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天津市滨海新区六所重点学校2016届高三数学毕业班联考试题 理


2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联 考 数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: (1) V球 ?

4 ? R 3 , (2) V柱 ? S底h, 3

(3) V锥 ?

1 S h. 3 底

(4)若事件 A, B 相互独立,则 A 与 B 同时发生的概率 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 第 I 卷(选择题,共 40 分) 一. 选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 1 个是正确的) 1.设 i 是虚数单位,复数 A. 2 ? 2i

4i =( 1? i

) C. ?2 ? 2i D. 2 ? 2i

B. ?2 ? 2i

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=x+3y 的最小值为( ? y ?1 ?
A.2 B.3 C.4 3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 ( A.4 B.5 ) C.6 D.7 D.5 )

)

4.下列说法错误的是(

2 A. 命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ?1” 的逆否命题为: “若

x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
B.对于命题 p : ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,
2 则 ?p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0

m n C.若 m, n ? R , “ ln m ? ln n ”是“ e ? e ”的充分不必要条件

D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

1

5.在 (

x2 1 6 ? ) 的二项展开式中,含 x 2 的系数为( 2 x
15 2
B.

) D. ?

A.

15 4

C. ?

15 2

15 4

6. 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1与抛物线 y 2 ? 8x 的一个交点为 P ,F 为抛物线的焦点, 若 PF ? 5 , m
) C. 3x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0

则双曲线的渐近线方程( A. x ? 2 y ? 0

B. 2 x ? y ? 0

7.如图,菱形 ABCD 的边长为 2, ?A ? 60? , M 为 DC 的中点, 若 N 为菱形内任意一点 (含边界) , 则 AM ? AN 的最大值为 ( A. 3 B. 2 3 C. 6 D.9

???? ? ????



?log 1 ( x ? 1), x ? ? 0,1? ? 2 x ? 0 8.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 时, f ( x) ? ? ,则关于 x 的函数 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?
F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为
A. 2 ? 1
a


a

) D. 1 ? 2
?a

B. 2

?a

?1

C. 1 ? 2

第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上) 9.为了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高 二、高三分别有学生 300 名、260 名、280 名,若高三学生 共抽取 14 名,则高一学生共抽取___________名. 10. 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是____________. 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t (t 为参 ?y ? 7 ? t
2

数) ,以该直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线 C 2 的 方程 ? ? ?2cos ? ? 2sin ? .曲线 C 2 上任意一点到直线 C1 距离的最小值为___________. 12.由不等式组 ?

?0 ? x ? 3 确定的平面区域为 A,曲线 xy=1 和直线 y=x 以及直线 x ? 3 围成的 ?0 ? y ? 3

封闭区域为 B ,在 A 中随机取一点,则该点恰好在 B 内的概率为___________. 13.如图, AB 为圆 O 的直径, C 为圆 O 上一点, AP 和过 C 的切线互相垂直,垂足为 P , 过 B 的切线交过 C 的切线于 T , PB 交圆 O 于 Q ,
? 若 ?BTC ? 120 , AB ? 4 ,则 PQ ? PB ? __________.

14 . 已 知 U=R, 关 于 x 的 不 等 式 a x2 ? 2 x? b ? 0 ( a ? 0 ) 的解集是

a 2 ? b2 ? 1 ? a ? b t ? , 且 , 则 实 数 t 的 的 取 值 集 合 为 A. 集 合 x x ? ? , x ? R ? ? a?b , a ? ?
2 B ? ? m x?1 ? x ?3 ? m ? 3, m x ?恒成立 R ? ,则 A ? (CU B) ? __________.

三.解答题(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分13 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 , ] 上的最值; 12 2

?

?

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的对称轴方程,并求在区间 [?

? ?

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 1 ,且

sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值.

16. (本小题满分 13 分)A、B 两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中 A 袋中红色、黑色、 白色小球的个数分别为 2,3,4,B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,甲从 A 袋中 取球,乙从 B 袋中取球. (Ⅰ)若甲、乙各取一球,求两人中所取的球颜色不同的概率; (Ⅱ)若甲、乙各取两球,称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法,记两人成 功取法的次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望.

?PAD 17. (本小题满分 13 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 是正三角形,平面 PAD ? 平面 ABCD, E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点.
3

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)线段 PD 上是否存在一个动点 M,使得直线 GM 与 平面 EFG 所成角为

? ,若存在,求线段 PM 的长度,若 6
1 , a1 ,2a2 ,3a3 成等差数 3

不存在,说明理由. 18. (本小题满分为 13 分)已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,首项 a1 ? 列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Tn ; ? an ? ? 4n 2 ? ? 的前 n 项和,求不超过 P2016 的最大的整数 k. ? cn cn ?1 ?

