A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A.

1 2

B.1 C.2 D.4 5.在极坐标系中,直线 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 被曲线 ? ? 1截 得的线段长为 A.

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为 A.2 B.2 2 C.3 D. 10 7.已知三点P (5,2) ,F 1(-6,0) ,F2 (6,0 ) ,那么以F 1, F2 为焦点且过点P 的椭圆的短轴长为

A.3

B.6

C.9

D.12

8.已知e1,e2为平面上的单位向量, e1与e2的起点均为坐标原点O ,e1与e2的夹角为

? , 3

?? ? ? ? 1 ??? ? ? 平面区域D由所有满足 OP ? ?e1 ? ?e2 的点P 组成,其中 ?? ? 0 ,那么平面区域D的面 ?? ? 0 ?
积为 A.

1 2

B. 3

C.

3 2

D.

3 4

第II卷(非选择题共110 分)
二、填空题(本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分) 9.在 (2 x ?

1 5 ) 的展开式中,x3项的系数为 4x

(用数字作答) .

10.已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a3 ? a4 ? 32 ,那么a8的值为

11.如图,圆O 的半径为1, A, B ,C 是圆周上的三点,过点A 作圆O 的切线与OC 的 延长线交于点P.若CP =AC ,则∠COA = ; AP= .

12.若sin (

?

3 ? ? ? ) = ,且 ? ? (0, ) ,则sin 2 ? 的值为 4 5 4



13.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如 下表:

在最合理的安排下,获得的最大利润的值为 . 14. 已知函数 f (x) =|ln x|, 关于x的不等式f (x) -f (x0 )≥c(x-x 0)的解集为(0, + ? ), c 为 常数.当x0=1时,c 的取值范围是 ;当x 0=

1 时, c 的值是 2



三、解答题(本大题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题共13 分) 在△ABC 中,BC =2 2 , AC =2,且 cos( A+B) =- (Ⅰ)求AB 的长度;

2 。 2

(Ⅱ)若 f (x) =sin(2x +C),求 y = f (x)与直线y = 16. (本小题共14 分)

3 相邻交点间的最小距离. 2

已知三棱柱ABC-A1B1C1 中,A1 A⊥底面 ABC ,∠BAC=90°,A A1 =1,AB = 3 ,AC =2, E , F 分别为棱C 1C , BC 的中点. (1)求证:AC ⊥A 1B; (2)求直线EF 与 A1B 所成的角; (3)若G 为线段A1A 的中点, A1在平面EFG 内的射影为H ,求∠HA 1A.

17. (本小题共13 分) 现有两个班级,每班各出4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比 赛(注:每名选手打且只打一场比赛) .根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所 需时间如图表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.

(1)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率; (2)设随机变量X 表示第三场比赛开始时需要等待的时间,求X的数学期望; (3) 若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少, 应该怎样安排比赛顺序 (写出结论即可) .

18. (本小题共14 分) 设函数 f (x) =aex -x-1,a ? R . (1)当a =1时,求 f (x)的单调区间; (2)当x ? (0,+ ? )时, f (x) >0恒成立,求a的取值范围; (3)求证:当x ? (0,+ ? )时, ln

ex ?1 x ? x 2

19. (本小题共13 分) 已知抛物线C : y2 =2 px(p> 0) ,其焦点为F,O为坐标原点,直线 AB(不垂直于x轴) 过点F 且抛物线C交于 A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为-p . (1)求抛物线C 的方程; (2)若M 为线段AB 的中点,射线OM 交抛物线C 于点 D ,求证:

| OD | >2 | OM |

20. (本小题共13 分) 数列 ?an ? 中, 给定正整数m(m>1) ,V (m )=

?| a
i ?1

m ?1

i ?1

? ai | .定义:数列 ?an ? 满足

,称数列 ?an ? 的前m 项单调不增. ai ?1 ? ai (i =1,2,…,m-1) (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1)n ,(n ? N*) ,求V(5) . (2)若数列 ?an ? 满足: a1 ? a, am ? b,(m ? 1, m ? N *, a ? b) ,求证:V(m)=a -b的 充分必要条件是数列 ?an ? 的前m 项单调不增. (3)给定正整数m(m>1) ,若数列 ?an ? 满足: an ? 0 , (n =1,2,…,m) ,且数列 ?an ? 的前m项和为m2,求V(m)的最大值与最小值. (写出答案即可)

答案解析

20.


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