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中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试(数学理)


中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 40 分)

1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.不等式 x 2 ≥ 5 x 的解集是 A. [0,5] B. [5, +∞ ) C. (?∞,0] D. (?∞,0] U [5, +∞)
1 3 5 7 , ? 2 , 2 , ? 2 ,则它的一个通项公式为 2 2 4 8 16

2.已知一个数列的前四项为
A. (?1)n

2n ? 1 (2n) 2

B. (?1)n ?1

2n ? 1 (2n) 2

C. (?1)n

2n ? 1 22 n

D. (?1)n ?1

2n ? 1 22 n

3.椭圆 16 x 2 + 25 y 2 = 400 的离心率为

A.

3 5

B.

4 5

C.

3 4

D.

16 25

4.函数 f(x)的导函数 f '( x) 的图象如右图所示,

则下列说法正确的是
A.函数 f ( x) 在 (?2,3) 内单调递增 B.函数 f ( x) 在 (?4, 0) 内单调递减 C.函数 f ( x) 在 x = 3 处取极大值
D.函数 f ( x) 在 x = 4 处取极小值 5.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn = a1 + a2 + ... + an ,

y

y = f '( x)
-2 -4 O 3 4 x

若 S10 = 31 , S20 = 122 ,则 S40 =
A.182 B.242 C.273
高二数学(理科)

D.484
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6.长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁,木棒的一端在离堤足 1.4m 的地面上,另一端在沿堤 上 2.8m 的地方,堤对地面的倾斜角为 α , 则坡度值 tan α 等于
A.
C.

231 5
231 16

B.
D.

5 16 11 5

7.已知 a > 0, b > 0 ,且 a + b = 1 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 + + ab 的最小值是 a b 17 C. 4

D.8

8.已知 p:函数 f ( x) = x 2 + mx + 1 有两个零点, q: ?x ∈ R , 4 x 2 + 4(m ? 2) x + 1 > 0 .若

p ∨ q 为真, p ∧ q 为假,则实数 m 的取值范围为
A. (?∞, ?2) U [3, +∞) C. (1, 2] U [3, +∞) B. (?∞, ?2) U (1, 2] U [3, +∞) D. (?∞, ?2) U (1, 2]

第 II 卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中的横线上)
9.等差数列 8,5,2,…的第 30 项是 . .

10.经过点 A(?1,3) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为

? y≤x ? 11.当 x、y 满足不等式组 ? y ≥ ?1 时,目标函数 t = 2 x + y 的最小值是 ?x + y ≤ 1 ?
12.圆 ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 经过原点的一个充要条件是

.

.

13.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 = 4 x 上,则这个正三角形

的边长为

.

14.物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 s (t ) = 3t 2 + t . 我们计算在 t 时刻

的附近区间 [t , t + ?t ] 内的平均速度 v =

s (t + ?t ) ? s (t ) = ?t

, ?t 趋近于 0 时, 当
.

平均速度 v 趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到 t 时刻的瞬时速度为

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (13 分)等比数列 {an } 的公比为 q,第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项. (1)求公比 q; (2)若 {an } 的前 n 项和为 Sn ,判断 S3 , S9 , S6 是否成等差数列,并说明理由.

16. 13 分)已知某精密仪器生产总成本 C(单位:万元)与月产量 x(单位:台)的函数 (

关系为 C = 100 + 4 x ,月最高产量为 150 台,出厂单价 p(单位:万元)与月产量 x 的函数 关系为 p = 25 +
1 1 2 x? x . 80 1800

(1)求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 L( x) ; (2)求月产量 x 为何值时,月利润 L( x) 最大?最大月利润是多少?

( 17. 13 分)第四届中国国际航空航天博览会 于 2010 年 11 月在珠海举行, 一次飞行表演中, 一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,从空 中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、 处的俯 Q 角分别是 45°和 30°(如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 PQ . (2) 若两观测者甲、 乙分别在海岛两侧海岸 P、 处同时测得飞机的仰角为 45 和 30 , Q 他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线 距离.
o o

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18 . 14 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 为 一 直 角 梯 形 , 其 中 (
BA ⊥ AD, CD ⊥ AD , CD = AD = 2 AB, PA ⊥ 底面 ABCD , E 是 PC 的中点. uuur uuu uuu r r uuu r (1)试用 AD, AP, AB 表示 BE ,并判断直线 BE 与平面 PAD 的位置关系;

(2)若 BE ⊥ 平面 PCD ,求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值.

