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抽象函数的对称轴与周期题型解析


抽象函数的对称轴与周期题型解析
抽象函数周期与对称轴的相关结论。结论的推导证明,利用结论解决 问题。
【知识梳理】 1. 若 f ( x) ? f ( x ? T ) 则 f ( x) 的周期为 T。 2. 若 f ( x ? a) ? f (b ? x) 则 f ( x) 的周期为 T ? b ? a 证:令 x ? x ? a ∴ f ( x) ? f ( x ? b ? a ) 3. f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) 则 f ( x) 的周期 T ? 2 b ? a 证:令 x ? x ? a ∴ f ( x) ? ? f ( x ? b ? a) ① 令x ? x?b ∴ f ( x ? a ? b) ? ? f ( x) ② 由①②得: ? f [ x ? (a ? b)] ? ? f [ x ? (b ? a)] ∴ f [ x ? (a ? b)] ? f [ x ? (b ? a)] ∴ T ? 2b ? a
a?b 2 a?b a?b ? x) ? f ( ? x) 证:要证原结论成立,只需证 f ( 2 2 b?a ? x 代入 f (a ? x) ? f (b ? x) 令x ? 2 a?b a?b ? x) ? f ( ? x) 则 f( 2 2 a?b , 0) 为对称中心。 5. 若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) 则 f ( x) 的图象,以 ( 2

4. 若 f (a ? x) ? f (b ? x) 则 f ( x) 图象的对称轴为 x ?

证: 方法一:要证原结论成立只需证 f ( 令x ? x?
a?b 2 ? x) ? ? f ( a?b 2 ? x)
b?a 代入 f (a ? x) ? ? f (b ? x) 2 a?b a?b ? x) ? ? f ( ? x) 则 f( 2 2 方法二:设 y ? f ( x) 它的图象为 C a?b , 0) 的对称点 P?(a ? b ? x0 , ? y0 ) ?P( x0 , y0 ) ? C 则 P 关于点 ( 2 f (a ? b ? x0 ) ? f [a ? (b ? x0 )] ? ? f [b ? (b ? x0 )] ? ? f ( x0 )

∵ f ( x0 ) ? y 0

∴ f (a ? b ? x0 ) ? ? y0

∴ P? ? C

1

【典型例题】

[例 1]

对于 y ? f ( x) , x ? R 有下列命题。

(1)在同一坐标系下,函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称。 (2)若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 均成立,则 f ( x) 为偶函数。 (3)若 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 恒成立,则 y ? f ( x) 为周期函数。 (4)若 f ( x) 为单调增函数,则 y ? f (a x ) ( a ? 0 且 a ? 1 )也为单调增函数,其中正确的为? 解:(2)(3)

[例 2]
解:

若函数 f ( x) ? ( x ? a) 3 ?x ? R 有 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) 求 f (2) ? f (?2) 。

?x ? R , f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) 知 f ( x) 的图象关于 (1 , 0) 对称
而 f ( x) ? ( x ? a) 的对称中心 P(?a , 0)
3 3

∴ a ? ?1
3

∴ f ( x) ? ( x ? 1) 则 f (2) ? f (?2) ? 1 ? (?3) ? ?26

[例 3]

设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, ?x ? R 均有 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 0 当 ? 1 ? x ? 1 时

f ( x) ? 2 x ? 1 ,求当 1 ? x ? 3 时, f ( x) 的解析式。 解:由 ?x ? R 有 f ( x) ? ? f ( x ? 2) 得 T ? 4 设 x ? (1 , 3] 则 ( x ? 2) ? (?1 , 1] f ( x ? 2) ? f ( x ? 2 ? 4) ? f ( x ? 2) ? ? f ( x) ∴ f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? ?[2( x ? 2) ? 1] ? ?2 x ? 5 ∴ 1 ? x ? 3 时 f ( x) ? ?2 x ? 5

[例 4]

2 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数且满足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 1 ,当 x ? [0 , 1] 时有 f ( x) ? x 则 (1) f ( x) 是周期函数且周期为 2

(2)当 x ? [1 , 2] 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 (3) f ( ?2004 , 5) ? 解:(1)(2)(3)

