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山东省滕州市实验中学2015届高三5月模拟考试数学(文)试题


2015 届山东省滕州市实验高中高三 5 月模拟考试 文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟.满分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规 定的位置. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

z?
1.在复平面内,复数 A.第一象限

1 ? 2i 1 ? i (i 是虚数单位)对应的点在
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设 x, y 是两个实数,命题“ x, y 中至少有一个数大于 1 ”成立的充分不必要条件是 A. x ? y ? 2 3.已知点 B. x ? y ? 2 C. x ? y ? 2
2 2

D. xy ? 1

M ?1,1? , N ? 4, ?3?

,则与向量 MN 共线的单位向量为

?3 4? ? ,? ? A. ? 5 5 ? ?3 4? ? 3 4? ? , ? ?或? ? , ? C. ? 5 5 ? ? 5 5 ?

? 3 4? ?? , ? B. ? 5 5 ? ? 4 3? ? 4 3? ? , ? ?或? ? , ? D. ? 5 5 ? ? 5 5 ?
x

4.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e 的反函数图像重合, 则 f(x)= A. ln x ? 1 B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D.

5.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

4?
A.

?
3

8 B. 3

C. 4 ? ?

D. 12 ? 2 2?

x2 y2 ? ?1 4 6.双曲线 2 的顶点到其渐近线的距离为
3 A. 3 2 3 B. 3 6 C. 3 2 6 D. 3

? x2 , 0 ? x ?1 f ( x) ? ? ?log2 x ? 1,1 ? x ? 2 ,则 7.周期为 4 的奇函数 f ( x) 在 [0, 2] 上的解析式为
f (2014)+f (2015) ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.已知 x , y 满足约束条件 A. 2

? x2 ? y 2 ? 4 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
B. 5

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 C. 4 D. 2 5

2 2 9.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c ? (a ? b) ? 6 , ?ABC 的面

3 3 积为 2 ,则 C ?

? A. 3

2? B. 3

? C. 6
x 2 f ?( x) ? xf ( x) ? ln x, f (1) ?

5? D. 6
1 2 ,则下列结论正确

? 10.设 f ( x ) 为函数 f ( x) 的导函数,已知
的是 A. xf ( x) 在 (0, ??) 单调递增

B. xf ( x) 在 (1, ??) 单调递减

1 xf ( x ) (0, ?? ) C. 在 上有极大值 2

1 xf ( x ) (0, ?? ) D. 在 上有极小值 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 1.请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如 需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.下面的程序框图输出的 S 的值为_____________.

1 12.在区间 [?2, 4] 上随机取一个点 x ,若 x 满足 x ? m 的概率为 4 ,则 m ? ____________.
2
x log 13.若点 ( a,9) 在函数 y ? ( 3) 的图象上,则

2

a?

_______.

1 4 ? 2 2 y 的最小值为______. 14.已知 x ? 0, y ? 0 且 2 x ? y ? 2 ,则 x

f ( x) ?| x 2 ? 2 x ?
15.函数

1 3 | ? x ?1 2 2 的零点个数为___________.

三、解答题:本大题共6小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos?x,?1), n ? (sin ?x ? cos?x,2) (? ? 0) ,函

? 数 f ( x) ? m ? n ? 3 ,若函数 f ( x) 的图象的两个相邻对称中心的距离为 2 .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间;

? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象先向左平移 4 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1 ? ? x ?[ , ] g ( x ) 2 倍,得到函数 6 2 时,求函数 g ( x) 的值域. 的图象,当
17. (本小题满分 12 分)一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,某月的产量如下表(单位:辆): 类别 数量 A 400 B 600 C

a

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 A,B 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个 总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆 A 类轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 A,B 两类轿车中各抽取 4 辆,进行综合指标评分,经检测它 们的得分如图,比较哪类轿车综合评分比较稳定.

