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重庆市万州区高三第一次诊断性考试数学试卷(文科)1


重庆市万州区高第一次诊断性考试函数、数列部分题型整理 一、选择题 1.函数

y ? lg(4 x2 ? 4 x ? 1) 的定义域是(
(B) ? (C) { x | 的值等于(



(A) R 2.三角函数式 sin15 (A) ?

1 x? } 2
) (C)

(D) { x |

1 x ? R且x ? } 2

cos165
(B) ?

1 4

3 4

1 4

(D)

3 4


3.设 l1 、l2 是直角坐标系内的两条直线.已知命题甲: “直线 l1 、l2 的倾斜角相等” , 命题乙: “直线 l1 与 l2 平行” , 则命题甲是命题乙的 ( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)不充分也不必要的条件 ) (B) {x | x ? ?2或x ? 2} (D) ) (B) (D)

4 4.不等式 x ? 的解的集合是( x
(A) {x | (C) 6.函数

x ? 2}

{x | x ? ?2或0 ? x ? 2}

{x | ?2 ? x ? 0或x ? 2}

y ? 5x ? 1 ( x ? 1) 的反函数是( y ? log5 x ? 1 ( x ? 1) y ? log5 ( x ?1) (1 ? x ? 6)

(A) (C)

y ? log5 ( x ?1) ( x ? 1) y ? log5 ( x ? 1) (1 ? x ? 6)

10.数列 {an } 满足 a

n ?1

1 ? 6 ? 2a n 0 ? a n ? 2 ,若 a1 ? ,则 a2009 的值为( ?? 1 7 ?2a n ? 1 ? an ? 1 2 ?
(B)



(A)

6 7

5 7

(C)

3 7

(D)

1 7

8. 已知函数 A.关于点( ,0)对称 C?关于点( ,0)对称 B.关于直线

的最小正周期为 ,则该函数的图象 对称 对称 等于

D.关于直线;^= ,则 D. 1

9. 已知等差数列 A.
二、填空题 13.设全集 S 那么 (痧 S A)

的前 13 项之和为 C. -1

B.

? {a, b, c, d , e, f } ,S 的子集 A ? {a, c, d},B ? {b, d , e} .

( S B) 等于

.

16. 对 任 意 两 个 实 数 为 .

a、 b , 定 义 一 种 运 算 “ ? ” 如 下 : a ? b ? ?

?a (若a ? b) ) (cos x的 )值域 , 那 么 函 数 f ( x) ? (sinx ? ?b (若a ? b)

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三、解答题 18.(本题满分 13 分) 设函数

f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2cos x,1) , b ? (cos x, 3sin 2x)
f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

(1)求函数 (2)当

x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的值域.

19.(本题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中, a2

? a5 ? 18,a3 ? a4 ? 32 ,并且 an?1 ? an (n ? N ? )

(1)求 a2、a5 以及数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn

? lg a1 ? lg a2 ? lg a3 ?

? lg an ,求当 Tn 最大时 n 的值.

20.(本题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a ? 0) 为奇函数,导函数 f ?( x) 的最小值为-12,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切

线与直线 x ? 9 y ? 7 ? 0 垂直. (1)求 a,b,c 的值; (2)求

f ( x) 的各个单调区间,并求 f ( x) 在 x ?[-1, 3]时的最大值和最小值.

21.(本题满分 12 分) 已知

f ( x) 是定义域为[-3,3]的函数,并且设 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x2 ? 1) , h( x) ? f ( x ? c) ,其中常数 c 为实数.

(1)求 g ( x) 和 h( x) 的定义域; (2)如果 g ( x) 和 h( x) 两个函数的定义域的交集为非空集合,求 c 的取值范围; (3)当

f ( x) 在其定义域内是奇函数,又是增函数时,求使 g ( x) ? 0 的自变量 x 的取值范围.

22. (本题满分 13 分) → → →→ 已知向量OP=(2cosx+1,cos2x?sinx+1),OQ=(cosx,?1),定义 f(x)=OP?OQ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合.

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一、1~5

DAB D C

6~10 C A B D B

11~12

C A 8.-9 BB

所以当 Tn 最大时, n 20.解:(1) ∵

? 5或 6


二 、 13.

{f}

16.

[?1,

2 ] 2

. 三

18. 解 : (1) ∵

f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a ? 0) 为奇函数

f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? 3sin 2x
1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x
∴ 函 数 = 2 cos(2 x ?



c?0
∴b



f ?( x) ? 3ax2 ? b ,导函数 f ?( x) 的最小值为-12
又∵直线 x ? 9 y ? 7 ? 0 的斜率为

?
3

) ?1
T ??
又 由

? ?12
并且 ∴

1 , 9

f ( x)

的 最 小 正 周 期

y ? f ( x) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线与它垂直
∴a

2x ?

