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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷六)


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2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(六)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 已知集合 A = {x ∈ Z x < 5}, B = {x x ? 2 ≥ 0},则 A ∩ B 等于 (A) (2,5) (B) [2, 5) (C) {2, 3, 4} 2.下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 (A) y = 2
x

(D) {3, 4, 5} (D) y = x3

(B) y = x2 ? x

(C) y = 2 x

3. 设 a = log 2 3 , b = log 4 3 , c = 0 .5 ,则 (A) c < b < a (B) b < c < a (C) b < a < c (D) c < a < b 4.设向量 a = (1, sin θ ) , b = (3sin θ ,1) ,且 a // b ,则 cos 2θ 等于 (A) ?

1 3

(B) ?

2 3

(C)

2 3

(D)

1 3
开始

5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为 31,则①处应填的数字为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 6.已知函数① y = sin x + cos x ,② y = 2 2 sin x cos x , 则下列结论正 确的是

S = 1, i = 1
i<
是 ① 否

π , 0 ) 成中心对称 4 π (B)两个函数的图象均关于直线 x = ? 成中心对称 4 π π (C)两个函数在区间 ( ? , ) 上都是单调递增函数 4 4
(A)两个函数的图象均关于点 ( ? (D)两个函数的最小正周期相同 7.已知曲线 C : y =

S = S + 2i i = i+1

输出

S

结束

1 ( x > 0) 及两点 A1 ( x1 , 0) 和 A2 ( x2 , 0) ,其中 x2 > x1 > 0 .过 A1 , A2 分别 x 作 x 轴的垂线,交曲线 C 于 B1 , B2 两点,直线 B1 B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 , 0) ,那么 x x (A) x1 , 3 , x2 成等差数列 (B) x1 , 3 , x2 成等比数列 2 2 (C) x1 , x3 , x 2 成等差数列 (D) x1 , x3 , x2 成等比数列 8.如图,四面体 OABC 的三条棱 OA, OB , OC 两两垂直, OA = OB = 2 , OC = 3 , D 为四 面体 OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 C ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上
其中真命题的序号是 (A)①② (C)③ (B)②③ (D)③④

D

O A

B

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第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

2i 9. 在复平面内,复数 对应的点到原点的距离为_____. 1? i 10.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ,已知 PA = 2 2 , PC = 4 ,圆心 O 到 BC 的距离为 3 ,则圆 O 的半径为_____. ? x = cos θ , 1 11.已知椭圆 C : ? (θ ∈ R) 经过点 ( m, ) ,则 m = ______,离心率 2 ? y = 2 sin θ e = ______.
12.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____. 13.某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展 台,并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位, 则不同的展出方法有____种. 14.已知数列 {an }的各项均为正整数,对于 n = 1, 2, 3, ? ? ? ,有

C O
?

B

P

A

3

3 4 3

正( 主) 视图

侧( 左)视图

3 4

?3an + 5, an 为奇数, ? an +1 = ? an 当 a1 = 11 时 , , a 为偶数.其中 k 为使 a 为奇数的正整数 ? n n +1 ? 2k

俯视图

a100 = ______;
若存在 m ∈ N * ,当 n > m 且 a n 为奇数时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B = (Ⅰ)当 a =

4 , b = 2. 5

5 时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ? ABC 面积的最大值. 3

16. (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

1 1 1 , , p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 . 2 3 4
(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

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17.(本小题满分 13 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ⊥ 平面 ABCD , AF // DE , DE = 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 . (Ⅰ)求证: AC ⊥ 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ) 设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论.

