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2013年颍上一中高一数学竞赛试题

颍上一中 2013 年高中数学竞赛(高一卷)
时间:2014 年 1 月 4 日 9:00——11:00 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题. 一、选择题(每题 6 分共 36 分,请将正确答案的标号填入下面的表格中)

2 1.集合 A= {0,1,2,3} ,集合 B= {1, } ,则从 A 到 B,且以 B 为值域的函数有(
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

)个

2 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则 ? ( ) (B) f (6) ? f (9) (C) f (7) ? f (9) (D) f (7) ? f (10) )

(A) f (6) ? f (7)

3.函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? ax ? 1) 的定义域是 R,则实数 a 的范围是( (A) (0,4) (C) (??,0) ? (4,??) (B) [0,4) (D) (??,0] ? [4, ?)

4.已知 1 ? a ? 2 ,则下各数中,最大的是 (A) log2 a (B) log2 (log2 a)
a

(C) (log2 a) 2
b

(D) log2
c

a


?1? ?1? 5.设 a,b,c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c .则( ?2? ?2? 2 2
A. a ? b ? c 6.记 f1 (a ) ? 1 ? B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c )

1 2007 1 ) =( , f k ?1 (a) ? 1 ? , k ? 1,2,3,?, f 2008 ( 则 a 2008 f k (a)
(B)

(A)

2008 2007

2007 2008

(C) ?

1 2007

(D) ?

1 2008

二、填空题(每题 6 分共 54 分)
2 7.已知 f ( x) ? 2 f (1 ? x) ? x ? x ,则 f (x) ?

.

b b ? 为奇函数,常数 b ? 0 ,则常数 a ? . x?3 x?a 1? x 9. 已 知 函 数 f (x) 是 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ?3 | x ? 4 | ?2 ; 则 当 x ? 0 时 , f ( x) ? _____________________.
8. 若函数 f ( x) ? 10.若方程 | 2x ? 4 ? x |? a 恰有三个不同的实数解,则常数 a =
2

.

11. 将函数 f (x) 的图象 C1 沿x轴向右平移 2 个单位得到 C2,C2 关于y轴对称的图象为 C3,

若 C3 对应的函数为 y ? 2 x ,则函数 f (x) 的表达式为_______________. 12. 已知 f (x)= ?

? x ? 5( x ? 6) 则 f ( f (?3)) =___________. ? f ( x ? 2)(x ? 6)

13. 二次函数 f(x) 满足 f(2+x)= f(2-x),又 f(x)在[0,2]上是增函数,且 f(a)≥ f(0), 那么实数 a 的取值范围是_______________.

1? x2 14. 函数 y ? 的值域是_______________. 1? x2
15.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: f ( x) ? f (? x) ? 0, 当x ? 0时, 有f ( ) ? ? f ( x) .请 写出这样的函数的一个表达式: ______________________. (答案不唯一)

1 x

三、解答题(共 60 分)
16.(15 分)解方程: 1 ? log2 ( x ? 1) ? log2 ( x 2 ? 1) . 17. (15 分)已知 f ( x ) 是定义域为 R 且恒不为零的函数,对于任意的实数 x,y 都满足:

f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) 。 (1)求 f (0) 的值; (2)设当 x< 0 时,都有 f ( x) ? f (0) ,判断
函数 f ( x ) 在( ? ?,?? ) 上的单调性,并加以证明. 18. (15 分) 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元。该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的 出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件。 (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本) 19. (20 分)对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”,若 f ( f ( x)) ? x ,则 称 x 为 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即

A ? {x | f ( x) ? x }, B ? {x | f [ f ( x)] ? x} .
(1). 求证:A ? B ;
2 (2).若 f ( x) ? ax ? 1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

颍上一中 2013 年高中数学竞赛(高一卷)
时间:2013 年 12 月 28 日 9:00——11:00 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题. 一、选择题(每题 6 分共 36 分,请将正确答案的标号填入下面的表格中) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 A 6 C

二、填空题(每题 6 分共 54 分) 7.