?
3

? [2k? ? ? , 2k? ] k ? Z 可得: f ( x) 的单调递增区 ?

f ?(1) ? ?9 ,即 3a ? b ? ?9

?1

间形如: [ k? (2) ∵

?
3

, k? ?

?
6

] k ?Z

(2) 由第(1)小题结果可得:

f ( x) ? x3 ?12 x 2)

x ? [0,

?
?
2

] 时, 2 x ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]



2 f ?( x)? 3x ? 1 2? 3x (? 2x )( ?

∴ cos(2 x ? ∴函数

1 ) 的取值范围是 [ ? ,1] 2 3

令 ∵ ∴

f ?( x) ? 0, x ?[?1,3] ,得 x ? 2
f (?1) ? 11 , f (2) ? ?16 , f (3) ? ?9
f ( x) 在 x ?[-1, 3]的最大值为 11,最小值为-16. g ( x)
有 意 义 的 充 要 条 件 为

f ( x) 的最大值是 3,最小值是 0 f ( x) 的是 { y | 0 ? y ? 3}

从而函数

19.解:(1) ∵ a3 ? a4

? a2 ? a5

∴由已知条件可得:

21. 解 : (1) ∵ 函 数

?a2 ? a5 ? 18 ,并且 a5 ? a2 ,解之得: a2 ? 16 , a5 ? 2 ? a ? a ? 32 ? 2 5
从 而 其 首 项

? ?3 ? x ?1 ?3 ? ?2 ? x ? 4 ??2 ? x ? 4 ,即是 ? ? ? ? 2 2 ??3 ? x ?1 ?3 ??2 ? x ? 4 ? | x |? 2
∴函数 g ( x) 的定义域为 {x | ?2 ?

a1

和 公 比

q

满 足 :

x ? 2}
x?c ? 3

? 1 ? a1 ? q ? 16 ? ? ? ? 1 4 a ? q ? 2 ? 1 ?q? ?

a ? 32
故 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 :

∵函数 h( x) 有意义的充要条件为: ?3 ? ∴函数 h( x) 的定义域为 {x | c ? 3 ?

2

x ? c ? 3}
条 件 知

1 an ? 32 ? ( ) n ?1 ? 26? n 2
(2) ∵ lg an

(n ? N ? )

(2)









{x | ?2 ? x ? 2}

{x | c ? 3 ? x ? c ? 3} ? ?

? lg 2

6? n

? (6 ? n)lg 2 (n ? N )

?

数列 {lg an } 是等差数列, ∴ Tn

∴?

?c ? 3 ? ?2 , ? c ?3 ? 2
的 取 值 范 围 是 : [ - 5, 即 5] (3) 是

? 5lg 2 ? 4lg 2 ? 3lg 2 ?
= [5 ? 4 ? 3 ? 2 ?

? (6 ? n)lg 2

∴ c

? (6 ? n)]lg 2

g ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x2 ?1) ? 0 f(
2

n[5 ? (6 ? n)] 1 ? lg 2 = (11n ? n 2 ) ? lg 2 = 2 2 1 2 由于 lg 2 ? 0 ,当且仅当 11n ? n 最大时, Tn 最大. 2

?

x

1 ?



x)f ) f (?

是 奇 函 (x 数 ?, ∴

1

f ( x2 ?1) ? f (1 ? x)

又 ∵ 函 数

f ( x)

的 定 义 域 为

{x | ?3 ? x ? 3},并且是增函数

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? ?3 ? x 2 ? 1 ? 3 ? ?2 ? x ? 2 ? ? ?3 ? 1 ? x ? 3 ? ? 2 ?x ? x ? 2 ? 0 ? x2 ?1 ? 1 ? x ?
解之得 x 的取值范围是: [?2, 2]

3? 5? ? ? ? 令 2k?+ ?x+ ?2k?+ ,k?Z 解得:2k?+ ?x?2k?+ 2 4 2 4 4 5? ? 所以,函数 f(x)的单调递减区间[2k?+ ,2k?+ ],k?Z 4 4 ? ? (Ⅱ)函数 f(x) 的最大值是 2 ,此时 x+ =2k?+ ,即 4 2

(?2,1) = (?2,1)
→ OP ? → OQ =

18.



: (





f(x)=

x=2k?+

? 4

(2cosx+1,cos2x?sinx+1)?(cosx,?1) 2 =2cos x+cosx?cos2x+sinx?1 ? =cosx+sinx = 2sin(x+ ) 4

∴ 函 数 f(x) 取 得 最 大 值 2 时 , x 的 取 值 集 合 为 ? {x|x=2k?+ ,k?Z} 4

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