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【全国市级联考word】山东省聊城市2018届高三一模数学(理)试题


2018 年聊城市高考模拟试题 理科数学(一)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1} , B ? {x | lg( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? ( A. [0,1) B. (?1, ??) C. (0,1) D. (?1, 0] 2.设复数 z ? )

(1 ? i ) 2 ,则 z ? ( 1? i



A.4B.2C. 2 D.1 3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S13 ? 104 , a6 ? 5 ,则数列 {an } 的公差为( A.2B.3C.4D.5 4.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图” ,该图是由四个 全等的直角三角形组成,它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角 三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点,则此点取自小正方形内的概率 是( ) )

A.

1 1 3 2 B. C. D. 10 5 10 5

5.设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其 n 前项和为 Sn , 则 “ S1 9 ?S 2 1 是递增数列”的( )

?2 S 2 0

” 是 “数列 {an }

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
2

D.既不充分也不必要条件

6.已知直线 l 与抛物线 C : y ? 4 x 相交于 A , B 两点,若线段 AB 的中点为 (2,1) ,则直

线 l 的方程为(

) C. y ? ? x ? 3
?x

A. y ? x ? 1 B. y ? ?2 x ? 5
x

D. y ? 2 x ? 3 )

7.已知函数 f ( x) ? x (10 ?10 ) ,不等式 f (1 ? 2 x) ? f (3) ? 0 的解集为( A. (??, 2) B. (2, ??) C. (??,1) D. (1, ??)

x2 y 2 8.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 到渐近线的距离为 4, 且在双曲线 C a b
上到 F2 的距离为 2 的点有且仅有 1 个,则这个点到双曲线 C 的左焦点 F1 的距离为( A.2B.4C.6D.8 9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 1.5,则输入 k 的值应为( ) )

A.4.5B.6 C.7.5D.9 10.在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 的长为 2,点 P 是 ?ABC 所在平面上的任意一点,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PA ? PC 的最小值为(
A.1B.2C.-2D.-1



11.如图是某几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,正视图为等腰直角三角形,若该 几何体的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积与该几何体的体积的比为( )

A.

7? 28? 4? 14 7? B. C. D. 3 9 3 9

? x ? ? 3a, x ? ?2 ? ? x ?1 12.已知函数 f ( x) ? ? 恰有 3 个零点,则实数 a 的取值范围为( ?e x ? a , ?2 ? x ? 0 ? x ?
A. ? ? , ? ? B. ? ? , ?



? 1 ? e

1? 3?

? 1 ? e

1? ? e2 ?

C. ? ? , ?

? 2 ? 3

1? ? e2 ?

D. ? ?

? 2 1? ,? ? ? 3 3?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
?x ? y ?1 ? 0 ? x 1 y 13.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 ( ) 的最大值为. 16 ?x ? 2 y ? 0 ?
14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分,对这些产品的一项质量指标进行了检测, 整理检测结果得到如下频率分布表: 质量指标分组 频率

[10,30)
0.1

[30,50)
0.6

[50, 70]
0.3

据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为.
2 15. ( y ? x ?

2 9 ) 的展开式中常数项为. x2

16.若函数 f ( x) ? m sin( x ? 则正实数 m 的取值范围为.

?

4

) ? 2 sin x 在开区间 (0,

7? ) 内,既有最大值又有最小值, 6

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求 作答. (一)必考题:共 60 分
17.已知数列 {an } 满足 a1 ? ?2 , an?1 ? 2an ? 4 . (Ⅰ)证明: {an ? 4} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 18.某教育培训中心共有 25 名教师,他们全部在校外住宿.为完全起见,学校派专车接送教 师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅, 正常情况下王师傅用 34 座的大客车接送教

师.由于每次乘车人数不尽相同,为了解教师们的乘车情况,王师傅连续记录了 100 次的乘 车人数,统计结果如下: 乘车人 15 数 频数 2 4 4 10 16 20 16 12 8 6 2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

以这 100 次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率. (Ⅰ) 若随机抽查两次教师们的乘车情况, 求这两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率; (Ⅱ)有一次,王师傅的大客车出现了故障,于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需 要乘车的教师.可供选择的小客车只有 20 座的 A 型车和 22 座的 B 型车两种,A 型车一次租 金为 80 元, B 型车一次租金为 90 元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数, 王师傅还要付给多出的人每人 20 元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望 值为依据,判断王师傅租哪种车较合算? 19.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAD 为等边三角形,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,

AD ? 2 BC ? 2 , AB ? AD , AB ? BC .

(Ⅰ)证明: PC ? BC ; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 60 ,求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.
?

20.已知圆 x ? y ? 4 经过椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点和两个顶点,点 a 2 b2

A(0, 4) , M , N 是椭圆 C 上的两点,它们在 y 轴两侧,且 ?MAN 的平分线在 y 轴上,

AM ? AN .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 MN 过定点. 21.已知函数 f ( x) ? 2e ? kx ? 2 .
x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内的单调性; (Ⅱ)若存在正数 m ,对于任意的 x ? (0, m) ,不等式 f ( x) ? 2x 恒成立,求正实数 k 的取 值范围.

