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高中数学人教A版必修1课件:2.2.1.2 对数的运算


第2课时 对数的运算

-1-

1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其应用. 3.初步掌握对数在生活中的应用.

1

2

1.对数的运算性质 条件 a>0,且 a ≠1,M> 0,N> 0 loga(M· N)=logaM+loga N 性质 log
M N

= logaM-logaN

logaMn=nloga M(n∈R) 名师点拨一般情况下 ,当 a>0,且 a≠1,M>0,N>0
时 ,loga(M· N)≠(logaM)(logaN),loga(M+N)≠logaM+logaN,log log . log



1

2

【做一做1-1】 lg 2+lg 5的值为( ) A.2 B.5 C.7 D.1 解析:原式=lg(2×5)=lg 10=1. 答案:D 【做一做1-2】 log318-log32的值为( A.log316 B.log320 C.log336 D.2
18 解析:原式=log3 2

)

= log39=2.

答案:D

1

2

2.换底公式 loga b=
log log

(a>0,且 a ≠1;c> 0,且 c ≠1; b>0).

知识拓展 1.可用换底公式证明以下结论 :(1)logab=
1 ; (2)loga b· logbc· logca=1;(3)l og log logab;(5)l og 1 = ?logab.

= logab;(4)l og =

2.对换底公式的理解 : 换底公式真神奇 ,换成新底可任意 , 原底加底变分母 ,真数加底变分子 .

1

2

【做一做 2】 log29· log278= 解析 :原式 = 答案 :2

. 2.

lg9 lg8 2lg3×3lg2 × = = lg2 lg27 lg2×3lg3

对数的运算性质 剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据, 要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用. (2)使用对数运算性质的前提条件是M>0,N>0,a>0,且a≠1,没有上 述条件,公式就不一定成立.如log2[(-2)×(-7)]是存在的,但log2(-2)与 log2(-7)不存在,故log2[(-2)×(-7)]≠log2(-2)+log2(-7). (3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中 M>0,N>0,a>0,且a≠1).

式子 名称

ab=N a——幂的底数 b——幂的指数 N——幂 aman=am+n am = ? n a (am)n=amn

logaN=b a——对数的底数 b——以 a 为底 N 的对数 N——真数 loga(M· N)=logaM+loga N log
M N

运算性质

= logaM-logaN

logaMn=nloga M

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

化简、求值

【例 1】 计算下列各式的值:
7 1 + log212 ? log242; 48 2 2 (2)lg 52 + lg 8+lg 5· lg 20+(lg 2)2. 3

(1)log2

分析:利用对数的运算性质进行计算.

题型一

题型二

题型三

题型四

1 1 =? . 2 2 1 7 1 2 方法二 :原式 = log2 + log2(2 ×3) ? log2( 2×3×7) = 2 48 2 1 1 1 1 1 1 4 log27 ? log2(2 ×3)+2+log23 ? ? log23 ? log27 =? × 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 log23 + + log23 =-2 + = ? . 2 2 2 2 2

解 :(1)方法一 :原式 =log2

7×12 = 48× 42

log2

4?

(2)原式 =2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1= 3.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思对于同底的对数的化简,常用方法是: (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差); (3)“收”和“拆”相结合,如本题(2).

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 计算下列各式的值:
1 32 4 (1) lg ? lg 8 + lg 245; 2 49 3 32 (2)2log32-log3 + log38 ? 5lo g 5 3 . 9

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)(方法一 )原式 = (5lg 2- 2lg 7) ? × lg 2 + (2lg 7+lg 5) = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7 + lg 5 = = =
1 (lg 2+lg 5) 2 5 2 1 1 lg 2 + lg 5 2 2 1 1 lg 10 = . 2 2 1 2

1 2

4 3

3 2

1 2

(方法二 )原式 =lg =lg
4 2×7 5 7×4

4 2 ? lg 4+lg 7 7

5
1 2

= lg( 2 × 5)=lg 10 = .

(2)原式 =2log32-(log332-log39)+3log32- 3=5log32-(5log32-2log33)-3=-1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

换底公式的应用

【例2】 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示) 分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b, 再利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :∵18b=5, ∴b=log185.

∴log3645 =

log18 5 + log18 9 + = = log182 + log1818 1 + log182 + + + = = = . 2 log 9 2 18 18 1 + log18

log18 45 log18(5×9) = log18 36 log18 (2×18)

9

反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注 意换底公式的正用、逆用以及变形应用. 2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成 一种形式.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 计算下列各式的值: (1)log89· log2732; (2)(log43+log83)· log32. 解 :(1)原式 (2)原式 =
lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 = · = · = . lg8 lg27 3lg2 3lg3 9 lg3 lg3 lg2 lg3 lg3 + · = + lg4 lg8 lg3 2lg2 3lg2 lg2 1 1 · = + lg3 2 3 5 . 6

=

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

对数的实际应用

【例3】 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余 的质量约是原来的84%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的 一半?(结果保留整数) 分析:归纳出剩余量关于时间的关系式,利用计算器求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:设最初的质量是1,经过x年,剩余量是y,则 经过1年,剩余量是y=0.84; 经过2年,剩余量是y=0.842; …… 经过x年,剩余量是y=0.84x. 依题意,得0.84x=0.5, 解得x=log0.840.5.
用计算器求得 log0. 840.5 =
lg0.5 ≈4. lg0.84

故约经过4年,该物质的剩余量是原来的一半.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思解有关对数应用问题的步骤:(1)审清题意,弄清各数据的含 义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N是常数,且 a>0,a≠1),求x;(3)利用换底公式借助计算器来解数学模型;(4)还原为 实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内 的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0) 解:设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原来容器中的 空气体积为a, 则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001, 两边取常用对数得n· lg 0.4<lg 0.001,
解得 n>
lg0.001 lg0.4

=

-3 ≈7.5. 2lg2-1

故至少需要抽8次.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易混易错题


易错点

忽略真数大于 0 致错

【例 4】 已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 的值. 错解 :因为 lg x+lg y=2lg(x-2y),所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2= 0. 所以 (x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或
x=4y,所以

=

1或

= 4.

错因分析:错解中,lg x+lg y=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y的取值范 围的要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要代入原 方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.

题型一

题型二

题型三

题型四

正解 :同错解 ,得到

= 1 或 = 4. 由题意知 ,x>0,y>0,所以当 = 1 时 ,x-2y<0,则

lg(x-2y)无意义 ,所

以 = 1 不合题意,应舍去 ; 当 = 4 时,将 x=4y 代入已知条件 ,符合题意 . 所以 = 4.


反思根据指数式与对数式的互化可知,真数实际上是指数式中的 指数幂,故为正数.所以当求解含有对数式的问题时,一定要注意真 数的取值范围,保证真数大于零.求解过程不等价时,在求出答案后 需进行检验.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练4】 已知方程lg(x+1)+lg x=lg 6,则x等于 ( A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-2 解析:∵lg(x+1)+lg x=lg 6,
lg[( + 1)] = lg6, ( + 1) = 6, ∴ + 1 > 0, ∴ + 1 > 0, > 0, > 0,

)

解得x=2. 答案:B


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