E

F A

D B

C

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求函数

a ( x ? 1) ,其中 a > 0 . x2

f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 = 0 是曲线 y = f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) = x ln x ? x 2 f ( x) ,求 g ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值. (其中 e 为自然对数的底数)

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19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P , 交抛物线 于

A, B 两点,其中点 A 在第一象限.
(Ⅰ)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切; (Ⅱ)若 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA,

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? λ1 1 1 ∈ [ , ],求 λ2 的取值范围. λ2 4 2

20.(本小题满分 13 分) 定义 τ ( a1 , a2 , ?, a n ) = | a1 ? a2 | + | a2 ? a3 | +? + | an ?1 ? an | 为有限项数列 {an } 的波动 强度. (Ⅰ)当 an = (? 1)n 时,求 τ ( a1 , a2 , ?, a100 ) ; (Ⅱ)若数列 a , b , c , d 满足 ( a ? b)( b ? c) > 0 ,求证: τ ( a, b, c, d ) ≤ τ ( a, c, b, d ) ; (Ⅲ)设 {an }各项均不相等,且交换数列 {an } 中任何相邻两项的位置,都会使数列的波 动强度增加,求证:数列 {an }一定是递增数列或递减数列.

2013 高考百天仿真冲刺卷

(理)试卷(六)参考答案 数学 数学(
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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

2

10. 2

11. ±

12. 12 13. 60 , 48 注:11 题,13 题,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

15 3 , 4 2 14. 62 ; 1 或 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos B =

4 3 ,所以 sin B = . ……………………2 分 5 5 5 a b 1 因为 a = , b = 2 ,由正弦定理 = 可得 sin A = . …………………4 分 3 sin A sin B 2
因为 a < b ,所以 A 是锐角, 所以 A = 30o .

……………………6 分 ……………………7 分

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S =

1 3 ac sin B = ac , 2 10 8 ac . 5

所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大. 因为 b 2 = a 2 + c 2 ? 2 ac cos B ,所以 4 = a 2 + c 2 ? 因为 a 2 + c 2 ≥ 2ac ,所以 2 ac ? ……………………9 分 ……………………11 分 ……………………12 分 ……………………13 分

8 ac ≤ 4 , 5

所以 ac ≤ 10 , (当 a = c = 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 .

16.(本小题满分 13 分) 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) = , P ( A2 ) = , P (A3 ) = p , 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P ( A1 ? A2 ) = 1 ? × = . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

…………………3 分

P( B) = P( A1 ? A2 ? A3) = × × (1 ? p) =
所以 (Ⅲ)

1 2 2 3

1? p , 3

…………………5 分 ……………………7 分 ……………………8 分

1? p 1 1 = ,p= . 3 4 4 1 , 4

X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 .

所以 P( X = 0) =

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P( X = 1) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) 1 1 1 3 1 2 1 11 = + × × + × × = , 4 2 3 4 2 3 4 24 P( X = 2) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 = × × + × × + × × = , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 P( X = 3) = P ( A1 ? A2 ? A3) = × × = . ……………………11 分 2 3 4 24 X 分布列为: 0 3 X 1 2 1 11 1 1 P 4 24 4 24
……………………12 分 所以, E ( X ) = 0 ×

1 11 1 1 13 + 1× + 2× + 3× = . 4 24 4 24 12

……………………13 分

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明: 因为 DE ⊥ 平面 ABCD , 所以 DE ⊥ AC . ……………………2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ⊥ BD , 从而 AC ⊥ 平面 BDE . ……………………4 分 (Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 ,即 ∠DBE = 60? ,……5 分

z E

ED 所以 = 3. DB A 由 AD = 3 可知 DE = 3 6 , AF = 6 . ………6 分 x 则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B(3, 3, 0) , C (0,3, 0) , ??? ? ??? ? 所以 BF = (0, ?3, 6) , EF = (3, 0, ?2 6) , ………7 分 ??? ? ? ? n ? BF = 0 ,即 ? ? ?3 y + 6 z = 0 , 设平面 BEF 的法向量为 n = ( x, y, z) ,则 ? ??? ? ? ? ? ? n ? EF = 0 ?3 x ? 2 6 z = 0
令z=

F

D M B

C y

…………………8 分 6 ,则 n = (4, 2, 6) . ??? ? ??? ? 因为 AC ⊥ 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA = (3, ?3, 0) , ??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos ? n, CA? = . …………………9 分 = ??? ? = n CA 3 2 × 26 13 因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) . 则 AM = ( t ? 3, t, 0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n = 0 ,

13 .………………10 分 13

???? ?

???? ?

