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2013—2014学年度南昌市高三一模试卷数学(文科)参考答案


2013—2014 学年度南昌市高三第一次模拟测试卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 2 ; 12. 45 ;
0

13. 5 ; 14. [?2, ??) ; 15.

n( n ? 1) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

16. 解: (1)∵ a 与 b 共线,∴
则 y ? f ( x) ? 2sin( x ? 当 x ? 2 k? ?

?
3

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 ……………………2 分 2 2 2

) ,∴ f ( x) 的周期 T ? 2? ,…………………………………4 分

?
6

, k ? Z 时, fmax ( x) ? 2 …………………………………………………6 分 ) ? 3 ,∴ 2sin( A ?

(2)∵ f ( A ? ∵0 ? A ?

?
3

?

?
2

,∴ A ?

?
3

? 3 ? ) ? 3 ,∴ sin A ? 3 3 2

.………………………………………………………………8 分

a b c ? ? 得, sin A sin B sin C b?c 13 3 b ? c 3 sin B ? sin C ? sin A ,即 ,∴ b ? c ? 13 …………………10 分 ? ? a 14 7 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得
由正弦定理,得

a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ,即 49 ? 169 ? 3bc ,∴ bc ? 40
1 1 3 bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 …………………………………………12 分 2 2 2 17. 解: (1) a ? 35, b ? 0.30 …………………………………………………………2 分 (2)因为第 3 、 4 、 5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组 6 6 6 ? 30 ? 3 人,第 4 组: ? 20 ? 2 人, 第 5 组: ? 10 ? 1 人, 分别为:第 3 组: 60 60 60 所以第 3 、 4 、 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人.………………………………………6 分
∴ S?ABC ? — 高三数学(文科)(模拟一)答案第 1 页 —

4 2 1 设第 3 组的 3 位同学为 A 1 、 A2 、 A 3 ,第 组的 位同学为 B 1 、 B2 ,第 5 组的 位同学为 C1 ,则
从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, C1 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , C1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1, C1 ? , (B2 , C1 )
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 18.解: (1) S n ?

9 3 ? ………………12 分 15 5

an (an ? 1) a (a ? 1) , n ? N ? ,当 n ? 1 时, S1 ? 1 1 ,? a1 ? 1 …1 分 2 2

2 ? ?2Sn ? an ? an 2 2 ………………3 分 ? 2an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? an ? an ? ?1 ? an ? an ?1 2 ? ?2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1

所以 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0,

an ? an?1 ? 0

? an ? an?1 ? 1, n ? 2 ,……………………………………………………………………5 分
∴数列 {an } 是等差数列 ,∴ an ? n ……………………………………………………6 分

2Sn n (2)由(1) Sn ? n(n ? 1) ,∴ bn ? ? ? ? n ………………………………8 分[ n 2 (n ? 1) ? 2 2
∴ ?Tn ?

1 2 n ?1 n ? 2 ? ? n ?1 ? n …………………………………………………………9 分 2 2 2 2 2 n ?1 n ?2Tn ? 1 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 …………………………………………………………10 分 2 2 2
1? 1 n ? n ?1 ? n ? ? 2n ? n ? ?2 ? 1 ? n ? ?2 ? n ? 2 ………12 分 2 2 1 2n 2n ?1 2n 2n 1? 1

1 ∴ Tn ? ?1 ? ? 2

2 19. (1)证明:∵平面 ACDE ? 平面 ABC , OD ? AC ,

∴ OD ? 平面 ABC ………………………………………2 分 ∵ AE // OD ,∴ AE ? 平面 ABC ,∴ AE ? BC 又∵ AB ? BC ,∴ BC ? 平面 EAB ∵ BC ? 平面 EBC ,∴平面 EBC ? 平面 EAB .…………6 分 (2)解:∵ OD ? OB ? 1 ,∴ BC ? DB ? DC ? 2 , S?DBC ? 连 AD ,设点 A 到平面 DBC 的距离为 d ,∵ VA? DBC ? VD? ABC

3 3 …8 分 ? ( 2)2 ? 4 2

1 1 3 2 3 ? ? AC ? OB ? OD , …………………………12 分 d ? 1, d ? 3 2 2 3 20.解: (1)椭圆 C 的右焦点为 (1, 0) ,∴ c ? 1 ,椭圆 C 的左焦点为 (?1, 0)
∴ ? S?DBC ? d ? 可得 2a ? (1 ? 1)2 ? (? )2 ? (1 ? 1)2 ? (? )2 ?

1 3

3 2

3 2

5 3 ? ? 4 ,解得 a ? 2 , 2 2

— 高三数学(文科)(模拟一)答案第 2 页 —

∴ b ? a ? c ? 4 ? 1 ? 3 ∴椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 …………………… 4 分 4 3

(2)①当直线斜率不存在时, | AB |2 ? (2b)2 ? 4b2 , | MN |?

2b 2 , a

2 2 所以 W ? | AB | ? 4b ? 2a ? 4 .……………………………………………… 6 分 | MN | 2b 2 a ②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , x ? x 由? 1 2 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ?

?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| MN | = 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]
= (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) .…………………………………… 10 分 ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x2 ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则

48(1 ? k 2 ) 2 3(1 ? k ) 2 | AB | = 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 ,所以 W ? | AB | ? 3 ? 4k ? 4 2 3 ? 4k | MN | 12(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 综上所述, W 为定值 4 . ……………………………………………………………… 13 分
2

1 ? 2x ? a . x (1)由已知得: f ?(1) ? 0 ,∴ 1 ? 2 ? a ? 0 ,∴ a ? 3 .……………3 分 a a2 2( x ? ) 2 ? 1 ? 2 1 2 x ? ax ? 1 4 8 , (2)当 0 ? a ? 2 时, f ?( x) ? ? 2 x ? a ? ? x x x
21. 解: f ?( x) ? 因为 0 ? a ? 2 ,所以 1 ?

a2 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,而 x ? 0 ,即 f ?( x) ? ?0, 8 x

故 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数.………………………8 分 (3)当 a ? (1, 2) 时,由(2)知, f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) ? 1 ? a , 故问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 1 ? a ? m ln a 恒成立.即 m ? 记 g (a) ?

1? a ?a ln a ? 1 ? a , (1 ? a ? 2 ) ,则 g ?(a) ? ,…………………………10 分 ln a a ln 2 a 令 M (a) ? ?a ln a ?1 ? a ,则 M ?(a) ? ? ln a ? 0
— 高三数学(文科)(模拟一)答案第 3 页 —

1? a 恒成立 ln a

所以 M (a) ,所以 M (a) ? M (1) ? 0 ……………………………………………………12 分

1? a 1? 2 ? ? log 2 e 在 a ? (1, 2) 上单调递减所以 m ? g (2) ? ln a ln 2 即实数 m 的取值范围为 (??, ? log2 e] .………………………………………………14 分
故 g ?(a ) ? 0 ,所以 g ( a ) ?

— 高三数学(文科)(模拟一)答案第 4 页 —


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