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广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷(文科)


广东省惠州市 2015 届高三第三次调研数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∪B=() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 2. (5 分)已知 0<a<2,复数 z=a+i(i 是虚数单位) ,则|z|的取值范围是() A. B.(1,5) C.(1,3) D.

3. (5 分)函数 f(x)= A.(2,+∞) (﹣1,2]

+ln(x+1)的定义域为() C. (﹣1,2) D.

B.(﹣1,2)∪(2,+∞)

4. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于() A.1 B.
2

C.﹣2

D.3

5. (5 分)已知 a∈R,则“a <2a”是“a<2”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 7. (5 分)下列命题正确的是() A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
2 2 2 2

8. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 的最大值为()

A.3

B. 6

C.

D.1

9. (5 分)如图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为()

A.72

B.36

C.24

D.12

10. (5 分)已知函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意两个实数 x1≠x2,不等 式 A.(﹣∞,﹣3) 恒成立,则不等式 f(x+3)<0 的解集为() B.(4,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,﹣4)

二、 填空题: (本大题共 3 小题, 分为必做题和选做题两部分. 每小题 5 分, 满分 15 分) (一) 必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. (5 分)已知向量 ,且 ,则 x=.

12. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,若 a=15,b=10,A= 则 cosB=.



13. (5 分)A,B,C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 黄豆随机撒在△ ABC 内,则这粒黄豆落在△ PBC 内的概率为.

,现将一粒

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答,按第一题记分【坐 标系与参数方程选做题】 (共 1 小题,满分 5 分) 14. (5 分)在极坐标系中,直线 ,被圆 ρ=4 截得的弦长为.

【几何证明选做题】 15. 如图, 已知△ ABC 内接于圆 O, 点 D 在 OC 的延长线上, AD 切圆 O 于 A, 若∠ABC=30°, AC=2,则 AD 的长为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知向量 =(cosx+sinx,2sinx) , =(cosx﹣sinx,﹣cosx) ,f(x)= ? , (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值. 17. (12 分)惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的 2015 届高三文科学生共有 800 人, 各学校男、女生人数如表: 甲高中 乙高中 丙高中 女生 153 x y 男生 97 90 z 已知在三所高中的所有 2015 届高三文科学生中随机抽取 1 人, 抽到乙高中女生的概率为 0.2. (1)求表中 x 的值; (2) 惠州市第三次调研考试后, 该县区决定从三所高中的所有 2015 届高三文科学生中利用 随机数表法抽取 100 人进行成绩统计分析,先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号.如 果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了随机数表中第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 (3)已知 y≥145,z≥145,求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率. 18. (14 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥BC,E、F 分别是 A1B,AC1 的中 点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF⊥平面 AA1B1B; ( 3)若 AB=BC=a,A1A=2a,求三棱锥 F﹣ABC 的体积.

19. (14 分)已知递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点.数列 {bn}满足,点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,其中 Sn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 20. (14 分)已知直线 y=﹣2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C. (1)求 曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方 程. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +2ax+1(a∈R) ,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 x∈,不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|; (3)设函数 ,求 g(x)在 x∈时的最小值.
2

2

广东省惠州市 2015 届高三第三次调研数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∪B=() A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 按照并集的定义直接写出 A∪B 即可. 解答: 解:∵A={0,1,2,3},B={1,2,4}, ∴A∪B={0,1,2,3,4} 故答案为:A 点评: 本题考查集合的运算,求并集及运算.属于基础题. 2. (5 分)已知 0<a<2,复数 z=a+i(i 是虚数单位) ,则|z|的取值范围是() A. B.(1,5) C.(1,3) D.

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数模的公式写出|z|= , 再由 0<a<2 求得 1<a +1<5, 则答案可求.
2

解答: 解:∵复数 z=a+i,则|z|=
2



由 0<a<2,得 1<a +1<5, ∴|z|∈(1, ) . 故选:D. 点评: 本题考查了复数模的求法,考查了函数的值域,是基础的计算题. 3. (5 分)函数 f(x)= A.(2,+∞) (﹣1,2] +ln(x+1)的定义域为() C. (﹣1,2) D.