1 19. 14 分)已知函数 f ( x) = x3 ? ax 2 + (a 2 + 2a) x , a ∈ R . ( 3

(1)当 a = ?2 时,求 f ( x) 在闭区间 [ ?1,1] 上的最大值与最小值; (2)若线段 AB : y = 2 x + 3 ( 0 ≤ x ≤ 2 ) 与导函数 y = f ′( x) 的图像只有一个交点,且交 点在线段 AB 的内部,试求 a 的取值范围.

20. 13 分) ( 过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 的焦点 F 作一条倾斜角为

π
4

的直线与抛物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)证明: ∠AOB 的大小是与 p 无关的定值. 参考公式: ( xA 2 + y A2 )( xB 2 + yB 2 ) = x A xB ? x A xB + 2 p ( x A + xB ) + 4 p 2 ? ? ?

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数学试卷(理科)答案
一、选择题:DDAB 二、填空题:9. -79;
13.
8 3;

DACB 10.
y 2 x2 ? = 1; 8 8 11. -3; 12.
a 2 + b2 = r 2 ;

14. 6t + 1 + 3?t , 6t + 1 .

三、解答题:
15. 解: 1)由题可知, 2a8 = a2 + a5 , (

……(1 分)

即 2a1q 7 = a1q + a1q 4 , ……(3 分) 由于 a1q ≠ 0 ,化简得 2q 6 = 1 + q3 ,即 2q 6 ? q3 ? 1 = 0 , ……(4 分)
1 解得 q 3 = 1 或 q 3 = ? . 2

所以 q = 1 或 q = ?

3

4 . 2

……(6 分)

(2)当 q = 1 时, S3 = 3a1 , S9 = 9a1 , S6 = 6a1 . 易知 S3 , S9 , S6 不能构成等差数列. 当q = ?
S9 =
3

……(8 分)

a (1 ? q3 ) a 4 1 1 3 a1 即 q 3 = ? 时, S3 = 1 = 1 (1 + ) = , 2 2 1? q 1? q 2 2 1? q

a1 (1 ? q 9 ) a a (1 ? q 6 ) a 1 9 a1 1 3 a1 = 1 [1 ? (? )3 ] = ,6= 1 S = 1 [1 ? (? ) 2 ] = (11 分) . 1? q 1? q 2 8 1? q 1? q 1? q 2 4 1? q

易知 S3 + S6 = 2S9 ,所以 S3 , S9 , S6 能构成等差数列. ……(13 分)

16.解: 1)L( x) = px ? C = (25 + (

1 1 2 1 3 1 2 x? x ) x ? (100 + 4 x) = ? x + x + 21x ? 100 , 80 1800 1800 80

其中 0 < x ≤ 150 . (2)L '( x) = ?

……(4 分)

1 2 1 1 1 x + x + 21 = ? ( x 2 ? 15 x ? 12600) = ? ( x ? 120)( x + 105) .… 6 分) ( 600 40 600 600

令 L '( x) = 0 ,解得 x = 120 ( x = ?105 舍).

……(7 分) ……(9 分)

当 x ∈ (0,120) 时, L '( x) > 0 ;当 x ∈ (120,150] 时, L '( x) < 0 . 因此,当 x = 120 时, L( x) 取最大值. …(10 分)

所以,月产量为 120 台时,月利润 L( x) 最大,最大月利润为 L(120) = 1640 万元.…(13 分)
高二数学(理科) 第5页(共 4 页)

17. 解: (1)在 Rt ?ACP 中,

PC = tan ∠CAP , AC

则 PC = 800 × tan 45° = 800 . 在 Rt ?ACQ 中,

……(3 分)

QC = tan ∠CAQ , AC

则 QC = 800 × tan 60° = 800 3 . ……(5 分) 所以, PQ = QC ? PC = 800 3 ? 800 (m). ……(6 分) (2)在 ?APQ 中, PQ = 600 , ∠AQP = 30° , ∠PAQ = 45° ? 30° = 15° . ……(7 分) 根据正弦定理,得 则 PA = PA 600 = , ……(9 分) sin 30° sin15°
300 6? 2 4 = 300( 6 + 2) .…(13 分)