18. (本小题满分 12 分) 已知

{ an } 是各项都为正数的数列, S 且 Sn 为 an 与 其前 n 项和为 n ,

1 an 的等差中项.
(Ⅰ)求证:数列 (Ⅱ)求数列

{Sn 2 } 为等差数列;

{an } 的通项公式;

bn ?
(Ⅲ)设

(?1) n , an 求 {bn } 的前 100 项和.
?

19. (本小题满分 12 分)如图: BCD 是直径为 2 2 的半圆, O 为圆心, C 是 BD 上一点, 且 BC ? 2 CD . DF ? CD ,且 DF ? 2 , BF ? 2 3 , E 为 FD 的中点, Q 为 BE 的中点,
? ?

?

R 为 FC 上一点,且 FR ? 3RC .
(Ⅰ)求证:面 BCE ⊥面 CDF ;

(Ⅱ)求证: QR ∥平面 BCD ; (Ⅲ)求三棱锥 F ? BCE 的体积.

f ( x) ?
20. (本小题满分 13 分)已知函数

x ? ax, x ?1. ln x

?1, ??? 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅰ)若 f ( x) 在
(Ⅱ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅲ)若方程 (2 x ? m) ln x ? x ? 0 在 (1, e] 上有两个不等实根 ,求实数 m 的取值范围.

C:
21. (本小题满分 14 分)已知椭圆
2

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) e? 2 a b 3 ,它的一 的离心率

个顶点在抛物线 x ? 4 2 y 的准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

?? x y ? x y m ? ( 1 , 1 ), n ? ( 2 , 2 ) A ( x , y ), B ( x , y ) a b a b , 1 1 2 2 是椭圆 C 上两点,已知 (Ⅱ)设

?? ? m 且 ?n ? 0. ??? ? ??? ? OA ? OB (ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)判断 ?OAB 的面积是否为定值?若是,求出该定值,不是请说明理由.

2015 届山东省滕州市实验高中高三 5 月模拟考试 文科数学试题参考答案
一、选择题 BB CD A, B B D A D

二、填空题

25 9 11. 12 ; 12. 16 ;
三、解答题 16. (本小题满分 12 分)

13. 4 ;

14. 8 ;

15. 2 ;

解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 ? 2 cos?x(sin?x ? cos?x) ? 2 ? 3

? sin 2? x ? 2 cos 2 ? x ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin(2? x ? ) 4
T ?
由题意知,

?



----------------------2 分

2? ?? 2? ,? ? ? 1,

----------------------3 分

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

) 4 .

----------------------4 分

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,k ? Z


k? ?
解得:

?
8

? x ? k? ?

3? ,k ? Z 8 ,

----------------------5 分

? f ( x) 的单调增区间为

[k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? Z 8 .

----------------------6 分

? ? y ? 2 sin(2 x ? ) 4 , (Ⅱ)由题意,若 f ( x) 的图像向左平移 4 个单位,得到
1 ? g ( x) ? 2 sin( 4 x ? ) 4 ,------8 分 再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 2 倍,得到

? ? ? 11? 9? x ? [ , ] ? 4x ? ? [ , ] 6 2 , 4 12 4 , ?
? 1 ? sin(4 x ?

----------------------10 分

?
4

?

)?

2 2 ,

----------------------11 分 ---------------------12 分

? 函数 g ( x) 的值域为 [? 2,1] .
17. (本小题满分 12 分)

50 ? 400 ? 10 解: (Ⅰ)由题意得, 400 ? 600 ? a ,所以 a ? 1000
(Ⅱ)根据分层抽样可得,

----------- ---------3 分 ------------ -------4 分

400 m ? ,解得 m ? 2 1000 5

∴样本中有 A 类 2 辆 B 类 3 辆, 分别记作 A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为 (A1, A2)(A1, B1) , (A1, B2) , (A1, B3)(A2 ,B1) , (A2 ,B2) , (A2 ,B3) (B1 ,B2) , , (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆 A 类轿车的基本事件有 7 个: (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆 A 类轿 车的概率为

7 . 10

----------------------6 分

(Ⅲ)

xA ?

