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第二章 圆锥曲线基础训练


(数学选修 1-1)第二章
姓名:___________ 学号:____________

圆锥曲线基础训练
成绩:__________

班次:____________

一、选择题
1. 已知椭圆

x2 y2 + = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

则 P 到另一焦点距离为( ) B. 3 C. 5 D. 7 A. 2 2. 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦距为 6 , 则椭圆的方程为 ( A.



x2 y2 + =1 9 16 x2 y2 x2 y2 + = 1或 + =1 25 16 16 25

B.

x2 y2 + =1 25 16

C.

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c = d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 )

5.抛物线 y 2 = 10 x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 6.若抛物线 y 2 = 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ± 14) B. (14, ± 14) C. (7, ±2 14) D. ( ?7, ±2 14)

5 2

) 。

二、填空题
1.若椭圆 x 2 + my 2 = 1 的离心率为

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

2.双曲线的渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

3.若曲线

x2 y2 + = 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 + k 1? k



2 4.抛物线 y = 6 x 的准线方程为_____.

5.椭圆 5 x + ky = 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k =
2 2



三、解答题
1. k 为何值时,直线 y = kx + 2 和曲线 2 x + 3 y = 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点?

2.在抛物线 y = 4 x 2 上求一点,使这点到直线 y = 4 x ? 5 的距离最短。

点 3. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) , P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一 个交点,求渐近线与椭圆的方程。

4.若动点 P ( x, y ) 在曲线

x2 y2 + = 1(b > 0) 上变化,则 x 2 + 2 y 的最大值为多少? 4 b2

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
一、选择题

[基础训练 A 组]

1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a = 10,10 ? 3 = 7 2.C

2a + 2b = 18, a + b = 9, 2c = 6, c = 3, c 2 = a 2 ? b 2 = 9, a ? b = 1
得 a = 5, b = 4 ,∴

x2 y2 x2 y2 + = 1或 + =1 25 16 16 25

3.D

PM ? PN = 2, 而MN = 2 ,∴ P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 = c, c 2 = 2a 2 , e 2 = 2 = 2, e = 2 c a
2 p = 10, p = 5 ,而焦点到准线的距离是 p

4.C

5.B

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x = ?2 的距离,得 xP = 7, y p = ±2 14 二、填空题 1. 1, 或2

x2 y 2 当 m > 1 时, + = 1, a = 1 ; 1 1 m y 2 x2 a2 ? b2 3 1 1 + = 1, e 2 = = 1 ? m = , m = , a 2 = = 4, a = 2 2 1 1 a 4 4 m m
设双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 = λ , (λ ≠ 0) ,焦距 2c = 10, c 2 = 25

当 0 < m < 1 时,

x2 y 2 ? = ±1 2. 20 5

当 λ > 0 时,

x2

λ
y2 ?

?

y2

λ

= 1, λ +

λ
4

= 25, λ = 20 ;

4
当 λ < 0 时,

λ
4

?

x2 λ = 1, ?λ + (? ) = 25, λ = ?20 ?λ 4

3. (?∞, ?4) U (1, +∞ ) 4. x = ?

(4 + k )(1 ? k ) < 0, (k + 4)(k ? 1) > 0, k > 1, 或k < ?4
p 3 =? 2 2

3 2

2 p = 6, p = 3, x = ?

5. 1

y 2 x2 5 焦点在 y 轴上,则 + = 1, c 2 = ? 1 = 4, k = 1 5 1 k k

三、解答题 1.解:由 ?

? y = kx + 2 ?2 x + 3 y = 6
2 2

,得 2 x 2 + 3(kx + 2) 2 = 6 ,即 (2 + 3k 2 ) x 2 + 12kx + 6 = 0

? = 144k 2 ? 24(2 + 3k 2 ) = 72k 2 ? 48
当 ? = 72k ? 48 > 0 ,即 k >
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k < ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k = ? 3 3

当 ? = 72k 2 ? 48 = 0 ,即 k =

当 ? = 72k 2 ? 48 < 0 ,即 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 <k< 3 3

2.解:设点 P (t , 4t ) ,距离为 d , d =
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

4t 2 ? 4t + 5 = 17

当t =

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2 y2 x2 + 2 =1; a 2 a ? 25

3.解:由共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 16 9 双曲线方程为 2 + = 1 ,点 P (3, 4) 在椭圆上, 2 + 2 = 1, a 2 = 40 2 b 25 ? b a a ? 25
双曲线的过点 P (3, 4) 的渐近线为 y =

b 25 ? b
2

x ,即 4 =

b 25 ? b
2

× 3, b 2 = 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 + = 1 ;双曲线方程为 + =1 40 15 16 9

4.解:设点 P (2 cos θ , b sin θ ) , x 2 + 2 y = 4 cos 2 θ + 2b sin θ = ?4 sin 2 θ + 2b sin θ + 4 令 T = x 2 + 2 y ,sin θ = t , ( ?1 ≤ t ≤ 1) , T = ?4t 2 + 2bt + 4, (b > 0) ,对称轴 t = 当

b 4

b b > 1, 即b > 4 时, Tmax = T |t =1 = 2b ;当 0 < ≤ 1, 即0 < b ≤ 4 时, 4 4

Tmax

b2 =T | b= +4 t= 4 4

∴ ( x 2 + 2 y ) max

? b2 ? + 4, 0 < b ≤ 4 =? 4 ?2b, b > 4 ?


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