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第5讲 空间向量与平行关系


高中数学选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何 第 5 讲 空间向量与平行关系 【学习目标】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.

【知识要点】 知识点 1 直线的方向向量和平面的法向量 直线的方 向向量
a

l

能平移到直线上的非零向量,叫做直线的一个方向向量

平面的法 向量
α

l

n

直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 n ,则向量 n 叫做平面 α 的法向量

?

?

知识点 2 空间平行关系的向量表示 设直线 l、m 的方向向量分别为 a 、 b ,平面 α、β 的法向量分别为 u 、 v ,当 l、m 不重合,α、β 不重合且 l、m 不在平面 α、β 内时,有 (1)线线平行:l∥m?____________ (2)线面平行: l∥α?____________ (3)面面平行: α∥β?____________

第 5 讲 空间向量与平行关系(第 1 页 共 4 页)

高中数学选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何 【典型例题】 例 1.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面是直角梯形,∠ABC=90° ,SA⊥底面 ABCD,且 1 SA=AB=BC=1,AD= ,建立如图所示的空间直角坐标系,求平面 SCD 的一个法向量. 2

变式 1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量.

第 5 讲 空间向量与平行关系(第 2 页 共 4 页)

高中数学选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何 例 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在 A1C,且 A1E=2EC,求证:AD1//平面 BDE
D1 A1 B1 C1

E D A B

C

变式 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 棱长为 a, M, N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1M=AN= a,求证:MN//平面 BB1C1C

2 3

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高中数学选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何 例 3.如图, 已知在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 且 AD=2, AB=1, PA⊥平面 ABCD, E,F 分别是线段 AB,BC 的中点.判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD.

变式 3.如图,梯形 ABCD 中,∠BAD=∠ADC=90° ,CD=2AD=2,四边形 BDEF 为矩形,

平面 BDEF 丄平面 ABCD,BD⊥CF.在棱 AE 上是否存在点 G,使得直线 BG∥平面 EFC?并说明理由

E

F

D A B

C

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