(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 .在以坐标原点为极点,

? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 .
4
(Ⅰ)写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A 、 B , P 为圆 C 上的任意一点,求 PA ? PB 的 取值范围. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2a , a ? R . (Ⅰ)若对于任意 x ? R , f ( x ) 都满足 f ( x) ? f (3 ? x) ,求 a 的值; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? ? 2x ?1 ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

??? ? ??? ?

2018 年聊城市高考模拟 理科数学(一)答案 一、选择题
1-5: ACBDC 6-10: DADBC 11、12:CA

二、填空题
13. 4 14. 144 15. 672 16. 2 ? m ? 3 ? 3

三、解答题
17.解: (Ⅰ)∵ a1 ? ?2 ,∴ a1 ? 4 ? 2 , ∵ an?1 ? 2an ? 4 ,∴ an?1 ? 4 ? 2an ? 8 ? 2(an ? 4) , ∴

an?1 ? 4 ? 2 ,∴ {an ? 4} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. an ? 4

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,可知 an ? 4 ? 2n ,∴ an ? 2n ? 4 . ∴ Sn ? a1 ? a2 ???? ? an ? (2 ? 4) ? (2 ? 4) ? ??? ?(2 ? 4)
2 n

? (2 ? 22 ???? ? 2n ) ? 4n ?
∴ Sn ? 2n?1 ? 4n ? 2 .

2(1 ? 2n ) ? 4n ? 2n?1 ? 2 ? 4n . 1? 2

18.解: (Ⅰ)由题意得,在一次接送中,乘车人数超过 18 的概率为 0.8. 记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18”为事件 A ,则

P( A) ? 1 ? (1 ? 0.8) (1 ? 0.8) ? 0.96 .
即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过 18 的概率为 0.96. (Ⅱ)设 X 表示租用 A 型车的总费用(单位:元) ,则 X 的分布列为

X
P

80 0.56

100 0.16

120 0.12

140 0.08

160 0.06

180 0.02

EX ? 80 ? 0.56 ? 100 ? 0.16 ?120 ? 0.12 ? 140 ? 0.08 ?160 ? 0.06 ? 180 ? 0.02 ? 99.6 .
设 Y 表示租用 B 型车的总费用(单位:元) ,则 Y 的分布列为

X

90 0.84

110 0.08

130 0.06

150 0.02

P

EX ? 90 ? 0.84 ? 110 ? 0.08 ?130 ? 0.06 ? 150 ? 0.02 ? 95.2 .
因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据,租 B 型车较合算. 19.证明: (Ⅰ)取 AD 的中点为 O ,连接 PO , CO , ∵ ?PAD 为等边三角形,∴ PO ? AD . 底面 ABCD 中,可得四边形 ABCO 为矩形,∴ CO ? AD , ∵ PO ? CO ? O ,∴ AD ? 平面 POC , ∵ PC ? 平面 POC ,∴ AD ? PC . 又 AD / / BC ,所以 BC ? PC . (Ⅱ)由面 PAD ? 面 ABCD , PO ? AD ,∴ PO ? 平面 ABCD ,

OD , OC 两两垂直, 可得 OP , 又直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 60? , 即 ?PCO ? 60? ,
由 AD ? 2 ,知 PO ? 3 ,得 CO ? 1 . 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz , 则 P0 ( , 3 ) , D(0,1, 0) , C (1, 0, 0) , B(1, ?1, 0) ,

??? ? ??? ? ??? ? BC ? (0,1,0) , PC ? (1,0, ? 3) , CD ? (?1,1,0) ,
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) . ∴?

?

? ? ?y ? 0 ,令 z ? 1 ,则 n ? ( 3,0,1) , ? ? x ? 3z ? 0 ??

设平面 PDC 的一个法向量为 m ? ( x ', y ', z ') , ∴?

?? ? ? x '? y ' ? 0 ,令 z ' ? 1 ,则 m ? ( 3, 3,1) , ? ? x '? 3 z ' ? 0 ?? ? ?? ? m?n 4 2 7 , ? cos ? m, n ? ? ?? ? ? 7 m n 2 7
2 7 . 7

∵二面角 B ? PC ? D 为钝角,∴二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

20.解: (Ⅰ)圆 x2 ? y 2 ? 4 与 x 轴交点 (?2, 0) 即为椭圆的焦点,圆 x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴交 点 (0, ?2) 即为椭圆的上下两顶点,所以 c ? 2 , b ? 2 .从而 a ? 2 2 , 因此椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(Ⅱ)设直线 MN 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 4 ?8
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 8 4km x x ? , . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

直线 AM 的斜率 k1 ?

y1 ? 4 m?4 ; ?k? x1 x1
y2 ? 4 m?4 . ?k? x2 x2

直线 AN 的斜率 k2 ?

k1 ? k2 ? 2k ?

