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【获奖公开课课件】人教版高中数学选修2-2:1.4 生活中的优化问题举例_图文

1.4生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题,这些问题 通常称为优化问题,通过前面的学习, 知道,导数是求函数最大(小)值的 有力工具,本节我们运用导数,解决 一些生活中的优化问题。 例1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小? x 分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来? 图3.4-1 解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为 128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x 512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x ' 128 dm, 此时四周空白面积为 x 你还有其他解法 吗? 令:S ' ( x) ? 2 ? 512 ?0 2 x 解得:x ? 16,x ? ?16 (舍) 128 128 于是宽为: ? ?8 x 16 当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0; 当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0. 因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。 解法二:由解法(一)得 512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x ? 2 ? 32 ? 8 ? 72 512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x 128 此时y= ?8 16 答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小 问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成 本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml 的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径 为6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 ∴每瓶饮料的利润: r,所以每瓶饮料的利润是 4 3 y ? f (r ) ? 0.2 ? p r ? 0.8p r 2 3 3 令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r )? 0,得r = 2 r f '( r ) f (r) (0,2) r 2 = 0.8π( - r ) 3 2 (0 ? r ? 6) 2 0 -1.07p (2,6] - + 增函数↗ 减函数↘ r f '( r ) f (r) (0,2) - 减函数↘ 2 0 -1.07p (2,6] + 增函数↗ 当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大 y 从图中,你 还能看出什 么吗? r 2 f (r ) ? 0.8p ( ? r ) 3 3 o 2 3 r 从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时,利润最大。 由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是: 优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。 练习1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时, 箱子容积最大?最大容积是多少? x x x 60 x 60 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60). 3 2 令V ?( x ) ? 60x ? x ? 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3. 练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. V R 则h ? . pR 2 V ? S ( R ) ? 2pR ? 2 ? 2pR 2 ? 2V ? 2pR 2 . pR R 2V ? 由S ( R ) ? ? 2 ? 4pR ? 0. 解得R ? 3 V . R 2p h 又V=πR2h(定值), V V 3 从而h ? ? 2? 2 pR 2p 即h=2R. 可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. 练习3 如图,在二次函数 y 2 f(x)=4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 ? 2 ? . S?( x)