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§1.3 算法案例


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§1.3 算法案例
教学目标: 1.理解算法案例的算法步骤和程序框图; 2.引导学生得出自己设计的算法程序; 3.体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 教学重点: 引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点: 体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 教学过程: 一、引入 前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过学习辗转相除 法与更项减损术,秦九韶算法,排序,进位制等案例来进一步体会算法的思想. 二、讲授新课 (一)辗转相除法与更相减损术 1.短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到 所有的商是两个互质的数为止,然后把所有的处暑连乘起来. 2.穷举法(也叫枚举法) 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个较小的数开始由大到小列举, 直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数. 3.辗转相除法 (1)辗转相除法:该算法又称欧几里得算法,就是对于给定的两个正整数,用较大的 数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成一对新数,继续上面的除法, 直到余数为零,此时处暑就是所求两正整数的最大公约数. (2)算法步骤:以求正整数 m, n 的最大公约数为例. 第一步,输入两个正整数 m, n . 第二步,判断 m, n 的大小,让 m 表示较大的数, n 表示较小的数. 第三步,计算 m 除以 n 的余数. 第四步,让 m ? n, n ? r .
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第五步,如果 r ? 0 ,则 m, n 的最大公约数等于 m ;否则返回第三步. (3)程序框图为:略 (4)程序 1 为: INPUT “m,n=”;m,n IF m<n THEN t=m m=n n=t END IF DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 程序 2 为: INPUT “m,n=”;m,n IF m<n THEN t=m m=n n=t END IF r=1 WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND
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PRINT m END

4.更项减损术 (1)更项减损术:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术.《九 章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以来用来求两个数的最 大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子子之数,以少减多,更相减损,求其 等也.以等数约之.” (2)算法步骤: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用 2 约简之;若不是, 执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数 减去小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止.则这个数(等数)或这 个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数. (3)程序框图为:略 (4)程序为: INPUT “m,n=”;m,n IF m<n THEN t=m m=n n=t END IF k=0 WHILE (m MOD 2=0) AND (n MOD 2=0) m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m-n
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WHILE d<>n IF d>n THEN m=d ELSE m=n n=d END IF d=m-n WEND d=2^k*d PRINT d END (二)秦九韶算法
5 4 3 2 1.怎么求多项式 f ( x) ? x ? x ? x ? x ? x ? 1 当 x ? 5 时的值?

一个自然的做法是把 5 代入多项式 f (x) ,急速各项的值,然后把它们加起来,这时, 我们一共做了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 10 次乘法运算, 5 次加法运算. 另一种算法是先计算 x 的值,然后计算 x ? x, ( x ? x) ? x, ((x ? x) ? x) ? x 的值,这
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样每次都可以利用上一次计算的结构,这时,我们一共做了 4 次乘法运算, 5 次加法运 算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算此时减少了,因而能够提高运算效率, 对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用 第二种算法,计算机能更快地得到结果. 2.求多项式 f ( x) ? an x ? an?1 x
n n?1

? ? ? a1 x ? a0 的值时,常用秦九韶算法,这种算

法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求 n 个一次多项式 的值,共进行 n 次乘法运算和 n 次加法运算. 3.秦九韶算法 (1)改写多项式:

f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

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? (a n x n ?1 ? a n ?1 x x ? 2 ? ? ? a1 ) x ? a 0 ? ((a n x n ? 2 ? a n ?1 x n ?3 ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a 0 ?? ? (? ((a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a 0
设 v1 ? an x ? an?1 ,

v2 ? v1 x ? an?2 , v3 ? v2 x ? an?3 ,?, vn ? vn?1 x ? a0 .
(2)算法步骤: 第一步,输入多项式次数 n ,最高次项的系数 an 和 x 的值. 第二步, v ? an , i ? n ? 1. 第三步,输入 i 次项的系数 a i . 第四步, v ? vx ? ai , i ? i ? 1 . 第五步,判断 i 是否大于等于 0 ,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值 v . (3)程序框图为:略 (4)程序为: INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END

