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2015届高考数学二轮复习专题讲解课件:专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)_图文

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(选择、填空题型)

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1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x2- my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的 距离为( A. 3 ) B .3 C. 3m D.3m

解析:选 A

x 2 y2 双曲线方程为 - =1,焦点 F 到一条 3m 3
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渐近线的距离为 b= 3.选 A.

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2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C: y 2=3x 的 焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A ,B 两点, 则|AB| =( 30 A. 3 ) B.6 C.12 D. 7 3

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解析:选 C 抛物线 C:y =3x 的焦点为 3? 3? ? 以 AB 所在的直线方程为 y= 3 ?x-4? ?,将 y= ? ? 3? 3? 21 9 ? ? 2 2 x-4?代入 y =3x,消去 y 整理得 x - x+ =0.设 ? 3? 2 16 ? 21 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 x1+x2= 2 , 21 3 由抛物线的定义可得|AB|= x1+ x2+ p= 2 +2=12,故选 C.
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2

?3 ? ? F?4,0? ?,所 ? ?

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x2 3. (2014· 山东高考)已知 a>b>0, 椭圆 C1 的方程为 2+ a y2 x2 y 2 =1,双曲线 C2 的方程为 2 - 2=1,C1 与 C2 的离心率 b2 a b 3 之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 A.x± 2y =0 C.x± 2y =0 B. 2x± y =0 D.2x± y =0 )

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解析:选 A C2 的离心率为
4 4

椭圆 C1 的离心率为 a2+b2 ,所以 a

a2-b2 ,双曲线 a

a2-b2 a2+b2 3 · = ,所 a a 2

3 4 以 a -b = a ,即 a4=4b4,所以 a= 2b,所以双曲线 4 1 C2 的渐近线方程是 y =± x ,即 x ± 2y =0. 2

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1 4. (2014· 江西高考)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与 2 x2 y 2 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A ,B 两点,若 M 是线 a b 段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.

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解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 减得 + =0,根据题意有 x1 a2 b2 y1-y2 1 2 +x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且 =-2,所以a2 x1-x2
? 2 ? ? 1? +b2×?-2?=0,得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),整理得 ? ?

2 2 c a =2c ,则a= 2 ,所以 e= 2 .
2 2

2 答案: 2

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1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称 定 义

椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|)

双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a< |F1F2|) x2 y 2 2 - 2= 1 a b (a>0, b>0)

抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于M y 2=2px (p>0)

标准 方程

x2 y 2 2 + 2= 1 a b (a>b>0)

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名 称 图 象 c e= = a 几 离 b2 心 何 1- 2 a 率 (0<e<1) 性 渐 质 近 — 线 c e= = a b2 1+ 2 a (e>1) b y =± x a 椭圆 双曲线 抛物线
续表

e=1


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2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据韦达定理,进行整体代入,即当直线 与圆锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= |x1-x2|= 1+k2

1 1+ 2|y1-y2|, 而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2. k

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3.抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y =2px(p>0)的过焦点
2

?p ? ? F?2,0? ?的弦 ? ?

AB,

p2 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p2,弦 4 长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线 y2=-2px,x2=2py, x2=-2py 类似的性质.

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热点一 命 题 角 度

圆锥曲线的定义及标准方程
(1)求圆锥曲线的方程,如T1;

(2)圆锥曲线的定义及其应用,如T2,T3.

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x y 1.(2014· 天津高考)已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0) a b 的一条渐近线平行于直线 l:y =2x+10,双曲线的一个焦 点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x2 y 2 A. - =1 5 20 3x2 3y 2 C. - =1 25 100 )
2 2

x2 y 2 B. - =1 20 5 3 x2 3 y 2 D. - =1 100 25

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x y 2 . (2014· 长沙模拟 ) 已知点 F1 、 F2 是椭圆 2 + 2 = a b 1(a>b>0)的左、右焦点,在此椭圆上存在点 P,使∠F1PF2 =60° ,且|PF1|=2|PF2|,则此椭圆的离心率为( 1 A. 3 2 B. 2 3 C. 3 6 D. 6 )
2 2

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[自主解答] 1.由题意可知,双曲线的其中一条渐近

b b 线 y = x 与直线 y =2x +10 平行,所以 =2 且左焦点为 a a (-5,0),所以 a2+b2=c2=25,解得 a2=5,b2=20,故双 x 2 y2 曲线方程为 - =1. 5 20 2.如图所示,由∠F1PF2=60° , |PF1|=2|PF2|,可得∠PF2F1=90° , c 2c |F1F2| 3|PF2| 3 ∴e= = = = = ,故应选 C. a 2a |PF1|+|PF2| 2|PF2|+|PF2| 3
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3.设点
?p ? ? A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F?2,0? ?, ? ?