B.(﹣1,2)∪(2,+∞)

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,解得:﹣1<x<2,

故选:C. 点评: 本题考查了二次根式的性质,考查了对数函数的性质,是一道基础题. 4. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于() A.1 B. C.﹣2 D.3

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 S3=6= (a1+a3) ,且 a3=a1+2d,a1=4,解方程求 得公差 d 的值. 解答: 解:∵S3=6= (a1+a3) ,且 a3=a1+2d,a1=4,∴d=﹣2, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的定义和性质,通项公式,前 n 项和公式的应用,属于基础题. 5. (5 分)已知 a∈R,则“a <2a”是“a<2”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 2 分析: 先解出 a <2a,再进行判断即可 2 2 解答: 解:因为 a <2a,所以 0<a<2,则“a <2a”是“a<2”的充分而不必要条件; 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了集合之间的关系,是一道基础题.
2

6. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径, 计算两圆的圆心距, 将圆心距和两圆的半径之和或半径之 差作对比,判断两圆的位置关系. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R= 3, 两圆的圆心距 d= = ,

2

2

2

2

R+r=5,R﹣r=1, R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径. 7. (5 分)下列命题正确的是() A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面 的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用直线与平面所成的角的定义, 可排除 A; 利用面面平行的位置关系与点到平面 的距离关系可排除 B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确;利用面面垂直 的性质可排除 D. 解答 : 解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面, 故 A 错误; B、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行或相交, 故 B 错误; C、设平面 α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面 α 内存在直线 b∥l,在平 面 β 内存在直线 c∥l,所以由平行公理知 b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明 b∥β, 进而由线面平行的性质定理证明得 b∥a,从而 l∥a,故 C 正确; D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除 D. 故选 C. 点评: 本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系, 线面平行的判定和性质, 面面垂 直的性质和判定,空间想象能力,属基础题.

8. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 的最大值为()

A.3

B. 6

C.

D.1

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

设 k= ,则 k 的几何意义为区域内的点 P(x,y)到圆点 O 的斜率, 由图象可知,OA 的斜率最大, 由 ,解得

其中 A(1,6) , 则 OA 的斜率 k=6, 故 的最大值为 6, 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关 键. 9. (5 分)如图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为()

A.72

B.36

C.24

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 通过三视图,判断几何体的形状,利用三 视图的数据,求解几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知,几何体是三棱锥,底面三角形的一边长为 6,底面三角形的高为: 4, 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为:3. 所以几何体的体积: =12.

故选 D. 点评: 本题考查三视 图视图能 力与几何体的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力. 10. (5 分)已知函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意两个实数 x1≠x2,不等 式 A.(﹣∞,﹣3) 恒成立,则不等式 f(x+3)<0 的解集为() B.(4,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,﹣4)

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于任意两个实数 x1≠x2,不等式 恒成立,可得函数 f

(x)在 R 上单调递增.由函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,可得 f(﹣1)=0,即可 解出. 解答: 解:∵对于任意两个实数 x1≠x2,不等式 恒成立,

∴函数 f(x)在 R 上单调递增. ∵函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=0, ∴不等式 f(x+3)<0=f(﹣1)化为 x+3<﹣1, 解得 x<﹣4, ∴不等式的解集为: (﹣∞,﹣4) . 故选:D. 点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力,属于中档题. 二、 填空题: (本大题共 3 小题, 分为必做题和选做题两部分. 每小题 5 分, 满分 15 分) (一) 必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. (5 分)已知向量 ,且 ,则 x=0.

考点: 平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用.

分析: 根据题意,得 ? =0,求出 x 的值即可. 解答: 解:∵ ∴ , ,且 ,

解得 x=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系, 是基 础题. 12. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,若 a=15,b=10,A= 则 cosB= .