…………………11 分

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即 4(t ? 3) + 2 t = 0 ,解得 t = 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0), BM = 18. (本小题满分 14 分)

…………………12 分

1 BD ,符合题意. 3

…………………13 分

a(2 ? x) , ( x≠0) , ……………3 分 x3 在区间 ( ?∞, 0) 和 (2, +∞ ) 上, f ′( x ) < 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ′( x ) > 0 . 所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?∞, 0) 和 (2, +∞ ) ,单调递增区间是 (0, 2) .………4 分 a ( x0 ? 1) ? ? y0 = x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 = 0 ……………7 分(1 个方程 1 分) ? a (2 ? x ) 0 ? =1 3 x ? 0 ? 解得 x0 = 1, a = 1 . ……………8 分 (Ⅲ) g (x ) = x ln x ? a( x ?1) , 则 g ′( x ) = ln x + 1 ? a , …………………9 分 a ?1 解 g ′( x ) = 0 ,得 x = e , 所以,在区间 ( 0, e a ?1 ) 上, g ( x ) 为递减函数, 在区间 ( e a ?1 , + ∞) 上, g ( x ) 为递增函数. ……………10 分 a ?1 当 e ≤ 1 ,即 0 < a ≤ 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x ) 为递增函数, 所以 g ( x ) 最大值为 g (e) = e + a ? ae . ………………11 分 a?1 当 e ≥ e ,即 a ≥ 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x ) 为递减函数, 所以 g (x ) 最大值为 g (1) = 0 . ………………12 分 a ?1 当 1 < e < e ,即 1 < a < 2 时, g (x ) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者; e g(e) ? g (1) = a + e ? ae > 0,解得 a < , e ?1 e 所以, 1 < a < 时, g ( x ) 最大值为 g (e) = e + a ? ae , …………………13 分 e?1 e …………………14 分 ≤ a < 2 时, g ( x ) 最大值为 g (1) = 0 . e ?1 e e 综上所述,当 0 < a < 时, g (x ) 最大值为 g (e) = e + a ? ae ,当 a ≥ 时, g (x ) e ?1 e ?1 的最大值为 g (1) = 0 .
解: (Ⅰ) f ′( x ) = 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 F (

p , 0) ,设 A( x1 , y1 ) ,则 y12 = 2 px1 , 2 2 x1 + p y1 2x + p 圆心坐标为 ( , ) ,圆心到 y 轴的距离为 1 , 4 2 4 FA 1 p 2x + p 圆的半径为 = × x1 ? (? ) = 1 , 2 2 2 4 所以,以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切.

…………………2 分 …………………4 分 …………………5 分

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(Ⅱ)解法一:设 P(0, y0 ), B ( x2 , y2 ) ,由 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA ,得

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

( x1 ?

p p p , y1 ) = λ1 ( ? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) = λ2 ( x1 ? , y1 ) , …………………6 分 2 2 2 p 所以 x1 ? = ?λ1 x1 , y1 = λ1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 = λ2 ( x1 ? ) , y2 = ?λ2 y1 , …………………8 分 2 2 2 由 y2 = ?λ2 y1 ,得 y2 = λ22 y12 .
2 又 y12 = 2 px1 , y2 = 2 px2 , 2 所以 x2 = λ2 x1 .

…………………10 分

p p p p p 2 ? x2 = λ2 ( x1 ? ) ,得 ? λ2 x1 = λ2 ( x1 ? ) , (1 + λ2 ) = x1 λ2 (1+ λ2 ) , 2 2 2 2 2 p 整理得 x1 = , …………………12 分 2λ2 p p p λp 代入 x1 ? = ?λ1 x1 ,得 ? =? 1 , 2 2λ2 2 2λ2 1 λ 所以 = 1? 1 , …………………13 分 λ2 λ2 λ 1 1 4 因为 1 ∈ [ , ],所以 λ2 的取值范围是 [ , 2] . …………………14 分 λ2 4 2 3 p 解法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) , AB : x = my + , 2 p 将 x = my + 代入 y 2 = 2 px ,得 y 2 ? 2 pmy ? p2 = 0 , 2 所以 y1 y2 = ? p 2 (*) , …………………6 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA,得 p p p …………………7 分 ( x1 ? , y1 ) = λ1 ( ? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) = λ2 ( x1 ? , y1 ) , 2 2 2 p 所以, x1 ? = ?λ1 x1 , y1 = λ1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 = λ2 ( x1 ? ) , y2 = ?λ2 y1 , …………………8 分 2 2 p2 2 将 y 2 = ?λ2 y1 代入(*)式,得 y1 = , …………………10 分 λ2
代入

