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高三数学一轮复习第29讲圆锥曲线方程及性质教案

圆锥曲线方程及性质 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 教 作用; 学 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方 目 程、几何图形及简单性质; 标 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。 本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中 一般有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的 概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试 命 题 走 向 题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆 锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本 方法。 对于本讲内容来讲,预测 2013 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定 义。 教 学 多媒体课件 准 备 要点精讲 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭 圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任 意一点,则有 | MF 。 1 | ? | MF2 |? 2a 椭圆的标准方程为: x2 y 2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ?1 ( ) (焦点在 x 轴上) 或 a 2 b2 a2 b2 (a ?b ? 0 ) (焦点在 y 轴上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ; 2 2 2 教 学 过 程 的位置,只要看 x 和 y 2 的分母的大小。例如椭圆 2 ②在 x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件, 和 要分清焦点 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1( m ? 0 , n ? 0 , m n m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭 圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程 x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 a 2 b2 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时, 点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线 关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点 是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐 标。在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a,0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的 两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b ,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由 椭 圆 的 对 称性 知 : 椭圆 的 短 轴 端 点到 焦 点 的距 离 为 a ; 在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c2 ; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 , a ∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 ,c 就越接近于 0 , 从而 b 越接近于 a , 这时椭圆越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a 2 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F 1F 2 | 条件下;| PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 时为双曲线的一支(含 F2 的一支) ; | PF2 | ? | PF 1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 1的 一支) ;②当 2a ?| F 1F 2 | 时, || PF 1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射线;③当 2a ?| F 1F 2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F1F2 | 叫做 焦距。 椭圆和双曲线比较: 椭 定 义 方 程 焦 点 圆 双 曲 线 | PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |) x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |) x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2 F (?c, 0) F (0, ?c) F (?c, 0) F (0, ?c) 注意:如何有方程确

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