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 a,b,sinA 的值代入求出 sinB 的值,即可求出 cosB 的值即可. 解答: 解:∵△ABC 中,a=15,b=10,sinA= ,

∴由正弦定理

=

得:sinB=

=

=



∵b<a,∴B<A,即 B 为锐角, 则 cosB= 故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. = ,

13. (5 分)A,B,C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 黄豆随机撒在△ ABC 内,则这粒黄豆落在△ PBC 内的概率为 .

,现将一粒

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由 P 在该平面内且有 ,得到 PB= PA 且 P 在线段 AB 上,所以△ PBC

的面积是△ ABC 的 ,由几何概型的概率公式可求.

解答: 解: 由 P 在该平面内且有

, 得到 PB= PA 且 P 在线段 AB 上, 所以△ PBC

的面积是△ ABC 的 ,由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△ PBC 内的概率为 ; 故答案为: . 点评: 本题给出点 P 满足的条件,求 P 点落在△ PBC 内的概率,着重考查了平面向量共 线的充要条件和几何概型等知识,属于基础题. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答,按第一题记分【坐 标系与参数方程选做题】 (共 1 小题,满分 5 分) 14. (5 分)在极坐标系中,直线 ,被圆 ρ=4 截得的弦长为 4 .

考点: 直线的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程, 再利用弦长公式弦长=2 为圆心到直线的距离)即可得出. 解答: 解:直线 ∴x+y﹣2 =0, 2 2 圆 ρ=4 化为 x +y =16. ∴圆心 O(0,0)到直线的距离 d= ∴直线被圆截得的弦长=2 = =2. =4 . ,化为 =2, (d

故答案为:4 . 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式,考 查了计算能力,属于基础题. 【几何证明选做题】 15. 如图, 已知△ ABC 内接于圆 O, 点 D 在 OC 的延长线上, AD 切圆 O 于 A, 若∠ABC=30°, AC=2,则 AD 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段.

专题: 直线与圆. 分析: 作 CE⊥AD 于点 E, 由已知结合三角形中角的关系得到 AE 的长度, 再由 AD=2AE 得答案. 解答: 解:如图,作 CE⊥AD 于点 E, ∵∠ABC=30°,∴∠CDA=30°,则∠COA=60°, ∴△AOC 为正三角形, ∴∠CAO=60°,AC=OC, ∴∠CAE=30°,AC=CD, 又∵CE⊥AD, ∴AE= 则 AD=2AE= 故答案为: . . ,

点评: 本题考查了与圆有关的比例线段,考查了直角三角形的解法,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知向量 =(cosx+sinx,2sinx) , =(cosx﹣sinx,﹣cosx) ,f(x)= ? , (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先求得 f(x)= (2)先求得 2x+ 值﹣ . cos(2x+ ) ,根据周期公式可得 f(x)的最小正周期; =π 即 x= 时,取到 f(x)的最小

∈,由函数的单调性质可得当 2x+

解答: 解:f(x)= ? =(cosx+sinx) (cosx﹣sinx)+2sinx(﹣cosx) =cos x﹣sin x﹣2sinxcosx =cos2x﹣sin2x = cos(2x+ =π )
2 2

