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2015年-高考时间及答案解析-数学-理科-新课标1(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(课标 1 理)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设复数 z 满足 A.1

1+z =i ,则 | z |? 1? z
B. 2 C. 3 D.2

2. sin 20? cos10? ? cos160? sin10? ? A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

3.命题 p : ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ?p 为 A. ?n ? N , n2 ? 2n 2 C. ?n ? N , n2 ? 2n
n

B. ?n ? N , n2 ? 2n D. ?n ? N , n2 ? 2n

4.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且 各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

5.已知 M ( x0 , y0 ) )是双曲线 C : 的取值范围是 A. (-

???? ? ???? ? x2 若 MF , 则 y0 ? y 2 ? 1上的一点,F1 , F2 是 C 上的两个焦点, 1 ? MF 2 ?0 2

3 3 , ) 3 3

B.(-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

C.( ?

2 2 2 2 , ) 3 3

D.( ?

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八 尺, 高五尺.问:积及为米几何?” 其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约 为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛 7.设 D 为 ?ABC A. AD ? ?

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则
B. AD ?

??? ?

??? ?

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ? 1 ???? 4 ??? AB ? AC 3 3

C. AD ?

????

? 1 ???? 4 ??? AB ? AC 3 3

D. AD ?

????

8.函数 ? cos2 (? x ? ? ) 部分图像如图所示,则 f ( x) )的单调递减区间为
1 3 A. (k? ? , k? ? ), k ? Z , 4 4 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 D. (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4

9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( A.5 B.6 C.7

) D.8

10. ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为( A.10 B.20 C.30

) D.60

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( 2 r )

r 正视图 r

2 r 俯视图

A.1

B.2

C.4

D.8

12.设函数 f ( x) ? e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范 围是( A.[ ? ) B?

3 ,1) 2e

3 3 , ) 2e 4

C.[

3 3 , ) 2e 4

D.[

3 ,1) 2e

二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分. 13.若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x2 ) 为偶函数,则 a ? 14.一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 16 4

.

?x ? 1 ? 0 y ? 15.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 an ? 0 , an2 ? 2an ? 4Sn ? 3

.

16.在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75? °, BC ? 2 ,则 AB 的取值范围是

.

(Ⅰ)求 {an } an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?
1 ,求数列 an an ?1

}的前 n 项和

18.如图,四边形 ABCD 菱形, ?ABC ? 120? ,
E , F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE ? 平面 ABCD ,

E F A B D C

DF ? 平面 ABCD , BE ? 2DF , AE ? EC .
(1)证明:平面 AEC ? 平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y (单

位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 y i ( i ? 1, 2,? ,8 )数据作了 初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
年 销 售 量 /t

年宣传费(千元)

? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( xi ? ? )
i ?1

n

2
2

? (?i ? ? )
i ?1

n

2

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )

? (?
i ?1

n

i

? ? )( yi ? y ) y )

? ?

289.8
1 n ? ?i 8 i ?1

1.6

1469

108.8

表中 ?i ? xi ,w1 = x 1, ? ?

(Ⅰ)根据散点图判断,y ? ax ? b 与 y ? c ? a x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 z ? 0.2 y ? x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),?(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小二乘估计分别 为:

??

?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? ? ,? ? v ? ? u

2

20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C : y ?

x2 与直线 y ? kx ? a(a ? 0) 交于 M , N 两点, 4

(Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅰ)当 a 为何值时, x 为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min{m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

?( x ? 0)

,讨论 h( x) 零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第 一个题目计分.答题时请标清题号. 22.本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径, AC 是 ? O 的切线, BC 交 ? O 于点 E C E (I) 若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是 ? O 的切线; (II) 若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. D A B

O

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系. (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ?2 | x ? a | , a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围 an2 ? 2an ? 4Sn ? 3

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(新课标 1 理)
1.答案:A 解析: 由题意知, 1 ? z ? i ? zi ,所以 z ? 2.答案:D
? ? ? ? ? ? 解析:原式= sin 20 cos10 ? cos 20 sin10 ? sin(20 ? 10 ) ?

i ?1 (i ? 1)2 ? ? i ,所以 z ? 1. i ? 1 (i ? 1)(i ? 1)

1 2

3.答案:C 解析:命题 p 一个特称命题,其否定是全称命题,故选 C 4.答案:A
2 3 解析:由题意得所求概率 P ? C3 ? 0.62 ? (1 ? 0.6) ? C3 ? 0.63 ? 0.648

5.答案:A 解析:设 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0), 则由 MF 1 ? MF 2 ? 0 代入向量,综合双曲线方程,列出不等式求出 y 的取值范围. 6.答案:B 解析:由 l ?

???? ? ???? ?

1 16 16 1 1 320 ? 2? r ? 8 得圆锥底面的半径 r ? ? ,所以米堆的体积 V ? ? ? r 2 h ? ,所 4 ? 3 4 3 9 320 ? 1.62 ? 22 斛. 9

以堆放的米有 7.答案:A

解析:由题意得 ? AC ? 8.答案:D

???? 1 ??? ? ???? 1 ???? 1 ??? ? ??? ? 4 ???? BC ? AC ? AC ? AB ? ? AB ? AC . 3 3 3 3

解析:由图像可得相邻的对称中心是周期的一半,周期为 2, T ?