3 其中正确的是? 4

[例 5]

已知 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , f (4 ? x) ? f (4 ? x) ,当 ? 6 ? x ? ?2 时,

b c f ( x) ? x 2 ? bx ? c 且 f (?4) ? ?13 ,若 m ? f ( ) , n ? f ( ) , p ? f (11) 求 m 、 n 、 p 的大小关系? 3 2 解:由已知得 T ? 4 ,对称轴 x ? 4 ∴ x ? ?4 也为一条对称轴 b 4c ? 64 ? ?13 ∴ c ? 3 ∴ ? ? ?4 ∴ b ? 8 由 f (?4) ? ?13 ∴ 2 4 8 3 ∴ m ? f ( ) , n ? f ( ) , p ? f (11) ? f (3) ∴ n?m? p 2 3

2

? [例 6] 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数, 若 f ( x) 的最小正周期是 ? , 且当 x ? [0 , ]
2
时, f ( x) ? sin x 求 f ( ? ) 的值。

5 3 5 2 2 ? ? ? 3 解: f ( ? ) ? f ( ? ? ? ) ? f ( ? ) ? f (? ) ? f ( ) ? sin ? 3 3 3 3 3 3 2
设 y ? f ( x) 定义在 R 上, ?m, n ? R 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1

[例 7]

(1)求证: f (0) ? 1 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 (2)求证: f ( x) 在 R 上递减。 解: (1)在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? 1 , n ? 0 得 f (1) ? f (1) f (0) ∵ 0 ? f (1) ? 1 ∴ f (0) ? 1 ∴ f ( x) ? 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 令 m ? x , n ? ?x 代入条件式 有 f (0) ? f ( x) f (? x) 而 f (0) ? 1 (2)设 x1 ? x 2 则 x2 ? x1 ? 0

1 ?1 f (? x)

∴ 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1

令 m ? x1 ,m ? n ? x2 则 n ? x2 ? x1 代入条件式得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) 即 0 ? ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴ f ( x) 在 R 上递减

f ( x2 ) ?1 f ( x1 )

3

【模拟试题】
一. 选择题 1. 已知 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , x ? R 且 f ( x) 是奇函数,若 f (1) ?

2 则 f (2000) ? (



A. 2 B. ? 2 C. 3 ? 2 D. 3 ? 2 2. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) 对任何实数均成立,当 0 ? x ? 2 时, ) f ( x) ? x ,当 398 ? x ? 400 时, f ( x) ? ( A. x ? 400 B. x ? 398 C. 400 ? x D. 398 ? x ? ? ? 3. 若函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) , ?x ? R 都有 f ( ? x ) ? f ( ? x ) 则 f ( ) 等于( 6 6 6 A. 0 B. 3 C. ? 3 D. 3 或 ? 3 3 4. 函数 y ? cos( ? ? 2 x ) 是( ) 2 A. 周期为 2? 的奇函数 B. 周期为 ? 的偶函数 C. 周期为 ? 的奇函数 D. 周期为 4? 的奇函数 5. f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称的充要条件是( ) ? ? A. ? ? 2k? ? B. ? ? 2k? ? ? C. ? ? k? ? D. ? ? k? ? ? 2 2 6. 如果 f ( x ? ? ) ? f (? x) 且 f ( x) ? f (? x) 则 f ( x) 可以是( ) A. sin 2 x B. cos x C. sin x D. sin x 7. y ? sin(x ? ? ) ? 3 cos(x ? ? ) 为偶函数的充要条件是( A. ? ? 2k? ? )



?
3

6 6 6 8. 设 f ( x) 是 R 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) ? ( A. 0.5 B. ? 0.5 C. 1.5 D. ? 1.5 2 9. 设 f ( x) ? x ? bx ? c , ?x ? t 有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 那么( ) A. f (2) ? f (1) ? f (4) B. f (1) ? f (2) ? f (4) C. f (2) ? f (4) ? f (1) D. f (4) ? f (2) ? f (1) 10. y ? f ( x) 定义在 R 上,则 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图象关于( ) A. y ? 0 对称 B. x ? 0 对称 C. y ? 1 对称 D. x ? 1 对称
二. 填空题 1. f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2? ) ? f ( x) ,则 f (? ) ? f (2? ) ? f (3? )

B. ? ? k? ?

?