600 sin 30° 600 sin 30° = = sin(45° ? 30°) sin 45° cos 30° ? cos 45° sin 30°

18. 解:设 AB = a, PA = b ,建立如图所示空间直角坐标系, A(0, 0, 0), B(a, 0,0) , P(0, 0, b) , b C (2a, 2a,0), D(0, 2a, 0) , E (a, a, ) . ……(2 分) 2 uuu r uuur uuu r b (1) BE = (0, a, ) , AD = (0, 2a, 0), AP = (0, 0, b) , 2 uuu 1 uuur 1 uuu r r 所以 BE = AD + AP , ……(5 分) 2 2 BE ? 平面 PAD ,∴ BE / / 平面 PAD . ……(7 分) uuu uuu r r (2)Q BE ⊥ 平面 PCD ,∴ BE ⊥ PC ,即 BE ? PC = 0 .
uuu r uuu uuu r r b2 PC = (2a, 2a, ?b) ,∴ BE ? PC = 2a 2 ? = 0 ,即 b = 2a . ……(10 分) 2 uuu r uuu r PD = (0, 2a, ?2a), BC = (a, 2a, 0) , ……(11 分)

z

y

x

uuu uuu r r cos < PD, BC >=

4a 2 10 = , 5 2 2 a ? 5a 10 . 5

所以异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值为

……(14 分)

高二数学(理科)

第6页(共 4 页)

1 19. 解: (1)当 a = ?2 时, f ( x) = x3 + 2 x 2 . ……(1 分) 3

求导得 f ′( x) = x 2 + 4 x = x( x + 4) . ……(2 分) 令 f ′( x) = 0 ,解得: x = ?4 或 x = 0 . ……(3 分) 列表如下:
x f ′( x) f ( x)

……(6 分) -1 (-1, ) 0 -
5 3 0 0 0

(0,1)
+

1





7 3

所以, f ( x) 在闭区间 [ ?1,1] 上的最大值是 (2) y = f ′( x) = x 2 ? 2ax + a 2 + 2a .
? y = x 2 ? 2ax + a 2 + 2a, 联立方程组 ? ? y = 2 x + 3.

7 ,最小值是 0. ……(7 分) 3

……(8 分)

……(9 分) ……(10 分)

得 x 2 ? 2 ( a + 1) x + a 2 + 2a ? 3 = 0.

设 g ( x) = x 2 ? 2(a + 1) x + a 2 + 2a ? 3 ,则方程 g ( x) = 0 在区间 ( 0, 2 ) 内只有一根, 相当于 g (0) ? g (2) < 0 ,即 ( a 2 + 2a ? 3) ? ( a 2 ? 2a ? 3) < 0, 解得 ?3 < a < ?1 或 1 < a < 3 . ……(14 分) ……(12 分)

p π p 20.解: 1)焦点 F ( , 0) ,过抛物线焦点且倾斜角为 的直线方程是 y = x ? . …(3 分) ( 2 4 2
? y 2 = 2 px p2 p2 ? 2 (2 ) ? 由 = 0 ? x A + xB = 3 p , x A x B = ? AB = x A + xB + p = 4 p . p ? x ? 3 px + 4 4 ?y = x ? ? 2

……(8 分) (3) cos ∠AOB =
AO + BO ? AB
2 2 2

2 AO BO

=

x A 2 + y A 2 + xB 2 + y B 2 ? ( x A ? xB ) ? ( y A ? y B )
2

2

2

(x

2 A

+ y A 2 )( xB 2 + yB 2 )

=

(x

x A xB + y A y B
2 A

+ y A 2 )( xB 2 + yB 2 )

=

p p2 ( x A + xB ) + 3 41 2 4 . =? 2 41 x A xB ? x A x B + 2 p ( x A + xB ) + 4 p ? ? ? 2 x A xB ?

……(12 分)

∴ ∠AOB 的大小是与 p 无关的定值. ……(13 分)
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1 题:教材《必修⑤》 P76 2 题:教材《必修⑤》 P67

预备题 改编,考查一元二次不等式求解. 2(2)改编,考查写数列通项公式.

3 题:教材《选修 1-1》 P40 例 4 改编,考查椭圆几何性质. 4 题:教材《选修 1-1》 P98 第 4 题改编,考查利用导数研究函数性质. 5 题:教材《必修⑤》 P44 例 2 改编,考查等差数列性质及前 n 项和 6 题:教材《必修⑤》 P16 习题改编,考查利用余弦定理解三角形 9 题:教材《必修⑤》 P38 例 1(1)改编,考查等差数列通项公式 10 题:教材《选修 1-1》 P54 A 组第 6 题改编,考查双曲线方程与性质 11 题:教材《必修⑤》 P91 第 1(1)题改编,考查线性规划问题 12 题:教材《选修 1-1》 P12 第 4 题改编,考查充要条件. 13 题:教材《选修 1-1》 P64 B 组第 2 题改编,考查抛物线方程及性质 14 题:教材《选修 1-1》 P74 导数概念的预备题 改编,考查导数概念 15 题:教材《必修⑤》 P61 第 6 题 改编,考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和. 16 题:教材《选修 1-1》 P104 第 6 题 改编,考查导数的应用. 17 题:教材《必修⑤》 P19 第 4 题 改编,考查解三角形.

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