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2012高中数学 3.1.3导数的几何意义精品课件同步导学 新人教A版选修1-1


? 3.1.3 导数的几何意义

? 1.理解函数y=f(x)在点(x0,y0)处的导数与函数y=f(x)图象 在点(x0,y0)处的切线的斜率间的关系,掌握导数的几何意义 . ? 2.已知函数解析式,会求函数在点(x0,y0)处切线的斜率, 能求过点(x0,y0)的切线的方程.

? 1.根据导数的几何意义,求函数在点(x0,y0)处的切线的方
程.(重点) ? 2.准确理解在某点处与过某点处的切线方程.(易混点)

? 1.平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切 线的呢?

? 2.如图,直线l1是曲线C的切线吗?l2呢?

? 3.设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0 ,f(x0)) 与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,当点B沿曲线趋近于 A时,割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间 有什么关系?与f′(x0)有什么关系?

? 1.导数的几何意义
? (1)割线斜率与切线斜率
设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过点 A(x0,f(x0)) Δy 与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是 = Δx

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

.

当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它 的极限位置为直线 AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处 的

切线

,于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋

近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k=

f′(x0)

=li

.

? (2)导数的几何意义
? 函数y=f(x)在点x0 处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点 P(x ,f(x ))处的切线的 斜率 .也就是说,曲线y=f(x)在
0 0

点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) 线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) .

.相应地,切

2.函数的导数 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导,则 称以(a,b)内的值 x 为自变量,以 x 处的导数 f′(x)为函数值 的函数为 f(x)在(a,b)内的导函数,简称为 f(x)在(a,b)内的 导数,记作 f′(x)或 y′,即 f′(x)=y′=

.

? 1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0))处的切线( ) ? A.不存在 ? C.与x轴垂直 ? 答案: B B.与x轴平行或重合 D.与x轴斜交

? ? ?

2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则A处的切线斜率为( A.4 C.8 B.16 D.2

)

解析:

曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y=2x2

在 x=2 处的导数. 2?x+Δx?2-2x2 Δy f′(x)=lim Δx=lim Δx Δx→0 Δx→0 4x·Δx+2?Δx?2 =lim =4x. Δx Δx→0 则 f′(2)=8,故选 C.

答案: C

? 3.曲线y=2x2+1在点P(-1,3)处的切线方程为________.
Δy k=lim Δx Δx→0

解析:

[2?-1+Δx?2+1]-[2?-1?2+1] =lim Δx Δx→0 =lim (-4+2Δx)=-4.
Δx→0

∴切线方程为 y-3=-4(x+1), 即 y=-4x-1. ? 答案: 4x+y+1=0

? 4.已知曲线y=3x2,求在点A(1,3)处的曲线的切线方程.
2 2 Δy 3?1+Δx? -3×1 解析: ∵ = =6+3Δx, Δx Δx

∴y′|x=1=lim (6+3Δx)=6.
Δx→0

∴曲线在点 A(1,3)处的切线斜率为 6. ∴所求切线方程为 y-3=6(x-1),即 6x-y-3=0.

1 3 已知曲线 y=3x ,求曲线在点 P(3,9)处的切线方程.
[策略点睛]

? [题后感悟]
切线方程?

(1)已知曲线的切点P(x0 ,y0),怎样求曲线的

? ①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0),得切线的斜率k= f′(x0); ? ②根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-

x0).

? (2)注意事项 ? ①求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异.过点P的切线,点P不一定是切点,也不一定在 曲线上;在点P处的切线,点P必为切点,且在曲线上;

? ②若曲线y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)不存在,则切线与y轴
平行或不存在;若f′(x0)=0,则切线与x轴平行.

? 1.求曲线y=f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程. ? 解析: 易证得点P(1,2)在曲线上,

? 由y=x3+2x-1得
? Δy=(x+Δx)3+2(x+Δx)-1-x3-2x+1

? =(3x2+2)Δx+3x·(Δx)2+(Δx)3.

Δy =3x2+2+3x·Δx+(Δx)2. Δx 当 Δx 无限趋近于 0 时,3x2+2+3x·Δx+(Δx)2 无限趋近 于 3x2+2. 即 f′(x)=3x2+2, 所以 f′(1)=5. 故点 P 处的切线斜率为 k=5. 所以点 P 处的切线方程为 y-2=5(x-1). 即 5x-y-3=0.

?

求过点(1,-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.

解答本题可先设出切点坐标,对函数求导,写出切线方 程;再利用切点在曲线上,切线过点(1,-1)代入求解.