(1)T=

(2)x∈时,2x+ ∴当 2x+

∈ 时,

=π 即 x=

取到 f(x)的最小值﹣ . 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用, 平面向量数量积的运算, 三角函数的 图象与性质,属于基础题. 17. (12 分)惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的 2015 届高三文科学生共有 800 人, 各学校男、女生人数如表: 甲高中 乙高中 丙高中 女生 153 x y 男生 97 90 z 已知在三所高中的所有 2015 届高三文科学生中随机抽取 1 人, 抽到乙高中女生的概率为 0.2. (1)求表中 x 的值; (2) 惠州市第三次调研考试后, 该县区决定从三所高中的所有 2015 届高三文科学生中利用 随机数表法抽取 100 人进行成绩统计分析,先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号.如 果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了随机数表中第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 (3)已知 y≥145,z≥145,求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率. 考点: 概率的应用. 专题: 综合 题;概率与统计. 分析: (1) 利用在三所高中的所有 2015 届高三文科学生中随机抽取 1 人, 抽到乙高中女 生的概率为 0.2,求出表中 x 的值; (2)根据从第 8 行第 7 列的数开始向右读,即可写出最先检测的 3 个人的编号; (3)y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300,y≥145,z≥145,图象为线段 y+z=300(145≤y≤155) , 即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率. 解答: 解: (1)∵在三所高中的所有 2015 届高三文科学生中随机抽取 1 人,抽到乙高中 女生的概率为 0.2, ∴x=800×0.2=160; (2)从第 8 行第 7 列的数开始向右读,最先检测的 3 个人的编号为 165、538、629; (3)y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300,y≥145,z≥145,图象为线段 y+z=300(145≤y≤155) ∵丙高中学校中的女生比男生人数多,∴y>z, ∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为 .

点评: 本题考查概率的应用,考查学生分析解决问题的能力,正确计算是关键. 18. (14 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥BC,E、F 分别是 A1B,AC1 的中 点. (1)求证:EF∥平面 ABC;

(2)求证:平面 AEF⊥平面 AA1B1B; (3)若 AB=BC=a,A1A=2a,求三棱锥 F﹣ABC 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 A1C,可证 EF 是△ A1BC 的中位线,即 EF∥BC,从而可证 EF∥平面 ABC. (2)易知 BC⊥B1B,又由 BC⊥BA,即 BC 垂直平面 ABB1A1,又 EF∥BC,即 EF⊥平面 ABB1A1,即可证明平面 AEF⊥平面 AA1B1B, (3)由直三棱柱可知 V 三棱锥 F﹣ABC= S△ ABC×h= S△ ABC× ×CC1,代入即可求值. 解答: 证明: (1)连结 A1C, 由 A1C1CA 是矩形,则 A1C 必过 AC1 的中点 F,即 F 是 A1C 的中点, 同理 E 是 A1B 的中点, 则 EF 是△ A1BC 的中位线, 即 EF∥BC,又由 BC 在平面 ABC 中,EF 在平面 ABC 外, 则 EF∥平面 ABC. (2)由 A1B1C1﹣ABC 是直棱柱,则 B1B⊥BC,即 BC⊥B1B, 又由 BC⊥BA,即 BC 垂直平面 ABB1A1, 又由(1)知 EF∥BC,即 EF⊥平面 ABB1A1, 而 EF 在平面 AEF 中,则平面 AEF⊥平面 AA1B1B, (3)∵三棱柱 A1B1C1﹣ABC 是直三棱柱. ∴V 三棱锥 F﹣ABC= S△ ABC×h = S△ ABC× ×CC1 = = . ×a×a×a

点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的判定, 直线与平面平行的判定, 考查了空间想象 能力,属于中档题. 19. (14 分)已知递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点.数列 {bn}满足,点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,其中 Sn 是数列{bn}的前 n 项和 . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
2

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)先解出两个零点,再利用等差、等比数列的通项公式即可; (2)直接使用错位相减法求之即可. 解答: 解: (1)因为 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点,则
2

,解

得:





又等差数列{an}递增,则

,所以

…3 分

因为点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,则 Sn=﹣bn+1. 当 n=1 时,b1=S1=﹣b1+1,即 . . .…6 分 ,

当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=(﹣bn+1)﹣(﹣bn﹣1+1) ,即 所以数列{bn}为首项为 ,公比为 的等比数列,即 (2)由(1)知: 则 所以 ① 且

②. ①﹣②得: . 所以 .…12 分

点评: 本题考查知识点等差、等比数列的通项公式;错位相减法求数列的和,考查分析问 题解决问题的能力, 20. (14 分)已知直线 y=﹣2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方 程. 考点: 抛物线的标准方程;直线的一般式方程.