86 ? 83 ? 92 ? 91 352 85 ? 94 ? 92 ? 93 364 ? ? 88 xB ? ? ? 91 4 4 4 4 , --------8 分
2 sB ?



2 sA ?

4 ? 25 ? 16 ? 9 ? 13.5 4 ,

36 ? 9 ? 1 ? 4 ? 12.5 4

----------------------10 分 ----------------------12 分

∵ 12.5 ? 13.5 ,∴B 类轿车成绩较稳定. 18. (本小题满分 12 分)

2Sn ? an ?
解: (Ⅰ)由题意知 当 n ? 1 时,由①式可得 又 n ? 2 时,有 整理得 ∴

1 an ,即 2Sn an ? an2 ? 1 ,①

----------------------1 分 ----------------------2 分

S1 ? 1 ;

an ? Sn ? Sn?1 ,代入①式得 2Sn (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn ? Sn?1 )2 ? 1
----------------------3 分 ----------------------4 分 ----------------------5 分 ----------------------6 分 ----------------------7 分 ----------------------8 分

2 Sn 2 ? Sn? 1 ? 1,(n ? 2) .

{Sn 2 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ∵ ∴ 又

Sn2 ? 1 ? n ?1 ? n ,

{ an } 是各项都为正数,∴ Sn ? n ,

an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1 ( n ? 2 ) ,
a1 ? S1 ? 1 ,∴ an ? n ? n ?1 .

(?1)n (?1)n bn ? ? ? (?1)n an n ? n ?1 (Ⅲ)

?

n ? n ?1 ,
----------------------10 分

?

T100 ? ?1? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( 99 ? 98) ? ( 100 ? 99) ? 10


{bn } 的前 100 项和 T100 ? 10 .

----------------------12 分

19. (本小题满分 12 分)
2 2 2 证明: ( Ⅰ)∵ DF ? 2 , BF ? 2 3 , BD ? 2 2 ,∴ BF ? BD ? DF ,

∴ BD ? DF

----------------------1 分

又 DF ? CD ,∴ DF ⊥平面 BCD ----------------------2 分 ∴ DF ⊥ BC , 又 BC ⊥ CD ,∴ BC ⊥平面 CFD , ∵ BC ? 面 BCE ∴面 BCE ⊥面 CDF . ----------------------4 分 ----------------------3 分

(Ⅱ)连接 OQ,在面 CFD 内过 R 点做 RM⊥CD,

OQ ?
∵O,Q 为中点,∴OQ∥DF,且 ∵ DF ? CD ∴RM∥FD,

1 DE 2

-----------------5 分 ----------------------6 分

RM CR 1 1 ? ? RM ? DF 4 又 FR ? 3RC ,∴ DF CF 4 ,∴ , RM ?
∵E 为 FD 的中点,∴ ∴ OQ ∥ RM ,且 OQ ? RM ∴ OQRM 为平行四边形,∵ RQ ∥ OM ----------------------8 分

1 DE 2 .

----------------------7 分

又 RQ ? 平面 BCD , OM ? 平面 BCD ,
? (Ⅲ)∵ BC ? 2 CD ,∴ ?DBC ? 30 ,

∴ QR ∥平面 BCD .

---------------------9 分

?

?

∴在直角三角形 BCD 中有 CD ?

2 , BC ? 6 ,

1 1 1 1 3 vF ? BCE ? vF ? BCD ? vE ? BCD ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ?1 ? 3 2 3 2 3 ---12 分 ∴
20.(本小题满分13分)

f ?( x) ?
解: (Ⅰ)

ln x ? 1 ?a x ? ?1, ?? ? ? ln 2 x ,由题意可得 f ( x) ? 0 在 上恒成立;---1 分

a?
∴ ∵

1 1 1 1 1 ? ?( ? )2 ? 2 ln x ln x ln x 2 4,
,∴

----------------------2 分 ----------------------3 分

x ? ?1, ?? ?

ln x ? ? 0, ???