(Ⅲ)若 cn ? log 1 a2 n?1 , P n 为数列 ?
3

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率 e ? ,短轴长为 2. 2 a b 2
y P M A O x

(Ⅱ) 设直线 l 过椭圆 C 的右焦点,并与椭圆相交于 E,F 两点,

5 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; 2
(Ⅲ) 如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重

Q N

合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点. 试问:以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论. 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 mx 2

? m ? R? ,

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直,求 m 的值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? mx ? (m ?1) x ?1 恒成立,求整数 ..m 的最小值;
2

(Ⅲ)若 m ? 1 , 设 F ( x) ? f ( x) ? x .且正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? ?F ( x2 ) ,
m? R

求证: x1 ? x2 ? 3 ?1 . 2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(理科) 评分标准
4

一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分). DCAD 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分). 9. 15; 10. 30 ? 6 5 ; 11.

BCDC

2 ; 12.

4 ? ln 3 ; 13. 3; 14. ? 2 2, 4 . ? 9

?

三、解答题(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
???1 分

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ???2 分 2 2 2 2
? sin(2 x ? ) 6

?

???3 分

?

2x ?

?

k? ? ? , k ?Z ???5 分 2 3 ? ? ? ? 5? ? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? ? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 6 12 3 ? 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取最大值 1 ???7 分 3

6

? k? ?

?
2



k ?Z

???4 分

? 对称轴方程为: x ?

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2

??8 分

(Ⅱ) f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ,? 0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? ?? ,
???10 分 ???11 分 ???12 分 ???13 分

??

11? ? ? ? , ? 2C ? ? , C ? , 6 6 6 6 2 3 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a ? 2C ? ?
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

?
3

2 2 2 ,即 c ? a ? b ? ab ? 3

解得: a ? 1 , b ? 2 16.(本小题满分 13 分)

5

解: (Ⅰ)设事件 A 为“两人中所取的球颜色不同” , 则 P( A) ? 1 ?

???1 分 ???4 分 ???5 分 ???6 分

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? . 9?9 3
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 , ? 2 C9 18

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 甲所取的两球颜色相同的概率为

乙所取的两球颜色相同的概率为

C32 ? C32 ? C32 1 ? , C92 4

???7 分

5 ?? 1 ? 13 3 13 ? , P ( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24

???8 分

5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 18 4 18 4 18 5 1 5 , P ( X ? 2) ? ? ? 18 4 72 P( X ? 1) ?
所以X的分布列为:

???9 分 ??? 10 分

???11 分

E( X ) ? 0 ?

13 7 5 19 . ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36

???13 分

17、 (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD =AD,AB⊥AD ∴AB⊥平面 PAD ???2 分 又∵EF//AB ∴EF⊥平面 PAD ???3 分 (Ⅱ)取 AD 中点 O,连结 PO ∵平面 PAD⊥平面 ABCD PO⊥AD ∴PO⊥平面 ABCD ???4 分 如图以 O 点为原点分别以 OG、OD、OP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 ∴O(0,0,0)A(0,-2,0) B(4,-2,0) C(4,2,0) D(0,2,0) ,G(4,0,0) , P0 2 , (3 ) ,E(0,-1, 3 )
z P

??? ? ??? ? F (2, ?1, 3) EF ? (2,0,0), EG ? (4,1, ? 3)
F

E

设平面 EFG 的法向量为 m ? ( x, y, z) , ?

??

? ?

2x ? 0
B

A G x

o C

? ?4 x ? y ? 3z ? 0

D

y

6

?? ?m ? (0, 3,1) ,
又平面 ABCD 的法向量为 n ? (0,0,1) , 设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 ?

???6 分

?

???7 分

???? m ?n ? 1 ? cos ? ? ?? ? ? ∴平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 . 3 m?n 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? (Ⅲ)设 PM ? ? PD, ? ? ? 0,1? , GM ? GP ? PM ? GP ? ? PD ,

???9 分

???? ? ?GM ? (?4, 2?, 2 3(1 ? ?)) , ???? ? ?? GM ?m ???? ? ?? ? ?sin ? cos GM , m ? ???? ? ?? 6 GM ? m
2 3 2 16 ? 4? 2 ? 12(1 ? ? ) 2
2

???10 分

???11 分

?

1 , 2

???12 分

即 2? ? 3? ? 2 ? 0 ,无解,? 不存在这样的 M. 18. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? a1 ,2a2 ,3a3 成等差数列,? 4a2 ? a1 ? 3a3

???13 分

---------1 分 ---------2 分 ---------3 分

?3q 2 ? 4q ? 1 ? 0
∴ an ?

? q ? 1∴ q ?