? ? ? ? ? ? p p p ? ? ? ? ? 则?x1-2,y1?+?x2-2,y2?+?x3-2,y3? ?=(0,0),故 ? ? ? ? ? ?

y1+y2

+y3=0. 1 2 2 ?y2-y1? y +y x - x 2 p 1 1 2 1 1 2 ∵k = = = 2p ,同理可知 k = y2-y1 y2-y1 AB BC y3+y2 1 y3+y1 2p ,kCA= 2p ,
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2?y1+y2+y3? ∴原式= = 0. 2p [答案] 1.A 2.C 3.0

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圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型.就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦 点位置,从而设出标准方程. (2)计算.即利用待定系数法求出方程中的 a2,b2 或 p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 y 2=2ax 或 x 2=2ay (a≠0),椭圆常设 mx 2+ny2=1(m >0,n>0), 双曲线常设为 mx 2-ny 2=1(mn>0).
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热点二

圆锥曲线的几何性质
(1)求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,如
T1,T2; (2)由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程,如 T3; (3)求双曲线渐近线方程或求抛物线的准线方程,

命 题 角 度

如T4.

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x2 y 2 1.(2014· 重庆高考)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2= a b 1(a>0, b>0)的左、 右焦点, 双曲线上存在一点 P 使得(|PF1| -|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( A. 2 B. 15 C.4 D. 17 )

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x2 y2 2.(2014· 辽宁五校联考)椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且 的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中 c= a2-b2.则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是(
? ? A.? ?

)

3 2? ? , ? 3 2?

? ? B.? ?

? 2 ? ,1? 2 ?

? ? C.? ?

? 3 ? ,1? 3 ?

?1 1? ? ? D.?3,2? ? ?

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x2 y 2 3.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 a b 2.若抛物线 C2:x2=2py (p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近 线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A .x = y 3
2

)

16 3 B .x = y 3
2

C.x2=8y

D.x2=16y

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x2 y 2 4.(2014· 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的焦距为 2c,右顶点为 A ,抛物线 x2=2py (p>0)的焦点 为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA | =c,则双曲线的渐近线方程为______________.

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[自主解答] 1.根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a, c 所以 4a =b -3ab, 所以 b=4a, 双曲线的离心率 e=a=
2 2

a2+b2 a2 = 17,选 D.
?|PF |+|PF |? ?2a? 1 2 ?2 ? ? ?2 2 2.∵|PF1||PF2|≤? = = a , ? ?2? 2 ? ? ? ?
2 a 1 2 1 2 2 2 ∴2c ≤a ≤3c ,∴2≤c2≤3,∴3≤e ≤2,

3 2 解得 3 ≤e≤ 2 .故选 A.
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x2 y2 3. ∵双曲线 C1: b>0)的离心率为 2, a2-b2=1(a>0, a2+b2 c ∴a= a =2,∴b= 3a, ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0, ∴抛物线 C2:x
? ? ? ?
2

? p? ? =2py(p>0)的焦点?0,2? ?到双曲线的 ? ?

渐近线的距离为

p? ? 3×0± 2? ? =2, 2
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∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.故选 D.

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p 4.抛物线 x =2py 的准线方程为 y=-2,与双曲线
2

的方程联立得

2? ? p ? 1 + x2=a2? 2 ? ?,根据已知得 4 b ? ?

2? ? p ? 2 1 + a2? = c 2 ? 4b ? ? ?

p2 2 2 ①.由|AF|=c, 得 4 +a =c ②.由①②可得 a2=b2, 即a =b,所以所求双曲线的渐近线方程是 y=± x. [答案] 1.D 2.A 3.D 4.y=± x

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与圆锥曲线性质有关问题的解题策略及方法 (1)椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线的方程以及 抛物线的方程、准线都是高考的热点.在解题时,要充分 利用条件,构造方程,运用待定系数法求解. (2)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件 c 确定 a、b、c 的等量关系,然后把 b 用 a、c 代换,求a的 值;在双曲线中由于 e 心率密切相关.
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2

?b? ?2 =1+? ?a? ,故双曲线的渐近线与离 ? ?

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热点三 命 题 角 度

直线与圆锥曲线的位置关系
(1)由直线与圆锥曲线的位置关系求直线 方程有关问题,如T1. (2)由直线与圆锥曲线的位置关系研究圆 锥曲线的性质问题,如T2.

1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y 2= 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A ,B 两 点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 9 3 B. 8 63 C. 32 ) 9 D. 4

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x2 y 2 2.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被 a b 圆 C:x2+y 2-6x=0 所截得的弦长等于 2 5,则该双曲 线的离心率等于( A. 5 ) 3 5 B. 5 6 C. 2 D. 3

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?3 ? 3 ? [自主解答] 1.易知抛物线中 p=2,焦点 F?4,0? ?, ? ?