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(三)进位制算法 1.定义:人们为了计数和运算方面而约定的计数系统,“满 k 进一”就是 k 进制, k 是 基数(其中 k 是大于 1 的整数). k 进制的数可以表示为一串数字连写在一起的 形式.

an an?1 ?a1a0(k ) (0 ? an ? k ,0 ? an?1,?, aa , a0 ? k )
2.在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制.除此之外还有二进制,七进制,八进 制,十二进制,十六进制,六十进制等. 3.非十进制的 k 进制数 a (共有 n 位)化为十进制数 b 的计算公式为:

an an?1 ?a1a0(k ) ? an k n ? an?1k n?1 ? ?? a1k ? a0
(1)算法步骤: 第一步,输入 a, k , n 的值. 第二步, b ? 0, i ? 1. 第三步, b ? b ? ai k i ?1 , i ? i ? 1 . 第四步,判断 i ? n 是否成立,若是,则执行第五步;否则,返回第三步. 第五步,输出 b 的值. (2)程序框图为:略 (3)程序为: INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t= a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END 4.十进制数 a 转化为非十进制的 k 进制数 b 的方法
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(1)算法步骤: 第一步,输入 a, k 的值. 第二步,求出 a 除以 k 所得的商 q ,余数 r . 第三步,若 q ? 0 ,则 a ? q ,返回第二步;否则执行第四步. 第四步,将依次得到的余数从右到左排列,得到 k 进制数. (2)程序框图为:略 (3)程序为: INPUT “a,k=”;a,n b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 LOOP UNTIL q=0 PRINT b END (四)实数排序算法 1.直接插入排序法 从第一个数开始,依次把每个数插入到前面已排好序的序列的适当位置,具体操作 时,把要插入的数与有序序列的最后一个数比较,如果该数大于序列中的最后一个数, 则直接将该数作为前面序列的最后一个数,否则继续与前面的数相比较,直到找到合 适的位置为止. 程序为: INPUT “n=”;n DIM a(n) INPUT a a(1)=a
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i=2 WHILE i<=n Input a flag=0 j=1 DO IF a(j)<a THEN flag= 1 k=j END IF j=j+1 LOOP UNTIL flag=1 OR j>=i IF flag=0 THEN a(i)=a ELSE t=i DO a(t)=a(t-1) t=t-1 LOOP UNTIL t=k a(k)=a END IF i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n PRINT a(i) i=i+1 WEND END
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2.冒泡排序法 这种方法的基本思路是:将待排序的数看作是竖着排列的“气泡”,较小的数比较 轻,要往上浮.在这种方法中,我们要对这个“气泡”序列进行若干趟处理,每一趟处 理都要自上而下两两进行比较,按较大数在下,较小数在上的原则,如果顺序不对,就 交换两个数的位置.排序完成的已经是在某一趟中无交换,即交换次数为 0 .在排序过 程中,小的数就如气泡一样逐层上浮,大的数逐个下沉,因此被形象地比喻为“冒泡”, 古城这种排序算法为冒泡法. 程序 1 为: INPUT “n=”;n DIM a(n) i=1 WHILE i<=n INPUT a a(i)=a i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n-1 j=1 WHILE j<=n-i IF a(j)<a(j+1) THEN t=a(j) a(j)=a(j+1) a(j+1)=t END IF j=j+1 WEND i=i+1 WEND
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i=1 WHILE i<=n PRINT a(i) i=i+1 WEND END 程序 2 为: INPUT “n=”;n DIM a(n) i=1 WHILE i<=n INPUT a a(i)=a i=i+1 WEND i=1 DO flag=1 j=1 WHILE j<=n-i IF a(j)<a(j+1) THEN t=a(j) a(j)=a(j+1) a(j+1)=t flag=0 END IF j=j+1
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WEND i=i+1 LOOP UNTIL flag=1 i=1 WHILE i<=n PRINT a(i) i=i+1 WEND END 3.选择排序法 这种方法是在所有的数据中找出最小的元素,并与序列中的第一个数据互换,然后 在余下的数据中再找出最小的数与第二个数据相互换,如此直到最后排序完为止. 该法与冒泡法相比,需要交换的次数较少,因而效率要比冒泡法高. 程序 1 为: INPUT “n=”;n DIM a(n) i=1 WHILE i<=n INPUT a a(i)=a i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n-1 j=i+1 WHILE j<=n IF a(i)<a(j) THEN t=a(i)
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a(i)=a(j) a(j)=t END IF j=j+1 WEND i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n PRINT a(i) i=i+1 WEND END 程序 2 为: INPUT “n=”;n DIM a(n) i=1 WHILE i<=n INPUT a a(i)=a i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n-1 k=i j=i+1 WHILE j<=n IF a(k)<a(j) THEN j=j
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END IF j=j+1 WEND IF i<>k THEN t=a(i) a(i)=a(k) a(k)=t END IF i=i+1 WEND i=1 WHILE i<=n PRINT a(i) i=i+1 WEND END 4.快速排序法 在序列中任取一个数作为基准(设为 x ),一次基准将序列划分为左右两个较小的序 列区,且坐标序列区中的数均小于基准 x ,右边序列区中的数均大于基准 x ,然后对两 个序列区分别再选择基准排序,直到所有序列区中的数据元素均已排好序.