C. ? ? 2k? ?

?

D. ? ? k? ?

?


? ? ? f (2003 ?) ?
2. 函数 y ? sin( 2 x ?



?
3

) 的图象的对称轴中最靠近 y 轴的是

。 。

3. f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x x ? 2 则当 x ? 0 时 f ( x) ? 4. 偶函数 f ( x) 的定义域为 R,且在 (?? , 0) 上是增函数,则

3 2 4 3 2 (2) f (? ) ? f (a ? a ? 1) 4
(1) f (? ) ? f ( a ? a ? 1)
4

3 2 4 3 2 (4) f (? ) ? f (a ? a ? 1) 中正确的是 4
(3) f (? ) ? f (a ? a ? 1) 三. 解答题



1. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x ? 1 对称, ?x1 、 x 2 ? [0 ,

1 ] 都有 2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) 且 f (1) ? a ? 0 1 1 (1)求 f ( ) 、 f ( ) 2 4 (2)证明: f ( x) 是周期函数 2. 如果函数 y ? f ( x) 的图象关于 x ? a 和 x ? b(a ? b) 都对称,证明这个函数满足 f [2(a ? b) ? x] ? f ( x) 1 3. 已知 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f (1 ? t ) ? f (1 ? t ) ,比较 f ( ) 与 f ( 2) 的大小。 2 4. 定义在实数集上的函数 f ( x) ,对一切实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (2 ? x) 成立,若方程 f ( x) ? 0 仅有
101 个不同实根,求所有实根之和。

【试题答案】
一.1. B 二. 1. 0 2. C 3. D 2. x ?

?

4. C

5. C

6. D 4.(2)

7. B

8. B

9. A

10. D

12

3. x x ? 2

三.1. 解:(1)∵ ?x1 , x 2 ? [0 ,

1 ] 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

x x x ? [0 , 1] 2 2 1 1 1 1 1 2 ∵ f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 ∵ f ( ) ? a 2 , f ( ) ? f ( ? ) ? [ f ( )] 2 4 4 4 2 1 1 ∴ f ( ) ? a4 4 (2)由已知 f ( x) 关于 x ? 1 对称 ∴ f ( x) ? f (1 ? 1 ? x) 即 f ( x) ? f (2 ? x) , x ? R 又由 f ( x) 是偶函数知 f (? x) ? f ( x) , x ? R ∴ f (? x) ? f (2 ? x) , x ? R 将上式中 ? x 以 x 代换得 f ( x) ? f ( x ? 2)
∴ f ( x) ? f ( ) ? f ( ) ? 0
5

∴ f ( x) 是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期 2. 证:∵ f ( x) 关于 x ? a 和 x ? b 对称 ∴ f ( x) ? f (2a ? x) , f ( x) ? f (2b ? x) ∴ f (2a ? x) ? f (2b ? x) 令 2b ? x ? A ,则 2a ? x ? 2(a ? b) ? A ∴ f [2(a ? b) ? A] ? f ( A) 即 f [2(a ? b) ? x] ? f ( x) 3. 解:由 f (1 ? t ) ? f (1 ? t ) 知抛物线 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的对称轴是 1 ∴ f ( ) ? f ( )而2 ?

1 2

3 2

3 2 3 2 ∴ f (u ) ? f (3 ? u ) 1 2

根据 f ( x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数得 f (2) ? f ( ) 即 f (2) ? f ( ) 4. 解:设 u ? 2 ? x 即 x ? 2 ? u

3 303 ? 2 2 注:一个结论:设 y ? f ( x) , ?x ? R 都有 f ( x) ? f (2a ? x) 且 f ( x) ? 0 有 k 个实根 (k ? 2) ,则所 有实根之和为 ka
∴ ?x ? R 有 f ( x) ? f (3 ? x) ∴ 所有实根之和为 101 ?

6


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