专题: 计算题. 分析: (1)先设 P 点坐标,进而得出 Q 点坐标,再根据 OP⊥OQ?kOP?kOQ=﹣1,求出 曲线方程; (2)设出直线直线 l2 的方程,然后与曲线方程联立,由于直线 l2 与曲线 C 相切,得出二次 函数有两个相等实根,求出 ,再由点到直线距离公式表示出 d,根据 a+b≥2 ,

求得 b 的值,即可得到直线方程. 解答: 解: (1)设点 P 的坐标为(x,y) ,则点 Q 的坐标为(x,﹣2) . ∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=﹣1. 当 x≠0 时,得
2

,化简得 x =2y. (2 分)

2

当 x=0 时,P、O、Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0. ∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0) . (4 分) (2)∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y=kx+b, (5 分) 由 得 x ﹣2kx﹣2b=0.
2

∵直线 l2 与曲线 C 相切, ∴△=4k +8b=0,即 点(0,2)到直线 l2 的距离
2

. (6 分) = (7 分)= (8

分)

(9 分)=

. (10 分)

当且仅当

,即

时,等号成立.此时 b=﹣1. (12 分)

∴直线 l2 的方程为 或 . (14 分) 点评: 本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数,对于(2)问关键是利 用了 a+b≥2 ,求出 b 的值.属于中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +2ax+1(a∈R) ,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 x∈,不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|; (3)设函数 ,求 g(x)在 x∈时的最小值.
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题. 专题: 综合题;导数的综合应用.

分析: (1)根据 f(x)≤f′(x) ,可得 x ﹣2x+1≤2a(1﹣x) ,分离参数,确定右边函数的 最大值,即可求 a 的取值范围; (2)由 f(x)=|f′(x)|,可得|x+a|=1+a 或|x+a|=1﹣a,再分类讨论,即可得到结论; (3)由 f(x)﹣f′(x)=(x﹣1) , 行分类讨论,即可确定 g(x)在 x∈时的最小值. 解答: 解: (1)因为 f(x)≤f′(x) ,所以 x ﹣2x+1≤2a(1﹣x) , 又因为﹣2≤x≤﹣1,所以 在 x∈时恒成立,
2

2

,对 a 进

因为

,所以



(2)因为 f(x)=|f′(x)|,所以 x +2ax+1=2|x+a|, 2 2 所以(x+a) ﹣2|x+a|+1﹣a =0,则|x+a|=1+a 或|x+a|=1﹣a. ①当 a<﹣1 时,|x+a|=1﹣a,所以 x=﹣1 或 x=1﹣2a; ②当﹣1≤a≤1 时,|x+a|=1﹣a 或|x+a|=1+a,所以 x=±1 或 x=1﹣2a 或 x=﹣(1+2a) ; ③当 a>1 时,|x+a|=1+a,所以 x=1 或 x=﹣(1+2a) .

2

(3)因为 f(x)﹣f′(x)=(x﹣1) , ,则 x∈时,f(x)≥f′(x) ,所以 g(x)=f′(x)=2x+2a,

①若

从而 g(x)的最小值为 g(2)=2a+4; ②若 当 ,则 x∈时,f(x)<f′(x) ,所以 g(x)=f(x)=x +2ax+1, 时,g(x)的最小值为 g(2)=4a+5,
2 2

当﹣4<a<﹣2 时,g(x)的最小值为 g(﹣a)=1﹣a , 当 a≤﹣4 时,g(x)的最小值为 g(4)=8a+17. ③若 ,则 x∈时,

当 x∈时,g(x)最小值为 g(1﹣2a)=2﹣2a. 因为 , (4a+5)﹣(2﹣2a)=6a+3<0,

所以 g(x)最小值为 4a+5.

综上所述,



点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查恒成立问题,考查分类讨论的数 学思想,正确分类是关键.


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