三、典例剖析 (一)辗转相除法与更项减损术 例 1 分别用辗转相除法和更相减损术求 204 与 85 的最大公约数. 解: (1)辗转相除法 第一步, 204 ? 2 ? 85 ? 34
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第二步, 85 ? 2 ? 34 ? 17 第三步, 34 ? 2 ? 17 因此, 17 是 204 与 85 的最大公约数. (2)更相减损术 第一步, 204 ? 85 ? 119 , 119 ? 85 ? 34 第二步, 85 ? 34 ? 51 , 51 ? 34 ? 17 第三步, 34 ? 17 ? 17 因此, 17 是 204 与 85 的最大公约数. 点评: 更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东西方古代数学专 著,但是二者的算理却是相似的,右异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进 行的是出发运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减, 但是实质都是一个不断的递归过程. 例 2 请用辗转相除法和更相减损术求 1734 和 816 的最大公约数. 解:(1)辗转相除法 第一步, 1734 ? 2 ? 816 ? 102 第二步, 816 ? 8 ? 102 因此, 102 是 1734 和 816 的最大公约数. (2)更相减损术 第一步,因为两个数皆为偶数,首先除以 2 得到 867,408,在求这两个数的最大 公约数 第二步, 867 ? 408 ? 459 , 459 ? 408 ? 51 第三步, 408 ? 51 ? 357 , 357 ? 51 ? 306 第四步, 306 ? 51 ? 255 , 255 ? 51 ? 204 第五步, 204 ? 51 ? 153 , 153 ? 51 ? 102 第六步, 102 ? 51 ? 51 因此, 51 ? 2 ? 102 是 1734 和 816 的最大公约数. 例 3 用辗转相除法和更相减损术求三个数 324,234,135的最大公约数. 解:(1)辗转相除法

324 ? 1 ? 243 ? 81 , 243 ? 3 ? 81
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则 324 与 243 的最大公约数为 81 又 135 ? 1 ? 81 ? 54 , 81 ? 1 ? 54 ? 27 , 54 ? 2 ? 27 则 81 与 135 的最大公约数为 27 因此,三个数 324,234,135的最大公约数为 27 . (2)更相减损术

324 ? 243 ? 81 , 243 ? 81 ? 162 , 162 ? 81 ? 81
则 324 与 243 的最大公约数为 81 又 135 ? 81 ? 54 , 81 ? 54 ? 27 , 54 ? 27 ? 27 则 81 与 135 的最大公约数为 27 因此,三个数 324,234,135的最大公约数为 27 .