2? , 得 w?? , 由 w

w ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以函数 f ( x) ? cos(? x ? ? 2k? ) ? cos(? x ? ) 的单调递减区间为 4 2 4 4 2 k? ? ? x ?
9.答案:C

?
4

? 2 k? ? ? , k ? Z , 即 2 k ?

1 3 ? x ? 2k ? , k ? Z . 4 4

解析:由程序框图知 1 ? 10.答案:C

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.01, 此时 n ? 7 . 2 4 8 16 32 64 128 128

r 解析:易知 Tr ?1 ? C5 ( x2 ? x)5?r , 所以 r ? 2 , ( x2 ? x)3 中 x5 的系数为 3 ,故 x5 y 2 的系数为 30 .

11.答案:B 解 析 : 此 组 合 体 是 由 半 个 圆 柱 与 半 个 球 体 组 合 而 成 的 , 其 表 面 积 为

? r 2 ? 2? r 2 ? 4r 2 ? 2? r 2 ? 20? ? 16, 所以 r ? 2.
12.答案:D 解 析 : 存 在 唯 一 的 整 数 xo , 使 得 ex0 (2 x0 ?1) ? ax0 ? a, 设 g ( x) ? e x (2 x ?1), h( x) ? ax ? a, 由

1 1 g ' ( x) ? e x (2x ? 1) ,可知 g ( x) 在 (??, ? ) 上单调递减,在 (? , ??) 上单调递增,故 2 2

? h(0) ? g (0) 3 , 得 ? a ? 1. ? 2e ?h(?1) ? g (?1)
13.答案: 1 解析:由偶函数定义得 f (? x) ? f ( x) ,解得 a ? 1 .
2 2 14.答案: ( x ? ) ? y ?

3 2

25 4

解析:圆过椭圆的三顶点 (4, 0), (0, ?2), (0, 2), 设圆心为 ( a , 0) ,其中 a ? 0, 由 4 ? a ?

a 2 ? 4, 解得

3 5 a ? ,r ? . 2 2
15.答案: 3 解析:作出可行域,由可行域知,在点 A(1,3) 处, 16.答案: ( 6 ? 2, 6 ? 2) 解析:通过解三角形的有关知识和数形结合思想.

y 取得最大值 3 . x

17.解析:
2 2 (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3.

2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即

2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2.
2 又 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3

所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( )?( ) ? 2? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ? . 3(2n ? 3) ?

18.解析: (I)连结 BD ,设 BD ? AC ? G ,连结 EG , FG , EF . 在菱形 ABCD 中不妨设 GB ? 1 .由 ?ABC ? 120? , 可得 AG ? GC ? 3 .由

BE ? 平面 ABCD , AB ? BC 可知 AE ? EC .

又 AE ? EC,所以 EG= 3 ,且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中, 可得 BE= 2 故 DF=

2 6 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 , 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=

可得 FE=

3 2 2 2 2 .从而 EG ? FG ? EF , 所以EG ? FG 2

又 AC ? FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC 所以平面 AEC ? 平面AFC

(III)

如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,

??? ? GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.
由(I)可得 A(0, ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以

2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 2 ? ??? ? ?? . AE ? (1,3 2), CF ? (?1,3, ). 故 cos AE, CF ? ??? 2 3 AE ? CF
所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为

3 . 3

19.解析: (I)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。 (II)令 w ?
n

x ,先建立 y 于 w 的线性回归方程。由于
i i

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c
? ? 100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为 y ? ? 100.6 ? 68 x 。 所以 y 关于 ? 的线性回归方程为 y
(III) (i)由(II)知,当 x ? 49 时,年销售量 y 的预报值

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。

20.解析:

x x2 (I)有题设可得 M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a).又 y?= ,故y ? 在x ? 2 a 2 4
处 的 导 数 值 为

a

, C

在 点 ( 2a a , 出 ) 的 切 线 方 程 为

y ? a ? a ( x ? 2 a ),即 ax ? y ? a ? 0
x2 y ? 在x ? ?2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 . 4
股所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0 (III) 存在符合题意的点,证明如下:

设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2

y ? kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.
故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a. 从而 kx ? a代入C的方程得x ? 4kx ? 4a ? 0.
2

故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a.
从而k1 ? k 2 ? y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) x1 x2
? k (a ? b) a

当 b=-a 时,有

k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意

21.解: (I)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ( x0 ,0) ,则 f ( x0 ) ? 0, f '( x0 ) ? 0 即

1 ? 3 ? x0 ? ax0 ? ? 0, 4 ? 2 ? ? 3x0 ? a ? 0.
解得 x0 ?

1 3 ,a ? ? 2 4 3 4

因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 . (II)当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0, 从而 h(x)=min ? f ( x), g ( x)? ? g ( x) ? 0 故 h( x) 在 (1, ??) 上无零点.

5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4
是 h( x)的零点;若a ? ?

5 , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 的 零 点 4

当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数 (i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调
1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3 a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4

5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4
综上,当

3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 当? 5 3 ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

22.解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90°所以 ? DEC+ ? OEB=90° 故 ?OED ? 90 ,DE 是 ? O 得切线
o

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x
2 2

2

4 2 由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x ? 12 ? x 即 x ? x ? 12 ? 0

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60

o

23.解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程

为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 (II) 将? ?

??5 分

?
4

代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 ? 2 2 ,

?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

24.解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得

2 ? x ? 1; 3

当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0? , ? 3 ?

C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3

所以 a 的取值范围为 ? 2, ???


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