1 , 3

1 1 n ?1 1 n ?( ) ? ( ) 3 3 3
n ? n ? 3n , an
① ②
n ?1

(Ⅱ)由(1)

---------4 分

∴ Tn

? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1
2 3 n

---------6 分

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n ?1 ①-②得, ?2Tn ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? 3 ? n ? 3 ?? 1? 3 3(1 ? 3n ) n ? 3n ?1 ?Tn ? ? 4 2

------7 分

--------8 分
7

(Ⅲ由 cn ? log 1 a2 n?1 ,得 cn ? 2n ? 1
3

--------9 分

4n2 4n2 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) -------10 分 2 cn ? cn (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2 n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P2016 ? 1 ? ( ? ) ? 1 ? ( ? ) ? 1 ? ( ? ) ? ?? ? 1 ? ( ? ) 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 4031 4033 2016 ? 2016 ? ????12 分 4033 ????13 分 ?不超过 P 2016 的最大的整数 k 是 2016. 19. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ )由短轴长为 2 ,得 b ? 1 , ????1 分
由e ?

c a 2 ? b2 3 2 2 ,得 a ? 4, b ? 1 . ? ? a a 2

????2 分

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 4
(Ⅱ)1)当直线的斜率存在时,设直线方程: y ? k ( x ? 3)

????3 分

E ? x1, y1 ? , F ( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 3) ? 2 ?(4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 ? x 2 ? y ?1 ? ? 4

????5 分

? x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
2 2

????6 分

? 8 3k 2 ? ? 12k 2 ? 4 ? 5 ? EF ? 1 ? k ? ? ? 4k 2 ? 1 ? ? ? 4 ? 4k 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 1 ?k ? ? 2
2)当直线的斜率不存在时, EF ? 1 不符合.

????7 分

? 直线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? 2 y ? 3 ? 0 .
(Ⅲ)以 MN 为直径的圆过定点 (?1, 0) . 证明如下:设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

????9 分

2 x0 2 2 ? y0 2 ? 1 ,即 x0 ? 4 y0 ? 4, 4

8

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) x0 ? 2 x0 ? 2
????11 分

直线 QA 方程为: y ?

2 y0 ? y0 ), ( x ? 2) ,∴ N (0, x0 ? 2 ? x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

【或通过求得圆心 O?(0,

2 x0 y0 4y ) , r ?| 2 0 | 得到圆的方程】 2 x0 ? 4 x0 ? 4
????12 分

4 x0 y0 4 y02 y? 2 ?0, 即x ?y ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4
2 2

2 2 ∵ x0 ? 4 ? ?4 y0 ,∴ x ? y ?
2 2

x0 y ?1 ? 0 , y0
1 ? mx x

令 y ? 0 ,则 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 .
2

∴以 MN 为直径的圆过定点 (?1, 0) . 20、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ) f ?( x) ? 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 1 ? m

???14 分 ???1 分 ???2 分 ? ??3 分

?1 ? m ? 2,? m ? 1
(Ⅱ)由题意, ln x ? 设 G ( x) ? ln x ?

1 2 mx ? (1 ? m) x ? 1 ? 0 2
????4 分 ???5 分

1 2 mx ? (1 ? m) x ? 1 2

G '( x) ?

①当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G ?( x) ? 0 所以 G ( x) 在 (0,??) 上是单调递增函数,

1 ? mx ? (1 ? m) x

1 3 G(1) ? ln 1 ? m ? 12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0 2 2 ,
所以关于 x 的不等式 G ( x) ? 0 不能恒成立.

????4 分 ????6 分

9

②当 m ? 0 时,

G?( x) ?

?mx ? (1 ? m) x ? 1 ?? x
2

m( x ?
1 , m

1 )( x ? 1) . m x

令 G ?( x) ? 0 ,因为 x ? 0 ,得 x ? 所以当 x ? (0,

1 1 ) 时, G ?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,??) 时, G ?( x) ? 0 . m m 1 1 因此函数 G ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( ,??) 是减函数.7 分 m m 故函数 G ( x) 的最大值为
1 1 1 1 1 1 G ( ) ? ln ? m ? ( ) 2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? ln m m m 2 m m 2m .

????8 分

1 ? ln m ,因为 h(m) 在 m ? (0,??) 上是减函数, 2m 1 1 又因为 h(1) ? ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 . 2 4
令 h( m) ? 所以整数 m 的最小值为 2. (Ⅲ)
m ? ?1

????10 分

m ? 1 时, F ( x) ? ln x ?

1 2 x ? x, x ? 0 2
1 2 1 2 x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? 0 , 2 2

由 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) ,得 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,即 ln x1 ? 整理得,

1 ????11 分 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ln( x1 x2 ) 2 t ?1 令 t ? x1 ? x2 ? 0 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ? , t 可知 ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1,??) 上单调递增. ????12 分 所以 ? (t ) ? ? (1) ? 1 , ????13 分 1 所以 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ? 3 ? 1 x1 ? x2 ? 3 ? 1 , 2
因为 x1 , x2 为正数,所以 x1 ? x2 ?

3 ? 1 成立.

????14 分

10


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