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高三数学第二轮复习资料详解 专题一:数学思想方法(共4节)

专题一 第一讲 数学思想方法 函数与方程思想 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念 的本质认识, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象和性质去分析问题、 转化问题, 从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、 图象变换等. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造 方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、 转化问题, 使问题获得解决. 方 程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观 察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于 函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分 重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次 函数的有关理论. (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达 式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切. 1.(· 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范 围是 ( ) A.[15,20] C.[10,30] 答案 C B.[12,25] D.[20,30] 1 S△ADE 解析 如图,△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为 y,则 = S△ABC ?40-y?2=? x ?2,所以 y=40-x,由题意知 xy≥300,即 x(40- ? 40 ? ?40? x)≥300,整理得 x2-40x+300≤0,解不等式得 10≤x≤30. 2. (· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 1 1 解析 设 a=log36=1+log32=1+ ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1 log23 log25 1 +log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3.(· 浙江)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A.若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C.若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D.若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 答案 A 解析 当 0<a≤b 时,显然 ea≤eb,且 2a≤2b<3b, ∴ea+2a<eb+3b,即 ea+2a≠eb+3b 成立, 所以它的逆否命题:若 ea+2a=eb+3b, 则 a>b 成立,故 A 正确,B 错误; 当 0<a≤b,由 ea≤eb,2a<3b, 知 ea-2a 与 eb-3b 的大小关系不确定, 故 C 错误;同理,D 错误. 4.(· 北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn =________. 答案 2 2n 1-2 + ( ) B.b>c>a D.a>b>c ( ) 解析 设等比数列的公比为 q, 由 a2+a4=20, a3+a5=40.∴20q=40, 且 a1q+a1q3=20, n a1?1-q ? n+1 解之得 q=2,且 a1=2.因此 Sn= =2 -2. 1-q 5.(· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞) 解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y-a)2=a, ?y=x2 ? 由? 2 得 y2+(1-2a)y+a2-a=0. 2 ? x + ? y - a ? = a ? 2 即(y-a)[y-(a-1)]=0, ? ?a>0 则由题意得? 解得 a≥1. ?a-1≥0, ? 题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题 例1 (1)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最 ( 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2 ) 小时 t 的值为 A.1 (2)若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围为________. 审题破题 (1)由题意可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,因此该问题可转化为:求 x 为何值 时,函数 F(x)=x2-lnx 取得最小值. a+3 a?a+3? (2)由 ab=a+b+3 变形可得 b= , 从而求 ab= 的取值范围问题可转化为求函 a-1 a-1 a?a+3? 数 f(a)= 的值域问题;若设 ab=t,则 a+b=t-3,从而 a,b 可看成方程 x2-(t a-1 -3)x+t=0 的两根,利用方程的思想解决. 答案 解析 (1)D (2)[9,+∞) (1)可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx. 2 1 2x -1 2 令 F(x)=x -lnx,则 F′(x)=2x- = , x x 2 所以当 0<x< 时,F′(x)<0,F(x)单调递减; 2 2 当 x> 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 2 2 故当 x= 时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小. 2 (2)方法一 (看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0. a-1 即 a>1 或 a<-3, 又 a>0,∴a>1,故 a-1>0. a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4

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