[规范作答] 设 P(x0,y0)为切点,
3 ?x0+Δx?3-2?x0+Δx?-?x0-2x0? f′(x0)=lim Δx Δx→0

3x2Δx+3x0?Δx?2-2Δx-?Δx?3 0 =lim Δx Δx→0 =lim [3x2+3x0Δx-2-(Δx)2] 0
Δx→0

=3x2-2,…………………………………1 分 0

则切线斜率为 k=f′(x0)=3x2-2. ……………2 分 0 故切线方程为 y-y0=(3x2-2)(x-x0) 0 ∵(x0,y0)在曲线上,∴y0=x3-2x0 0 又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得 -1-(x3-2x0)=(3x2-2)(1-x0). ………………7 分 0 0 1 解得 x0=1 或 x0=-2.……………………………9 分 ①…3 分 ②…5 分

5 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=-4(x-1). …………………………………………………11 分 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. ……………12 分

? [题后感悟]

(1)求曲线的切线方程的类型:

? (2)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:

? 2.已知曲线y=3x2,求过点B(1,-9)的曲线的切线方程.
解析: ∵点 B 不在曲线上,故设切点 C 的坐标为(x0, y0),则 y0=3x2① 0
2 2 Δy 3?x0+Δx? -3×x0 ∵ = =6x0+3Δx, Δx Δx

∴y′|x=x0=lim (6x0+3Δx)=6x0,
Δx→0

∴曲线在点 C(x0,y0)处的切线斜率为 6x0. ∴所求的切线方程为 y-y0=6x0(x-x0). 又∵切线过点 B(1,-9), ∴-9-y0=6x0(1-x0), 即 y0=6x2-6x0-9.② 0
?x =-1, ? 0 由①②解得? ?y0=3, ? ?x =3, ? 0 或? ?y0=27. ?

∴所求的切线方程为 6x+y+3=0 或 18x-y-27=0.

?

在曲线y=x2上哪一点处的切线,满足下列条件:

? (1)平行于直线y=4x-5;
? (2)垂直于直线2x-6y+5=0;

? (3)与x轴成135°的倾斜角.
? 分别求出该点的坐标.

f?x+Δx?-f?x? [解题过程] f′(x)=lim Δx Δx→0 ?x+Δx?2-x2 =lim =2x, Δx Δx→0 设 P(x0,y0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线 y=4x-5 平行, 所以 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4).

(2)因为切线与直线 2x-6y+5=0 垂直,
? 3 9? 1 3 9 所以 2x0·=-1,得 x0=-2,y0=4,即 P?-2,4?. 3 ? ?

(3)因为切线与 x 轴成 135° 的倾斜角,则其斜率为-1.
? 1 1? 1 1 即 2x0=-1,得 x0=- ,y0= ,即 P?-2,4?. 2 4 ? ?

? [题后感悟]

解决此类问题,关键是利用导数的几何意义

求出过切点的切线的斜率,结合题意列方程,求出切点的坐 标.求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法.

? 3.已知抛物线y=2x2+1,求 ? (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°?

? (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?

解析: 设点的坐标为(x0,y0),则
2 Δy=2(x0+Δx)2+1-2x0-1=4x0·Δx+2(Δx)2,

Δy ∴Δx=4x0+2Δx. Δy 当 Δx 无限趋近于零时,Δx无限趋近于 4x0.即 f′(x0)= 4x0.

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45° , ∴斜率为 tan 45° =1.
? 1 9? 1 即 f′(x0)=4x0=1,得 x0=4,该点为?4,8?. ? ?

(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴斜率为 4.即 f′(x0)=4x0=4 得 x0=1.该点为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直, ∴斜率为 8.即 f′(x0)=4x0=8,得 x0=2,该点为(2,9).

? 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 ? (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0); ? (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为

? y-y0=f′(x0)(x-x0).

? [特别提醒]

(1)若曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的导数

f′(x0)不存在,就是切线与y轴平行.f′(x0)>0,切线与x轴 正向夹角为锐角,f′(x0)<0,切线与x轴正向夹角为钝角; f′(x0)=0,切线与x轴平行. ? (2)若题中所给的点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐

标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进
而可求出切线方程.

? ◎试求过点P(3,5)且与y=x2相切的直线方程.
2 2 2 Δy ?x+Δx? -x 2xΔx+?Δx? = =2x+Δx, Δx= Δx Δx

【错解】

当 Δx 趋近于零时的极限为 2x,即 f′(x)=2x. 所以切线的斜率为 k=6,切线方程为 y-5=6(x-3), 即 6x-y-13=0.

? 【错因】

求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区

别,在点P处的切线,点P必为切点;求过点P的切线,点P未 必是切点,应注意概念不同,其求法也有所不同. ? 【正解】 A(x0,y0), f′(x)=2x(解法同上),设所求切线的切点为

? 因为点A在曲线y=x2上,所以y0=x,
? 又因为A是切点,所以过点A的切线的斜率为f′(x0)=2x0,

因为所求的切线过 P(3,5)和 A(x0,x2)两点, 0 x2-5 0 所以其斜率为 , x0-3 x2-5 0 所以 2x0= ,解得 x0=1 或 x0=5, x0-3

? 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25), ? 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2, ? 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10, ? 因此所求的切线有两条, ? 方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5), ? 即2x-y-1=0和10x-y-25=0.


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