1 1 1 1 1 1 ? ?0 ( ? )2 ? ? 4 的最小值为 4 , ∴ ln x 2 时函数 t ? ln x 2 a??


1 4

----------------------4 分

ln x ? 1 ? 2ln 2 x x ? f ( x) ? ? 2 x f ( x) ? ln x ln 2 x (Ⅱ)当 a ? 2 时, ------------------5 分
2 ? 令 f ( x) ? 0 得 2ln x ? ln x ? 1 ? 0 ,

ln x ?
解得

1 1 2 x ? e 2 或 ln x ? ?1 (舍) ,即
1 1

------------------- ---7 分

2 2 ? ? 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? e 时, f ( x) ? 0

1 1 e 2 f (e ) ? ? 2e ? 4e 2 1 2 ∴ f ( x) 的极小值为

1 2

1 2

----------------------8 分

(Ⅲ)将方程 (2 x ? m) ln x ? x ? 0 两边同除 ln x 得

(2 x ? m) ?

x ?0 ln x

x ? 2x ? m 整理得 ln x

----------------------9 分

即函数 f ( x) 与函数 y ? m 在 (1, e] 上有两个不同的交点;
1 2 1 2

-- --------------------10 分

由(Ⅱ)可知, f ( x) 在 (1, e ) 上单调递减,在 (e , e] 上单调递增

x 1 1 ? ?? f (e 2 ) ? 4e 2 , f (e) ? 3e ,当 x ? 1 时, ln x
1 2 实数 m 的取值范围为 (4e ,3e]

∴ 4e ? m ? 3e ----------------------13 分

1 2

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为抛物线 x ? 4 2 y 的准线 y ? ? 2 ,? b ?
2

2

--------------------1 分

e?


6 a 2 ? b2 2 ? ? ?a? 6 3 a2 3

----------------------2 分

x2 y 2 ? ?1 2 ∴椭圆 C 的方程为 6 . ?? ? x x ? ?3 y1 y2 (Ⅱ)由 m ? n ? 0 得 1 2


----------------------3 分 ----------------------4 分

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 所在直线为 l ,当 l 斜率不存在时, A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), ? x ? 3 y
2 1 2 1 ,又



x12 y12 ? ?1 ? y12 ? 1 6 2 ,
----------------------5 分

??? ? ??? ? ?OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2 y12 ? 2
当 l 斜率存在时,设 l 方程 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 x ? 3 y 2 ? 6 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 联立 ?
?? ? 36k 2m2 ?12(3k 2 ? 1)(m2 ? 2) ? 12(6k 2 ? m2 ? 2) ? 0.........(a)
?6km 3m2 ? 6 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1 且

----------------------7 分

x1 x2 ? ?3 y1 y2 ? ?3(kx1 ? m)(kx2 ? m)


? (1 ? 3k 2 ) x1 x2 ? 3km( x1 ? x2 ) ? 3m2 ? 0 整理得 1 ? 3k 2 ? m2 ....(b) -----------8 分

??? ? ??? ? 2 2m 2 ? 4 2 m 2 ? 4 4 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ? ? 2? 2 2 2 3 1 ? 3k m m

由 (a ), (b) 得

m 2 ? 1 ? 3k 2 ? 1, ? 0 ?

4 ??? ? ??? ? ?4 ?? 2 ? OA ? OB ?2 m2 ,
---------------------10 分

??? ? ??? ? ?? 2 ? OA ? OB ?2. 综上:
(ⅱ)由(ⅰ)知, l 斜率不存在时,

S?OAB ?| x1 y1 |? 3 y12 ? 3 ,----------------11 分

l 斜率存在时,

S?OAB

1 1 | m| 2 ? 6k 2 ? m 2 2 ? | AB | d ? 1 ? k | x1 ? x2 | ? 3|m| 2 2 1 ? 3k 2 1? k 2
----------------------13 分 ----------------------14 分

2 2 S ? 3 将 m ? 1 ? 3k 带入整理得 ?OAB

所以 ?OAB 的面积为定值 3 .


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