(m ? 4)(?4km) 16k (m ? 1) (m ? 4)( x1 ? x2 ) ? 2k ? ? . 2m 2 ? 8 2m 2 ? 8 x1 x2

由 ?MAN 的平分线在 y 轴上,得 k1 ? k2 ? 0 .又因为 AM ? AN ,所以 k ? 0 , 所以 m ? 1 . 因此,直线 MN 过定点 (0,1) . 21.解: (Ⅰ) f '( x) ? 2e ? k , x ? (0, ??) ,
x
x 当 k ? 2 时,因为 2e ? 2 ,所以 f '( x) ? 0 ,这时 f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增.

当 k ? 2 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? ln

k k ;令 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? ln . 2 2

这时 f ( x ) 在 (0, ln ) 内单调递减,在 (ln

k 2

k , ??) 内单调递增. 2

综上,当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增, 当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ln ) 内单调递减,在 (ln

k 2

k , ??) 内单调递增. 2

(Ⅱ)①当 0 ? k ? 2 时,因为 f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增,且 f (0) ? 0 ,所以对于任意的

x ? (0, m) , f ( x) ? 0 .这时 f ( x) ? 2x 可化为 f ( x) ? 2 x ,即 2ex ? (k ? 2) x ? 2 ? 0 .
设 g ( x) ? 2e x ? (k ? 2) x ? 2 ,则 g '( x) ? 2ex ? (k ? 2) ,

k ?2 k ?2 k ?2 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ln ) 单调递减.又因 ,因为 ln 2 2 2 k ?2 ) 时, g ( x) ? 0 ,不符合题意. 为 g (0) ? 0 ,所以当 x ? (0, ln 2 k ②当 k ? 2 时,因为 f ( x ) 在 (0, ln ) 内单调递减,且 f (0) ? 0 ,所以存在 x0 ? 0 ,使得对 2
令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln 于任意的 x ? (0, x0 ) 都有 f ( x) ? 0 .这时 f ( x) ? 2x 可化为 ? f ( x) ? 2 x , 即 ?2ex ? (k ? 2) x ? 2 ? 0 . 设 h( x) ? ?2ex ? (k ? 2) x ? 2 ,则 h '( x) ? ?2e x ? (k ? 2) . (i)若 2 ? k ? 4 ,则 h '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,这时 h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 又因为 h(0) ? 0 ,所以对于任意的 x ? (0, x0 ) 都有 h( x) ? 0 ,不符合题意.

k ?2 k ?2 ) 内单调递增,又 ,这时 h( x) 在 (0, ln 2 2 k ?2 ) ,都有 h( x) ? 0 , 因为 h(0) ? 0 ,所以对于任意的 x ? (0, ln 2 k ?2 } ,对于任意的 x ? (0, m) ,不等式 f ( x) ? 2x 恒成立. 此时取 m ? min{x0 , ln 2
(ii)若 k ? 4 ,令 h '( x) ? 0 ,得 x ? ln 综上, k 的取值范围为 (4, ??) . 22.解: (Ⅰ)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数). y ? 3 ? sin ? ?

直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)由直线 l 的方程 x ? y ? 2 ? 0 可得点 A(2, 0) ,点 B(0, 2) . 设点 P( x, y ) ,则 PA ? PB ? (2 ? x, ? y) ? (? x, 2 ? y) .

??? ? ??? ?

? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 x ? 4 y ? 12 .
由(Ⅰ)知 ?

??? ? ??? ? ? x ? 2 ? cos ? ,则 PA ? PB ? 4sin ? ? 2 cos ? ? 4 ? 2 5 sin(? ? ? ) ? 4 . ? y ? 3 ? sin ?

因为 ? ? R ,所以 4 ? 2 5 ? PA ? PB ? 4 ? 2 5 . 23.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? f (3 ? x) , x ? R ,所以 f ( x ) 的图象关于 x ? 又 f ( x) ? 2 | x ?

??? ? ??? ?

3 对称. 2

a a a 3 | ?2a 的图象关于 x ? ? 对称,所以 ? ? ,所以 a ? ?3 . 2 2 2 2

(Ⅱ) f ( x) ? ? 2x ?1 ? a 等价于 2x ? a ? 2x ?1 ? a ? 0 . 设 g ( x ) ? 2 x ? a ? 2x ?1 ? a , 则 g ( x)min ? (2x ? a) ? (2x ?1) ? a ? a ? 1 ? a . 由题意 g ( x)min ? 0 ,即 a ? 1 ? a ? 0 . 当 a ? ?1 时, a ? 1 ? a ? 0 , a ? ?

1 1 ,所以 ?1 ? a ? ? ; 2 2

当 a ? ?1 时, ?(a ? 1) ? a ? 0 , ?1 ? 0 ,所以 a ? ?1 , 综上 a ? ?

1 . 2


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