练习: 1.用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数.(答案: 3 ) 2.用更相减损术求 80 和 36 的最大公约数.(答案: 4 ) 3.求 319,377,116的最大公约数.(答案: 29 )

(二)秦九韶算法 例 1 已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an?1 x ? an ,如果在一种算法中,计
k 算 x0 (k ? 2,3,4,?, n) 的值需要 k ? 1 次乘法,计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算

( 6 次乘法 3 次加法),那么计算 P ( x0 ) 的值需要_________次运算.下面给出一 10 种减少运算次数的算法: P0 ( x) ? a0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? ak ?1 (k ? 0,1,2,?, n ? 1) . 利用该算法,计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 P ( x0 ) 的值共需要_____次 10 运算. 答案: 65,20 点评: 秦九韶算法使用一般的多项式 f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 的求值 问题.直接法乘法运算的次数最多可到达

n( n ? 1) ,加法最多 n 次.秦九韶算法 2

通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次,加法最多 n 次. 例 2 已知一个 5 次多项式为 f ( x) ? 5x ? 2 x ? 3.5x ? 2.6x ? 1.7 x ? 0.8 ,用秦九
5 4 3 2

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韶算法求这个多项式当 x ? 5 时的值. 解: 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

f ( x) ? ((((5x ? 2) x ? 3.5) x ? 2.6) x ? 1.7) x ? 0.8
按照从内到外的顺序,一次计算一次多项式当 x ? 5 时的值: v0 ? 5 , v1 ? 5 ? 5 ? 2 ? 27 , v2 ? 27 ? 5 ? 3.5 ? 138.5 ,

. v3 ? 138.5 ? 5 ? 2.6 ? 689.9 , v4 ? 689.9 ? 5 ? 1.7 ? 34512 v5 ? 34512 ? 5 ? 0.8 ? 172552 . .
所以,当 x ? 5 时,多项式的值为 17255 .2 点评: 如果多项式函数中又缺项的画,要以系数为 0 的项补齐后再计算. 练习: 1.已知多项式函数 f ( x) ? 2 x 5 ? 5x 4 ? 4x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 7 ,求 f (5) . 2.当 x ? 2 时,用秦九韶算法求多项式

f ( x) ? 3x 5 ? 8x 4 ? 3x 3 ? 5x 2 ? 12x ? 6 的值. 7 6 5 4 2 2 3.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 7 x ? 6 x ? 5x ? 4 x ? 3x ? 2 x ? x 当
x ? 3 时的值.
答案: 1. 2677 ; 2. 238 ; 3. 21324

例 3 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量 的 6 % ,并且每年新增汽车 3 万辆.设计算法,计算经过多少年可使汽车保有量达 到 40 万辆.将此算法用程序语言给出. 解:设 c ? 1 ? 6% ? 0.94 ,经过几年的汽车保有量为 an ,则

a0 ? b ? 30 a1 ? a0 c ? 3 a2 ? a1c ? 3 ? (a0 c ? 3)c ? 3 a3 ? a 2 c ? 3 ? (( a 0 c ? 3)c ? 3)c ? 3 ? an ? ((?(a0 c ? 3)c ? 3)c ? ? ? 3)c ? 3
上述各式充分说明了秦九韶算法的优点:可以通过递推关系 an ? an?1c ? 3 进行迭 代处理.
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程序为: C=0.94 A=30 n=0 WHILE A<40 A=A*C+3 n=n+1 WEND PRINT n END (三)进位制算法 例 1 (1)二进制数 101 2) 用十进制表示是( ) ( A. 7 A. 1000 答案: (1) C (2) A B. 6 B. 1001 C. 5 D. 4 C. 1010 D. 1100 (2)十进制数 8 用二进制表示是( )

例 2 (1)一斤半的东西,用现在的 10 两制(即 10 两等于 1 斤)计是 15 两,若按过去的 16 两制(即 16 两等于 1 斤)计是_______两. (2)现在最常用的十进制是逢十进一,而用角度制度量角时,却是是逢六十进一. 在角度制中, 2 度 12 分等于________分. 答案: (1) 24 (2) 132

例 3 (1)把二进制数 1100112) 化为十进制数. ( (2)把 89 转化为二进制数. 解: (1) 1100112) ? 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ? 51 (
5 4 3 2 1 0

