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高中数学数列知识点总结(整理版)

1. 等差数列的定义与性质 定义: an ?1 ? an

? d (d

为常数), an

? a1 ? ? n ?1? d
x? y

等差中项: x,A ,y 成等差数列 ? 2 A ?

前 n 项和 Sn

?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质:

?an ? 是等差数列
? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq;

(1)若 m ? n (2)数列

?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为


n2d
(3)

?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a,b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,
即:当 a1

?a ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n ?an ?1 ? 0

当 a1

?a ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ? 0,d ? 0 ,由 ? n a ? 0 ? n ?1

2. 等比数列的定义与性质

定义:

an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 . an
2

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G

? xy ,或 G ? ? xy .

?na1 (q ? 1) ? n 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q ? (要注意!) ( q ? 1) ? ? 1? q
性质:

?an ? 是等比数列
? p ? q ,则 am · an ? a p · aq

(1)若 m ? n (2) Sn,S2n

? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么? 1

n ? 1 时, a1 ? S1 ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1
3.求数列通项公式的常用方法

.

(1)公式法:即题目给出已知数列为等差或等比数列和某一些具体项 (2)累乘法

如:数列

?an ? 中, a1 ? 3,n?1 ?

a an

n ,求 an n ?1



3 an 1 a a2 a3 1 2 n ?1 ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? ,∴ · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)累加法 由 an

? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
a2 ? a1 ? f (2) ? a3 ? a2 ? f (3) ? ? ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?

n ? 2 时,

∴ an

? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)

[练习]数列

?an ? 中, a1 ? 1,an ? 3

n?1

? an?1 ? n ? 2? ,求 an (

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

(4)等比型递推公式

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x

? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x

?

d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an

?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1

? 1,an ?1 ?

2an ,求 an an ? 2

2

由已知得:

a ?2 1 1 1 ? n ? ? an?1 2an 2 an

,∴

1 1 1 ? ? an ?1 an 2
,∴

∴?

?1? 1 1 ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 2 a1 ? an ?
? 2 n ?1

1 1 1 ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , an 2 2

∴ an ( 附:

公式法、利用

an ?

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2)

、累加法、累乘法.构造等差或等比

an?1 ? pan ? q 或

an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d

的等差数列,求

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

解:由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?



n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ? ? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ? n

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法(等差*等比) 若

?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ? (差比数列)前 n 项和,可由 Sn ? qSn ,求 Sn , ?bn ? 的公比.

其中 q 为

3

如: Sn

? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1

① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—②

?1? x? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn

x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

,x

? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
[练习]已知

x2 f ( x) ? 1 ? x2

,则

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?



?1? ? ? 2 x x2 1 x? ?1? ? f ( x) ? f ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

∴原式 ?

? f (1) ? ? f (2) ? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

(4)分组求和法

将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例:an=3(n-2)+3 附: a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个 和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。(如等差数列求和公式) B.遇到数列题没有思路时,可以模仿题目所给的形式,写出后几项

4

5


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