1 2 1 x ? 3 3

8. -3

9. 3 | ? x ? 4 | ?2 x?1

10. 5

11. 2

?( x ? 2)

(或等价形式)

12. 1

13. [0,4]

14. (?1,1]

?0, x ? 0 ? 15. f ( x) ? ? (答案不唯一) 1 ?x ? x , x ? 0 ?

三、解答题(共 60 分)
16.解:因为 x ? 1 ? 0, x2 ?1 ? 0 ,所以 x ? 1 由原方程可得: l o g2 2( x ? 1) ? log2 ( x2 ?1) 所以 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

3分 5分

8分 12 分

解得: x1 ? 3 , x2 ? ?1 (不合题意,舍去) 经检验可知, x ? 3 是原方程的解。 15 分

17.解: (1)令 x ? y ? 0 ,则有 f (0) ? f (0) ? f (0 ? 0) ,

2分

f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 ,4 分
因为 f ( x ) 是定义域为 R 且恒不为零的函数,所以 f (0) ? 1

5分

(2)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ? x2 ) ? f (0) ? 1 ,7 分

又对任意的实数 x , f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0

x 2

x 2

x 2

x 2

10 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 )

= f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 )[ f ( x1 ? x2 ) ?1] ? 0

14 分

所以, f ( x ) 在实数域上是减函数。

15 分

18. (15 分) 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元。该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的 出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件。 (I)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (II)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本) 解: (I)当 0 ? x ? 100 时, P ? 60 ……2 分 当 100 ? x ? 500 时, P ? 60 ? 0.02( x ? 100) ? 62 ?

x ……5 分 50

0 ? x ? 100 ?60 ? ( x ? N ) ……7 分 所以 P ? f ( x ) ? ? x 100 ? x ? 500 ?62 ? 50 ?
(II)设销售商的一次订购量为 x 件时,工厂获得的利润为 L 元,则

0 ? x ? 100 ?20 x ? ……12 分 L ? ( P ? 40) x ? ? x2 22 x ? 100 ? x ? 500( x ? N ) ? 50 ?
当 x ? 450 时, L ? 5850 ……14 分 因此,当销售商一次订购了 450 件服装时,该厂获利的利润是 5850 元。……15 分 19. (20分)对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”,若 f ( f ( x)) ? x , 则称 x 为 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即

A ? {x | f ( x) ? x }, B ? {x | f [ f ( x)] ? x} .
(1). 求证:A ? B
2 (2).若 f ( x) ? ax ? 1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

证明(1).若 A=φ,则 A ? B 显然成立;……2分 若 A≠φ,设 t∈ A,则 f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即 t∈ B,从而 A ? B. ……6分 解 (2):A 中元素是方程 f(x)=x 即 ax ?1 ? x 的实根.
2

由 A≠φ,知 a=0 或 ?
2 2

a?0 ? ?? ? 1 ? 4a ? 0



a??

1 ……9分 4

B 中元素是方程 a(ax ? 1) ? 1 ? x 即

a 3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 (*)的实根

由 A ? B,知方程(*)左边含有一个因式 ax ? x ? 1 ,即方程可化为
2

(ax2 ? x ? 1)(a 2 x 2 ? ax ? a ? 1) ? 0
因此,要 A=B,即要方程

a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 ax2 ? x ? 1 ? 0

① ② 的根. ……13分

要么没有实根,要么实根是方程

若①没有实根,则 ? 2 ? a 2 ? 4a 2 (1 ? a) ? 0 ,由此解得
2 2

a?

3 ……16分 4

若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有 a x ? ax ? a ,代入①有 2ax+1=0.

1 1 1 3 ? ? 1 ? 0, 由此解得 a ? .……18分 ,再代入②得 2a 4a 2a 4 1 3 [? , ] 故 a 的取值范围是 ……20分 4 4
由此解得 x ? ?


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