p2 p 所以 2 px1 = , x1 = . λ2 2 λ2 p 1 λ 代入 x1 ? = ?λ1 x1 ,得 = 1? 1 . 2 λ2 λ2 λ 1 1 4 因为 1 ∈ [ , ],所以 λ2 的取值范围是 [ , 2] . λ2 4 2 3
20. (本小题满分 13 分)

…………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

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(Ⅰ)解: τ ( a1 , a2 , ?, a100 ) =| a1 ? a 2 | + | a 2 ? a 3 | +? + | a 99 ? a100 |

………………1 分

= 2 + 2 + ?+ 2 = 2× 99 = 198 . ………………3 分 (Ⅱ)证明:因为 τ ( a, b, c, d ) =| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | , τ ( a, c, b, d ) =| a ? c | + | c ? b | + | b ? d | , 所以 τ (a, b, c, d ) ? τ (a, c, b, d ) =| a ? b | + | c ? d | ? | a ? c | ? | b ? d | . ……4 分 因为 ( a ? b)( b ? c) > 0 ,所以 a > b > c ,或 a < b < c . 若 a > b > c ,则 τ ( a, b, c, d ) ? τ ( a, c, b, d ) = a ? b + | c ? d | ?a + c? | b ? d | = c ? b+ | c ? d | ? | b ? d | 当 b > c > d 时,上式 = c ? b + c ? d ? ( b ? d ) = 2( c ? b) < 0 , 当 b ≥ d ≥ c 时,上式 = c ? b + d ? c ? ( b? d) = 2( d ? b) ≤ 0 , 当 d > b > c 时,上式 = c ? b + d ? c ? ( d ? b) = 0 , 即当 a > b > c 时, τ ( a, b, c, d ) ? τ ( a, c, b, d) ≤ 0 . ………………6 分 若 a < b < c, 则 τ ( a, b, c, d ) ? τ ( a, c, b, d ) = b ? a+ | c ? d | ? c + a? | b ? d |, = b ? c+ | c ? d | ? | b ? d |≤ 0 .(同前) 所以,当 ( a ? b)( b ? c) > 0 时, τ ( a, b, c, d ) ≤ τ ( a, c, b, d ) 成立. ……………7 分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则 交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理) 下面来证明当 a1 > a2 时, {an } 为递减数列. (ⅰ)证明 a2 > a3 . 若 a1 > a 3 > a 2 ,则由引理知交换 a 2 , a3 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾. 若 a3 > a1 > a 2 ,则

τ ( a1 , a2 , a3) =| a1 ? a2 | + | a2 ? a3 | >| a1 ? a 2 | +| a1 ? a3 | = τ ( a2 , a1, a3) ,与已知矛盾. 所以, a1 > a 2 > a3 . ………………9 分 (ⅱ)设 a1 > a2 > ? > ai (3 ≤ i ≤ n ? 2) ,证明 ai > ai +1 . 若 a i ?1 > ai +1 > ai ,则由引理知交换 a i , ai +1 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛
盾. 若 a i +1 > a i ?1 > ai ,则 τ ( ai ?2 , ai ?1 , ai , ai +1 ) = τ ( ai ?2 , ai, ai ?1, ai +1) ,与已知矛盾. 所以, a i > ai +1 . (ⅲ)设 a1 > a2 > ? > an ?1 ,证明 an ?1 > an . 若 an > an ?1 ,考查数列 an , an ?1 ,? , a 2 , a 1 , 则由前面推理可得 an > an ?1 > an ? 2 > ? > a2 ,与 a1 > a2 > ? > an ?1 矛盾. 所以, an ?1 > an . 综上,得证. 同理可证:当 a1 < a2 时,有 {an } 为递增数列. ……………12 分 ………………13 分 …………11 分

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