3? 3 3? ? 直线 AB 的斜率 k= 3 , 故直线 AB 的方程为 y= 3 ?x-4? ?, ? ? 21 9 代入抛物线方程 y =3x,整理得 x - 2 x+16=0.设 A(x1,
2 2

21 y1), B(x2, y2), 则 x1+x2= 2 .由抛物线的定义可得弦长|AB| 21 3 =x1+x2+p= 2 +2=12,结合图象可得
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p 3 O 到直线 A B 的距离 d= · sin 30° = ,所以△OA B 2 8 1 9 的面积 S = |A B |· d= . 2 4 2.将圆 C 的方程配方,得(x -3)2+y2=9, 则圆心 C 的坐标为(3,0),半径 r=3. b b 双曲线的渐近线方程为 y =± x ,不妨取 y = x ,即 a a bx -ay =0,因为渐近线被圆截得的弦长等于 2 5,所以
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圆心 C 到该渐近线的距离 d= 32-5=2. 又由点到直线的距离公式,可得 d=
2 2 2 2 2

r -? 5? =

2

2

|3b| 2 2=2, a +b
2

4 2 整理得 9b =4(a +b ),所以 5b =4a ,所以 b = a 5 9 2 2 9 3 5 2 =c -a ,即 a =c .所以 e = ,即 e= . 5 5 5
2 2

[答案]

1.D

2.B
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本题 1 若改为“抛物线 C:y 2=3x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点,若|AF|=3|BF|”,则直 线 l 的方程是什么? 解:如图所示,作出抛物线的准线 l1 及点 A ,B 到
准线的垂线段 A A 1, BB 1,并设直线 l 交准线于点 M .设|BF|=m ,由抛物线的 定义可知|BB 1|=m , |BB 1| |MB | m |A A 1|=|A F|=3m .由 BB 1∥A A 1 可知 = , 即 = |A A 1| |MA | 3m
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求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时,一般不 是求出这两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根 据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况,使 用根与系数的关系进行整体代入,这种设而不求的思想 是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方 法.
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热点四

与抛物线定义相关的最值问题
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最
短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题 角度有: (1)动弦中点到坐标轴距离最短问题; (2)距离之和最小问题;

命 题 角 度

(3)焦点弦中距离之和最小问题.
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[ 例] (1)(2014· 郑州检测)已知抛物线 x2=4y 上有一

条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离 为( ) 3 A. 4 3 B. 2 C.1 D.2

(2)(2014· 哈尔滨四校统考 ) 已知抛物线方程为 y 2 = 4x,直线 l 的方程为 x-y +5=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________.
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(3)已知抛物线 y 2=4x, 过焦点 F 的直线与抛物线交 于 A 、B 两点,过 A 、B 分别作 y 轴垂线,垂足分别为 C、D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
[师生共研] (1)由题意知,抛物线的准线 l:y =

-1,过点 A 作 A A 1⊥l 交 l 于点 A 1,过点 B 作 BB 1⊥ l 交 l 于点 B 1,设弦 A B 的中点为 M ,过点 M 作 MM 1 |A A 1|+|BB 1| ⊥l 交 l 于点 M 1, 则|MM 1|= .因为|A B |≤|A F| 2 +|BF|(F 为抛物线的焦点), 即|A F|+|BF|≥6, 所以|A A 1|
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+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点 M 到 x 轴的距 离 d≥2,选 D. (2)由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).点 P 到 y 轴的距离 d1=|PF|-1,所以 d1+d2=d2+|PF|-1.易知 d2+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF| |1+5| 的最小值为 2 所以 d1+d2 的最小值为 2=3 2, 1 +?-1? 3 2-1.

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(3)由题意知 F(1,0),|A C|+|BD|=|A F|+|FB |-2= |A B |-2,即当且仅当|A B |取得最小值时|A C|+|BD|取得 最小值, 依抛物线定义知当|A B |为通径, 即|A B |=2p=4 时,为最小值,所以|A C|+|BD|的最小值为 2. [答案] (1)D (2)3 2-1 (3)2

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与抛物线最值有关问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关, 实现由 点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点 的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距 离, 利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解 决.
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1.已知抛物线 y 2=4x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上 的动点,又有点 A (3,2),则|PA |+|PF|取最小值时,P 点坐 标为________.

解析:将 x =3 代入抛物线方程 y2=4x 得 y =± 2 3. ∵2 3>2,∴A 在抛物线内部.设抛物线上点 P 到准 线 l:x =-1 的距离为 d,由定义知|PA |+|PF|=|PA |+d, 当 PA ⊥l 时,|PA |+d 最小,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y 2 =4x ,得 x =1,∴P 点坐标为(1,2). 答案:(1,2)
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2.已知 P 为抛物线 y 2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y -4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与 点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________.
解析:由题意知,圆 x 2+(y -4)2=1 的圆心为 C(0,4), 半径为 1,抛物线的焦点为 F(1,0).根据抛物线的定义, 点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和, 因此|PQ| +|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17-1. 答案: 17-1
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