(2) 89 ? 2 ? 44 ? 1

44 ? 2 ? 22 ? 0 5 ? 2? 2 ?1

22 ? 2 ? 11 ? 0 2 ? 2 ?1 ? 0

11 ? 2 ? 5 ? 1 1 ? 2? 0 ?1

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所以 89 ? 1011001 ) (2 例 4 (1)将八进制数 3147068) 化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序. ( (2)把十进制数 89 化为三进制数,并写出程序语句. 解:(1) 3147068) ? 3 ? 8 ? 1? 8 ? 4 ? 8 ? 7 ? 8 ? 0 ? 8 ? 6 ? 8 ? 104902 (
5 4 3 2 1 0

程序略(可参加把 k 进制数转化为十进制数的一般方法) (2) 89 ? 3 ? 29 ? 2

29 ? 3 ? 9 ? 2

9 ? 3? 3 ? 0

3 ? 3 ?1 ? 0 1 ? 3? 0 ?1 所以 89 ? 100223) (
程序略(可参加把十进制数转化为 k 进制数的一般方法) 练习: 1.将十进制数 34 转化为二进制数. 2.把 1234(5) 分别转化为十进制数和八进制数. 3.完成下列进位制的转换 (1) 105(10) ? _________ ( 2) ? _________ ( 6) ? __________ (8) (2) 10110 2) ? ________ (10) ? _________ ( 4) ? _________ (16 ) ( 答案: 1. 34 ? 1000102) ; ( 2. 1234(5) ? 194(10) ? 302(8) ; 3. 105(10) ? 1101001 ) ? 253(6) ? 1518) (2 (

101102) ? 22(10) ? 112(4) ? 16(16) (
(四)实数排序算法 例 1 (1)冒泡排序法将 9,6,7 按从小到大的顺序排成一列,需要进行的操作次数是( ) A. 1 次 A. 1 次 解:(1)B (2)B 例 2 用直接排序法将 9,6,7,12,3 按从小到大的顺序排列起来: S1: 6,9
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B. 2 次 B. 2 次

C. 3 次 C. 3 次

D. 4 次 D. 4 次

(2)直接排序法将 9,6,7 按从小到大的顺序排成一列,需要进行操作次数是( )

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S2: 6,7,9 S3: 6,7,9,12 S4: 3,6,7,9,12 例 3 用直接排序法、冒泡排序法和选择排序法对数据 32,46,23,78,12,17 进行排序. 解: (1)直接排序法 第一步,将第 1,2 两个数比较,排列成 32,46 第二步,将第 3 个数 23 插到合适的位置,排列成 23,32,46 第三步,将第 4 个数 78 插到合适的位置,排列成 23,32,46,78 第四步,将第 5 个数 12 插到合适的位置,排列成 12,23,32,46,78 第五步,将第 6 个数 17 插到合适的位置,排列成 12,17,23,32,46,78 (2)冒泡排序法 第一步,比较 1,2 两个数 32,46 , 前者小于后者,则位置不变: 32,46,23,78,12,17 第二步,比较 46 与 23 , 23 小于 46 ,则 23 与 46 互换: 32,23,46,78,12,17 第三步,比较 46 与 78 ,前者小于后者,则位置不变: 32,23,46,78,12,17 第四步,比较 78 与 12 , 12 较小,则两者位置互换: 32,23,46,12,78,17 第五步,同上,将 78 与 17 位置互换: 32,23,46,12,17,78 第六步,按第一步到第五步的顺序继续操作,直至没有可交换时为止. (3)选择排序法 第一步,找出 6 个数中的最小者与第一个数交换位置: 12,46,23,78,32,17 第二步,找出剩下 5 个数中的最小者与第二个数交换位置: 12,17,23,78,32,46 第三步,找出剩下 4 个数中的最小者与第三个数交换位置: 12,17,23,78,32,46 第四步,找出剩下 3 个数中的最小者与第四个数交换位置: 12,17,23,32,78,46 第五步,找出剩下 1 个数中的最小者与第五个数交换位置: 12,17,23,32,46,78

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